2017上《高等數(shù)學(xué)》課程考試考前輔導(dǎo)資料.docx

2017上半年高等數(shù)學(xué)1課程考試考前輔導(dǎo)資料一、考試復(fù)習(xí)所用教材高等數(shù)學(xué)(第5版)（上冊(cè)），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 ，高等教育出版社 ，2002年7月二、考試題型介紹1、單項(xiàng)選擇（每題4分，共5個(gè)小題）2、填空（每題5分，共5個(gè)小題）3、計(jì)算題（每題10分，共4個(gè)小題）4、證明題（每題15分，共1個(gè)小題）三、考試相關(guān)概念、知識(shí)點(diǎn)、復(fù)習(xí)題及例題規(guī)劃第1章 函數(shù)與極限1、函數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)l 定義:如果在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x，y并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)。（會(huì)求函數(shù)的定義域）函數(shù)的相關(guān)性質(zhì):函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性及其判定方法等。例1 .求下列函數(shù)的奇偶性（1） （2）解析：（1）因?yàn)?，所以是偶函?shù)； （2）因?yàn)?，所以是非奇非偶函?shù)。參考書(shū)本第1章函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性判斷，有界性等要熟練掌握。l 復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y=f(u) 而u=（x)，且函數(shù)（x)的值域包含在f(u)的定義域內(nèi)，那么y通過(guò)u的聯(lián)系也是自變量x的函數(shù)，我們稱(chēng)y為x的復(fù)合函數(shù)，記為y=f（x),其中u稱(chēng)為中間變量。l 函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，那么就稱(chēng)f（x）在處連續(xù)。在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)。（初等函數(shù)概念見(jiàn)課本P17）例2 .下列函數(shù)是復(fù)合函數(shù)嗎？（1） （2） 答：1不是，2是復(fù)合函數(shù)。例3.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。解：，函數(shù)在內(nèi)除點(diǎn)x=2,x=-3外是連續(xù)的，所以函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間為。例4.設(shè)y=f(x),求的定義域.（函數(shù)連續(xù)性要熟練掌握）解析：對(duì)應(yīng)應(yīng)該有即所以的定義域是例5.設(shè)，求k使f(x)連續(xù)。解析：由于f(x)在和內(nèi)均由初等函數(shù)表示，而且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)均有定義，所以在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，故函數(shù)f(x)是否連續(xù)取決于x=0處是否連續(xù)，要讓f(x)在x=0處連續(xù)，必須有：由于又于是l 反函數(shù)的求解方法要熟練掌握。2、求極限l 掌握函數(shù)極限與數(shù)列極限，極限性質(zhì)（比如有界性等），極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則）并會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限（課本P49），洛必達(dá)法則，掌握無(wú)窮小、無(wú)窮大等概念和無(wú)窮小的一些性質(zhì)，極限的各種求法（比如：型，型，型等極限求法）。a.一些需要注意的概念：（和都是在同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且）（1） 等價(jià)無(wú)窮?。喝绻驼f(shuō)和是等價(jià)無(wú)窮小；注：等價(jià)無(wú)窮小的替換公式要熟練記憶使用，比如，。（2） 同階無(wú)窮小：如果就說(shuō)和是同階無(wú)窮?。唬?） 低階無(wú)窮?。喝绻驼f(shuō)是比低階的無(wú)窮小；（4） 高階無(wú)窮小：如果就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小。b.兩個(gè)重要極限:,求極限時(shí)學(xué)會(huì)變換成兩個(gè)重要極限的形式來(lái)求極限。例6.當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（）A. B.C.D.解析：由于 選D例7. 求極限解析：第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。（要熟練掌握）例8.求極限解析：型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過(guò)分子分母同除來(lái)求。注：型等也要熟練掌握！例9.觀察一般項(xiàng)如下的數(shù)列的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它們的極限。解：當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，第2章 導(dǎo)數(shù)與微分掌握導(dǎo)數(shù)的定義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系，n階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法（比如2階導(dǎo)數(shù)求法，隱函數(shù)求n階導(dǎo)數(shù)）。掌握微分的概念和求法，可微和可導(dǎo)的關(guān)系等。1、 導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用和求解（比如分段函數(shù)求導(dǎo)是怎樣的等） 可導(dǎo)必連續(xù)！（注意應(yīng)用） 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法！A. 導(dǎo)數(shù)定義表達(dá)式：學(xué)會(huì)利用表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)！B.f(x)在處可導(dǎo)的充分必要條件是：左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等例10.求在（0,2）處的切線方程。解析：導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在該點(diǎn)的斜率，先求曲線在點(diǎn)（0,2）處切線的斜率k，所以切線方程是，故y=2。（思路拓展：如果此題給的函數(shù)是隱函數(shù)，那么求斜率時(shí)要運(yùn)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。）例11.求分段函數(shù)中a和b的值，已知f(x)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)。解析：在定義域可導(dǎo)且在分界點(diǎn)處連續(xù)，若存在極限，則x=0處導(dǎo)數(shù)為a。利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，左極限和右極限相等，得a=0;利用連續(xù)可導(dǎo)性得：=0，則b=0；例12.求方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解析：應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法：于是：上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：2、 掌握微分的概念，可導(dǎo)和可微之間的關(guān)系及一介微分形式不變性，求函數(shù)的微分例13.已知，則dy=解析：先將方程變成常見(jiàn)的形式，再求微分。 由得，對(duì)y=lnx進(jìn)行微分，得第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、掌握洛必達(dá)法則例14求極限 .解：2.掌握羅爾定理和介值定理（第一章知識(shí)點(diǎn)），以及掌握使用以上定理解證明題羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個(gè)(a,b)，使得f()=0。介值定理見(jiàn)課本。例 例15.3、 掌握曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的定義和計(jì)算例16.（1）求的凹凸區(qū)間。第4章 不定積分1、掌握不定積分的概念和基本性質(zhì)，原函數(shù)和不定積分的關(guān)系，要會(huì)求不定積分例1.求不定積分解析：因?yàn)樗?、掌握不定積分的基本積分公式牢記并會(huì)熟練運(yùn)用課本所列的基本積分公式.3、掌握分部積分法與換元積分法（通過(guò)練習(xí)相關(guān)習(xí)題）例1. 求解析：例2.求不定積分解析： 令，則，所以 為將變量t還原回原來(lái)的積分變量x，由作直角三角形，可知，代入上式，得axt注：對(duì)本題，若令，同樣可計(jì)算。4、 掌握有理函數(shù)的積分（不定積分部分要通過(guò)練習(xí)會(huì)求不定積分）第5章 定積分及其應(yīng)用1、理解定積分的概念，不定積分與定積分的聯(lián)系，會(huì)計(jì)算定積分（換元積分法、分部積分法、牛頓萊布尼茲公式）例1.計(jì)算解析：=2、 理解定積分的一些性質(zhì)和技巧 比如：若被積函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則 對(duì)于帶絕對(duì)值的被積函數(shù)，學(xué)會(huì)