（系統(tǒng)理論專業(yè)論文）幾類非線性發(fā)展方程的顯式解.pdf

聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文運用函數(shù)變換法及李群方法 研究了幾類具有重要物理背景的非線性發(fā)展方程 在已有基礎(chǔ)上得到了方程新的顯式解 包括非行波解 孤立波解和相似解等 并討論了部 分方程的群分類和守恒律問題 在第一章中 主要研究了長水波近似方程組和協(xié)變b o u s s i n e s q 方程組 利用擴展 推 廣 的齊次平衡法 得到兩類方程組的自b a c k l u n d 變換 非行波解和n 一共振平面孤立波解 這些結(jié)果是全新的 與齊次平衡法不同的是 在擴展的齊次平衡法中引入了方程的己知 解 這極大豐富了齊次平衡法的應(yīng)用 可尋求方程的自b a c k l u n d 變換 獲得方程豐富的 顯式解 在第二章中 通過選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換 在系數(shù)滿足一定約束條件時 將變系數(shù) s c h r o d i n g e r 方程約化為常微分方程 通過求解常微分方程較系統(tǒng)地得到變系數(shù) s c h r o d i n g e r 方程的亮孤子解 暗孤子解和橢圓周期解 由本章結(jié)果可以看出方程孤子解 的位相 速度和寬度隨時間變化而變化 在第三章中 討論了描述等離子體中的弱非線性離子聲波現(xiàn)象的 2 1 維z a k h a r o v k u z n e t s o v 型方程 首先應(yīng)用直接對稱方法求得一類廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的 兩種對稱 進而得到方程的約化和顯式解 推廣了已有文獻中的結(jié)論 其次提出一種尋 找對稱的新方法一相容性方法 利用相容性方法得到變系數(shù)z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 的四類對稱和相應(yīng)不變變換群 對稱群 并得到方程的約化和新相似解 這些解由a i r y 函 數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成 與非經(jīng)典李群方法相比較 相容性方法最大的優(yōu)點是直接簡便 省去 大量繁雜的計算 應(yīng)用相容性方法可求解其它非線性發(fā)展方程 在第四章中 運用經(jīng)典李群方法和相容性方法分別討論了變系數(shù)b u r g e r s 方程的群 分類和 3 1 一維j i m b o m i w a 方程的守恒律問題 根據(jù)變系數(shù)b u r g e r s 方程中色散項系 數(shù)口 f 和非線性項系數(shù)6 f 的各種不同情況 得到了方程的群分類 同時求得方程的一 些約化和相似解 應(yīng)用相容性方法得到j(luò) i m b o m i w a 方程的兩類對稱及生成元 一v 6 對 應(yīng)的方程不變變換群 同時求得擴張對稱u 相應(yīng)的守恒律和j i m b o m i w a 方程的九類對 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 稱約化 這里給出的結(jié)果是全新的 關(guān)鍵詞 非線性發(fā)展方程 顯式解 對稱 李群方法 孤立波解 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yu s i n gf u n c t i o nm a p p i n ga n dl i eg r o u pm e t h o d w eo b t a i nn e w e x p l i c i ts o l u t i o n so fs o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si np h y s i c s t h e e x p l i c i ts o l u t i o n si n c l u d en o b t r a v e l i n gw a v e s o l i t a r yw a v e s i m i l a r i t ys o l u t i o n sa n ds oo n w ea l s od i s c u s st h eg r o u pc l a s s i f i c a t i o na n dc o n s e r v a t i o n l a w s o fs o m en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s i nc h a p t e ro n e t h ea p p r o x i m a t ee q u a t i o n sf o rt h el o n gw a v ea n dt h ev a r i a n t b o u ss i ne s qe q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d b ya p p l y i n gt h ee x t e n d e dh o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d w eo b t a i nt h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n n o n t r a v e l i n gw a v e a n dn r e s o n a n c ep l a n es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so ft h et w on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t h e r e s u l t sa r en e w t h eg i v e ns o l u t i o n so ft h ec o n s i d e r e de q u a t i o na r ei n t r o d u c e di n t ot h e e x t e n d e dh o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d t h u so n e c a nd e r i v et h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n da b u n d a n te x p l i c i t s o l u t i o n so ft h eg i v e ne q u a t i o nu s i n gt h ee x t e n d e dh o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d i nc h a p t e rt w o b ys e l e c t i n ga p p r o p r i a t et r a n s f o r m a t i o n s t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s c h r o d i n g e re q u a t i o ni s r e d u c e dt oa no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nu n d e rs o m e c o n s t r a i nc o n d i t i o n s b a s e do nt h es o l u t i o n so ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w e d e r i v eb r i n gs o l i t o n s d a r ks o l i t o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n se x p r e s s e db ye l l i p t i cf u n c t i o n s o ft h es c h r o d i n g e re q u a t i o n f r o mt h er e s u l t sw ec a ns e et h a tt h ep h a s e s p e e da n d w i d t ho ft h es o l i t o n sc h a n g ea l o n gw i t ht h et i m e i nc h a p t e rt h r e e w ed i s c u s st h e 2 1 d i m e n s i o n a lz a k h a r o v k u z n e t s o vt y p e e q u a t i o n t w ot y p e so fs y m m e t r yo f ag e n e r a l i z e dz a k h a r o v k u z n e t s o v e q u a t i o na r e o b t a i n e dv i aad i r e c ts y m m e t r ym e t h o d b ys e l e c t i n gs u i t a b l ep a r a m e t e r so c c u r r i n gi n t h es y m m e t r i e s w ea l s of i n ds y m m e t r yr e d u c t i o n sa n dn e we x p l i c i ts o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e dz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o n t h e nw ep r o p o s eac o m p a t i b i l i t ym e t h o do f f i n d i n gs y m m e t r ya n ds i m i l a r i t yr e d u c t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sas i m p l e e x a m p l e t h e 2 1 一d i m e n s i o n a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sz a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o ni s 3 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 c o n s i d e r e d w ed e r i v ef o u rc l a s s e so fs y m m e t r ya n dt h ec o r r e s p o n d i n gl i es y m m e t r y g r o u p so ft h ez a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o n a tt h es a m et i m es o m en e ws i m i l a r i t y s o l u t i o n sa r ef o u n d w h i c ha r ec o m p o s e db ya i r yf u n c t i o n sa n di t sd e r i v a t i v e s o n eo ft h e a d v a n t a g e so ft h ec o m p a t i b i l i t ym e t h o di st h a ti t i sc a p a b l eo fg r e a t l yr e d u c i n gt h e c o m p l e x i t yi nt h ec o m p u t a t i o n a lp r o c e s s i nc o m p a r i s o nw i t ht h ee x i s t i n gt e c h n i q u e ss u c h a st h en o n c l a s s i c a lm e t h o d t h em e t h o dc a na l s ob ea p p l i e dt oo t h e rn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s i nc h a p t e rf o u r o u rm a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g 1 a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t c a s e so fd i s p e r s i v et e r mc o e f f i c i e n t sa t a n dn o n l i n e a rt e r mc o e f f i c i e n t s 6 f w eo b t a i n g r o u pc l a s s i f i c a t i o na n ds o m en e ws i m i l a r i t ys o l u t i o n so ft h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s b u r g e r se q u a t i o nb yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o d 2 a p p l y i n gt h ec o m p a t i b i l i t y m e t h o d w eg i v et w ot y p e so fs y m m e t r ya n dt h el i eg r o u p sc o r r e s p o n d i n gt ot h ev e c t o r f i e l d s v 0 一v 6 w ea l s oo b t a i nt h ec o n s e r v a t i o nl a w so fd i l a t i o ns y m m e t r yv 3 a n ds o m e s y m m e t r yr e d u c t i o n so ft h e 3 1 d i m e n s i o n a lj i m b o m i w ae q u a t i o n k e yw o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n e x p l i c i ts o l u t i o n s y m m e t r y l i e g r o u pm e t h o d s o l i t a r yw a v es o l u t i o n 4 t 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 前言 1 非線性發(fā)展方程顯式解的研究背景 在非線性科學(xué)的研究中 經(jīng)常會遇到大量能反映各種因子或各種物理量之間相互制 約和相互依存關(guān)系的非線性方程 一般可稱之為非線性發(fā)展方程或非線性演化方程 包 括方程組 參見 卜2 這類方程的各種性質(zhì) 如顯式解 對稱 守恒律等在解釋各種物 理現(xiàn)象時起著十分重要的作用 其中顯式解是最基本的問題 非線性發(fā)展方程的求解是 廣大科學(xué)工作者研究非線性問題必須面臨的課題 它的研究可應(yīng)用于物理學(xué) 力學(xué) 地 球科學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域 因而有著十分重要的意義 對非線性發(fā)展方程 解的研究主要有三個方面 1 解的數(shù)學(xué)理論研究 對于一些難以求出顯式解的方程 借助 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識證明其解的適定性 屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容 2 解的數(shù)值模擬和分析 借 助計算機和計算數(shù)學(xué)的理論 對方程解的變化態(tài)勢進行分析和模擬 屬于計算數(shù)學(xué)的內(nèi) 容 3 求方程的顯式解 應(yīng)用某些數(shù)學(xué)技巧或假設(shè) 構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖儞Q使方程簡化并得到其 顯式解 本文將側(cè)重于第三個方面的研究 即重點尋求非線性發(fā)展方程的顯式解 由于 非線性發(fā)展方程的復(fù)雜性 仍有大量具有實用價值的重要方程無法求出精確解 即使可 以得到非線性發(fā)展方程的某些精確解 給出其通解也是不可能的 因而人們關(guān)心的是方 程某種形式的特解 如行波解 孤立波解 孤立子解 相似解等 這些解可以很好的描述 各種物理現(xiàn)象 像振動 傳播波等 求解微分方程是古老而在理論和實際上又很重要的研究課題 幾十年之前 對非線 性發(fā)展方程的求解 被人們認為是個性極強 難以解決的問題 直到1 9 6 7 年 美國的四 位學(xué)者g a r d n e r g r e e n e k r u s k a l 和m i u r a 創(chuàng)立了反散射方法 3 也稱非線性f o u r i e r 變 換法 并成功求解了k d v 方程初值問題 從而尋求非線性發(fā)展方程的顯式解成為人們再 次關(guān)注的焦點 各種求解方法應(yīng)運而生 包括d a r b o u x 變換法 4 b a c k l u n d 變換法 5 齊次平衡法 6 1 0 及李群方法 1 1 1 2 等 隨著各種求解方法的不斷出現(xiàn) 不但一些難以 求解的方程得到解決 而且不斷發(fā)現(xiàn)了許多非線性發(fā)展方程有重要意義的新解 近年來 隨著計算機的發(fā)展和符號運算如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出現(xiàn) 也為求解方程提供了極 大的幫助 早期 由于認識和方法的局限性 人們主要研究了低維常系數(shù)非線性發(fā)展方程 并 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 取得了豐富的成果 但低維常系數(shù)方程并不能很好地描述我們所認識的現(xiàn)實世界或各種 客觀現(xiàn)象 隨著科學(xué)技術(shù)的進步和研究方法 研究工具的發(fā)展 近幾年國內(nèi)外許多學(xué)者開 始重點考慮高維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程 非線性差分方程和函數(shù)方程也備受到關(guān)注 我們重點考慮的就是高維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程 例如 2 1 維z a k h a r o v k u z n e 捃o v 方程 3 1 維j i m b o m i w a 方程等 參見 1 3 1 4 2 主要研究方法和研究結(jié)果 運用函數(shù)變換法和李群方法 本文得到了幾類非線性發(fā)展方程的精確解 函數(shù)變換 法 顧名思義 直接構(gòu)造函數(shù)變換 將其代入原方程進行約化求解 本文用到的函數(shù)變換 方法主要是擴展的齊次平衡法 李群方法的基本思想是 在連續(xù)變換群下給定的非線性 發(fā)展方程保持不變性質(zhì) 根據(jù)這種不變性構(gòu)造群不變量作為函數(shù)變換的基礎(chǔ) 使方程 減 少一個自變量 得到化簡或求解 李群方法主要包括經(jīng)典李群方法 1 1 和非經(jīng)典李群方法 1 2 1 9 世紀(jì)后期 s l i e 引 進了連續(xù)群的概念 即今李群 也稱為不變?nèi)夯驅(qū)ΨQ群 l i e 證明了 一個微分方程如果 在單參數(shù)李群作用下不變 則其維數(shù)可減少一次 之后 l i e 又考察了偏分方程情形 建 立了熱方程的局部變換群 開創(chuàng)了李群在微分方程中的應(yīng)用 經(jīng)典李群是求解微分方程 相似解系統(tǒng)而標(biāo)準(zhǔn)的方法 然而這種方法比較抽象且大量復(fù)雜的運算 人們感覺它是一 門難以掌握和應(yīng)用的理論 直到1 9 6 9 年 b l u m a n 和c o l e 推廣了李群方法 提出了非經(jīng) 典李群方法 非經(jīng)典李群方法是經(jīng)典李群方法結(jié)合不變曲面條件對方程約化的一種方法 這才使得李群方法及理論被更多的人用于偏微分方程的研究 應(yīng)用此方法可得到方程的 不變解或化簡方程 且為函數(shù)變換法提供理論和技術(shù)支持 經(jīng)典的李群方法 非經(jīng)典的 李群方法 c k 直接約化方法 1 5 是求非線性發(fā)展方程的相似解的三個最有力的工具 也 是目前國內(nèi)外方程顯式解研究中正在探討的前言課題 對稱是李群理論中的一個基本概念 但應(yīng)用直接對稱 1 6 1 7 求解非線性發(fā)展方程仍 有大量問題有待解決 應(yīng)用直接對稱方法求解微分方程的主要思想 通過對稱構(gòu)造一個 輔助方程和原方程組成方程組 求解方程組得到原方程的約化和顯式解 構(gòu)造輔助方程 的原則是新方程與原方程具有相容性 本文對應(yīng)用直接對稱方法進行了有益的探討 本文的研究結(jié)果主要有三個方面 一 利用擴展的齊次平衡法和直接構(gòu)造函數(shù)變換法求解非線性發(fā)展方程 組 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 應(yīng)用擴展的齊次平衡法 考慮了長水波近似方程組和協(xié)變b o u s s i ne s q 方程組 得到兩個方程組新的顯式解 包括非行波解和n 共振平面孤立波解 2 通過選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換 得到變系數(shù)薛定諤方程豐富的顯式解 二 利用李群方法求解高維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程 1 應(yīng)用直接對稱方法求解 2 1 一維廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到了該方程 的約化和新顯式解 推廣已有文獻中的結(jié)論 2 提出并應(yīng)用相容性方法求解變系數(shù)廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到該方程 的四類對稱 相應(yīng)的不變變換群及新相似解 三 李群方法的應(yīng)用 1 應(yīng)用經(jīng)典李群方法討論變系數(shù)b u r g e r s 方程的分類問題 2 應(yīng)用相容性方法研究 3 1 維j i m b o m i w a 方程的守恒律和 本文得到幾類非線性發(fā)展方程豐富的精確解 為人們認識各種各樣的物理現(xiàn)象提供 了基礎(chǔ) 但非線性發(fā)展方程的求解問題 技巧性極強 難度很大 即使同一個方程 應(yīng)用 不同的方法可能會得到不同的顯式解 因此尋求非線性發(fā)展方程顯式解的方向仍有大量 問題需要解決 其中包括提出更加完善的求解方法 得到更多方程的顯式解 當(dāng)然在新 的求解方法提出過程中 也需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論支持 這必然推動數(shù)學(xué)領(lǐng)域中許多學(xué)科 的發(fā)展 3 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 第1 章兩類非線性發(fā)展方程組的孤立波解和非行波解 齊次平衡法是王明亮教授在1 9 9 5 年提出的一種構(gòu)造變換求解方法 利用該方法得到 大量非線性發(fā)展方程的顯式解 但通常是行波解 應(yīng)用擴展的齊次平衡法 我們得到長 水波近似方程組和協(xié)變b o u ss i ne s q 方程組的自b a c k l u n d 變換 非行波解和n 共振平面孤 立波解 1 1 引言 非線性發(fā)展方程可以描述物理 化學(xué) 生物等眾多科學(xué)領(lǐng)域中的復(fù)雜現(xiàn)象 因而求 解非線性發(fā)展方程一直受到物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注 近年來也發(fā)展了一些行之有效的 求解方法 例如反散射方法 齊次平衡法等 尤其在引入擴展的齊次平衡法 1 8 1 9 后 求得許多非線性發(fā)展方程的顯式解 應(yīng)用擴展的齊次平衡法不僅能求解方程 進而可以 尋找方程的自b a c k l u n d 變換 對于給定的非線性發(fā)展方程 p u u u u x x 0 1 1 其中u u x f u o u l a x 擴展的齊次平衡法的關(guān)鍵思想是尋求方程 1 1 如下形式的解 u a m n w 1 2 其中廠 廠 w 和w w x t 為待定函數(shù) u 為方程 1 1 的已知解 m n 可通過平衡u 的最 高階導(dǎo)數(shù)項和最高階非線性項得到 將 1 2 式代入方程 1 1 并將有關(guān)心的最高階項放在 一起 令其系數(shù)為零可得廠 w 的一個常微分方程 由此得到廠 w 再將廠 w 的各類非 線性項換成廠 w 高階導(dǎo)數(shù)線性項 令廠 廠 的系數(shù)為零 則可得到w x t 的超定方程 組 進而可求出方程 1 1 的顯式解和自b a c k l u n d 變換 本節(jié)利用擴展的齊次平衡法考慮 了如下長水波近似方程組和協(xié)變b o u ss i ne s q 方程組 一 一v i 1 o y 呻v 一吉y o 1 3 4 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 u f i 1 v x x x 0 v4 u 4 嵋 0 1 4 文獻 6 給出了方程組 1 3 的一些孤立波解 而文獻 2 0 給出了方程組 1 4 的某些顯式解 因擴展的齊次平衡法中引入了方程的己知解 應(yīng)用擴展的齊次平衡法我們得到兩個非線 性發(fā)展方程組的自b a c k l u n d 變換及新顯式解 其中包括咒共振平面孤立波解和非行波解 推廣了已有文獻中的結(jié)果 1 2 長水波近似方程組的顯式解 依據(jù)擴展齊次平衡法的思想 首先要平衡方程組 1 3 中的最高階導(dǎo)數(shù)項 或k 和最高階非線性項 或 v 因而選擇變換 u x t 廠7 w 嵋 f 1 5 v x f g w w 2 g w a t 1 j o x f 1 6 其中廠 w g w 及w x f 為待定函數(shù) u o x t 和v o x f 是方程組 1 3 的己知解 將 1 5 和 1 6 代入長水波近似方程組 1 3 e e 司得 甜 飛i1 一 一 一一i1 uux 4 g廠一 以 k 甜r一匕 i n2 一 了 一i 嵋 k i u 一 一i 1k 一 廠魯一 廠警一 丟g 以 k 其中墨和 表示w x f 關(guān)于x 和t 的低階導(dǎo)數(shù)項 分別令記和以的系數(shù)為零可知f g 有解廠 w g w l n w 應(yīng)用關(guān)系式廠噸 t w2 f y 一f 及方程組 1 3 的解 v 0 有 一 一匕 三 k 一i 1 一 心 廠 w w f 一三 一 u 廠 叻 u 一 甜 一五1k 嵋 w f j 1 一 u g w 2 w x w x t 一蠆1 三 k 一 一三1 w x x w 一五1 一 u g w 比 一v o w x 一 1w g w 令f w f 7 g w 及g7 w 的系數(shù)為零得到關(guān)于函數(shù)w u o 和v o 的約束方程組 w f 一要 u o w x o w f i 2 o 5 1 7 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 一u o 20 1 8 一 一丟 o 1 9 因而 1 5 式和 1 6 式可寫為 u x f 笠 x f v x f 甜 1 1 0 w 顯然 1 1 0 式是長水波近似方程組的自b a c k l u n d 變換 其中w 滿足方程 1 7 應(yīng)用方程組 1 7 一 1 9 p j 求得長水波近似方程組 1 3 的顯式解 2 1 行波解 尋找方程組 1 3 的行波解 首先要做行波變換 x f 孝 甜 o 幻 及 w x t w 孝 w x 幻 其中k 是波速 則方程組 1 7 一 1 9 可約化為 k u o w 一丟礦 o 1 1 1 一2 k u o d 0 1 1 2 其中w w 善 囈 u o o d 是積分常數(shù) 求解方程 1 1 2 可得 u o 孝 尼 k d k 2 i 吃告 簍塵小以 i p 2 2 一 眨 塵咝磐絲叢壘型絲絲堡d 七z r tc o s 4 d k 2 孝 r zs i n 4 d 一尼2 孝 其中五和吃是任意非零常數(shù) ra 尼 圻f 歷 吃 尼一 兩 拓 吃也i 萬 紅一 也頁萬 求解方程 1 1 1 n 得 w 告 e 2 肛峋 胱 1 1 3 方程 1 1 2 中選擇不同的解函數(shù) 可根據(jù)方程 1 1 3 得到不同的w 孝 分下面幾種情況 1 取 孝 k 由方程 1 1 3 可得 一c w 孝 2 南 w 孝 二 生 群 6 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 則力程駔l 1 j j 共伺伺埋兇裂胖 比力2 乏瓦暴磊i 萬 志 v 彬 訓(xùn) 1 m 其中a 是積分常數(shù) 2 取 孝 錈壩 由方程 1 可得 w 孝 2 蔫 w 孝 一麗a i r 2 三i 鬲1 口z 5 其中 i r z a 和a 是任意非零常數(shù) 因而可得到長水波近似方程組如下形式的解 礎(chǔ)力 等 鬻 刈一 1 1 6 其中 尼 撕歷 吃 七一撕歷 w 善 和以孝 由方程 1 1 5 r 確定 若 取a 一0 i r 2 則解 1 1 6 可約化為 u x f 七 知t 州廁 v x f 七z d s e c h z 廁 1 1 7 取d o 尼 了a 即為文獻 6 中的結(jié)果 3 取甜 孝 a 3 e o s 1 4 d k 1 2 4 6 s i n 下4 d k i 2 一4 由方程 1 1 3 可求得 e o s 4 d k 2 孝 r es i n 4 d k 2 孝 w 7 孝 2 雨 百 a i l c o s q d ks i n 4 d 磊麗 1m 吒2 孝 吃一七2 孝 2 砌剛巫里 w 孝 了 亍 f 一 口2 1 1 9 1t a n 半 2 一 一2 吃t a n 二畢 l 再 其中 i a 和a 是任意非零常數(shù) 因而我們得到了方程組 1 3 相應(yīng)的三角函數(shù)解 出力 嘗 坐型竺塑坐韭些川圳砘 1 2 0 7 w 孝 c o s x d k 2 孝 s i n d k 2 孝7 7 其中w 和w 分別由 1 1 8 和 1 1 9 r 確定 a 缸 撕i 萬 a 虹一 面 7 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 取口2j 0 吒 r 2 則解 1 2 0 窒4 3 化為 吣力 1 孚4 d k 2t a n 巨2 馬 巫2c o t 巫2 歸 1 2 1 取 彳 任意常數(shù) w 五f l 喜聊te x p 吼x 三口 t a a k t 釓 容易驗證w 是方程 m t qe x p a t x i 1 2 h a a k f 釓 u x f 曼l i 專 一 么 v x f 1 2 2 1 m e x p a k x i 1 2 f a a k t 仇 k l 厶 p x 口le o s x g 瓦x a 2s i n x 芴x 兄 o d 2 2 2 o d 2 2 旯 o d e 2 c 1 塵篆c o 咝s q 蒜型d 4sin等 q c o p x s e c h x d 1c o s h f f 2 2 l x d 2s i i l h 歷x 2 2 1 o 因而方程組 1 3 有解 1 3 3 1 3 4 五f 而c e x t p x t a n h x v x f 蠔 1 3 5 其中pf l 了 1 3 3 式或 1 3 4 式確定 1 3 協(xié)變b o u ss i n e s q 方程組的顯式解 應(yīng)用擴展的齊次平衡法 選擇變換u 廠鍵 廠吆 g 也 v o 其中廠 g w 和w x f 為待定函數(shù) x t 和v x t 是方程組 1 2 的已知解 將變換代入方程組 1 4 可求得f g 2 1 nw 且有 w x x w r o w x 0 o2 x u o j v o f v o v o j 0 因而方程組 1 4 的解滿足關(guān)系式v 2 蘭 y v w 1 取v o a 常數(shù) 則可得到方程組 1 4 的n 共振平面孤立波解 1 3 6 1 3 7 1 3 8 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 厶e x p 1 k x 1 k l ta l k t m t 2 生量 一 1 吼e x p 1 k x i k l ta l k t m t a u u 1 3 9 其中嘶 o 厶 o 和m k 是常數(shù) 若m 0 解 1 3 9 即是文獻 2 0 中的結(jié)果 2 取v o 彳 x w x t w o p x q t 其中w o 是任意常數(shù) p x 和g f 為待定函數(shù) 因而 有 p v o p 一2 助 0 若 要 一7 2 由方程 1 4 0 n j 徒j(luò) t p x 口 土c o s h 瓜一口2 a o 因而協(xié)變b o u ss i ne s q 方程組有解 v 魚 三 1 w o 上p c e 刀x 1 1 4 0 1 4 1 1 4 2 1 4 3 其中p 由 1 4 1 式或 1 4 2 式確定 本節(jié)應(yīng)用擴展的齊次平衡法分別得到長水波近似方程組和協(xié)變b o u ss i n e s q 方程組的 n 共振平面孤立波解 1 2 2 和 1 3 9 和一些行波解 包括三角函數(shù)解和雙曲函數(shù)解等 將 齊次平衡法和變量分離法相結(jié)合 得到了長水波方程組的非行波解 1 2 8 1 3 0 1 3 2 1 3 5 f l t 協(xié)變b o u s s i n e s q 方程組的非行波解 1 4 3 這些解是全新的 推廣了文獻 6 和 2 0 中的結(jié)果 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 第2 章變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程的顯式精確解 2 1 變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程的約化 非線性s c h r o d i n g e r 方程在非線性光學(xué) b o s e e i n s t e i n 凝聚等眾多物理問題中有廣泛 的應(yīng)用 本節(jié)考慮了如下變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程 i u c f b t l u l 2 口 z t u 2 1 其中a x t 墨 x f 如 f 6 f c f 向 x t 和k 2 t 為光滑函數(shù) 方程 2 1 在c t 1 6 f 2 k 2 t o 霸 x f 2 a o x 時可描述非均勻色散介質(zhì)中非線性傳播波問題 文獻 2 2 給出此時方程 2 1 的s e c h 型解 文獻 2 3 考慮t t y 程 2 1 i e a x f 白 f 時的孤立波 解 當(dāng)c t 1 b t 一2 時 方程 2 1 j l 臣過p a i n l e v e 檢驗并且完全可積 2 4 當(dāng)a x t x b o 2 j ls i n o g t b t 和c f 為常數(shù)時 應(yīng)用反散射方法文獻 2 5 得到了方程 2 1 的亮孤 子解和暗孤子解 由于變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程可以描述非均勻介質(zhì)問題 因此討論變系 數(shù)方程求解有較大的應(yīng)用價值 在應(yīng)用反散射方法討論較一般的變系數(shù)方程時遇到變譜 的困難問題 因此本節(jié)將選取直接函數(shù)變換法約化變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程 進而得到了 該方程豐富的精確解 包括三角函數(shù)解 橢圓函數(shù)解等 推廣已有文獻 2 2 2 5 中的結(jié)果 首先選取函數(shù)變換 u x f p x t e 坷 川 2 2 其中p x t 和q x t 是待定函數(shù) 將 2 2 式代入方程 2 1 中有 p 一c p q 一2 c q p k 2 p 2 3 p q 印 一印蠢 印3 一毛p 2 4 簡單起見取q x f q 2 f x 2 吼 f p g f 其中q l f q f 和q 3 t 為t 的待定函數(shù) 則由 2 3 可得 p 2 c 2 q 2 x q 1 p k 2 2 c q 2 p 2 5 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 不難看出方程 2 5 存在解 p x f w o e 似 也 蝴 d f 2 6 其中目 e 4 c t q h t d t x 2f c f g f p 4 c f 9 2 f 出 以 以p 為任意函數(shù) 將 2 6 式代入方程 2 4 式中可得 c f p 帕湖c f 舭 出 b t p 3 k 2 t 6 c t q 2 t d t w 3 a t 吼 毛 p 腳h 哪地 f 坤w 2 7 其中w d 2 w d 0 2 為了把方程 2 7 化為常微分方程 可選取如下的約束條件 愀 z f d f 一 p 3 k 2 t 6 q 2 t 坤 2 8 肛 哪 z f 坤 g g 2 七 8 螄惝z 2 9 其中口和 是任意常數(shù) 由約束條件 2 8 和 2 9 方程 2 7 可化為 w a 2 w 4 肚2 h 2 1 0 其中h 為積分常數(shù) 因而通過求解約束條件 2 8 和 2 9 t 的方程 2 1 0 n i 得到變系數(shù) s c h r o d i n g e r 方程 2 1 的顯式解 由方程 2 8 易得 b t a t t e x p 一2i 也o 2 c f 9 2 f 以 2 11 分析方程 2 9 j t i 玟毛 戈 t m t x 2 l f x d f 我們有 g o 4 c o g o 聊o o g o 4 c o g o 吼o 玎o 0 毹 f g 沁 d f p c f e 8 j c 啦 岫 2 1 2 其中m f 刀 f 和d f 是關(guān)于f 的光滑函數(shù) 方程組 2 1 2 是關(guān)于q l f g f 和g f 的約束 方程 綜上所述 我們有以下的結(jié)論 定理1 若方程 2 2 中的函數(shù)q x f q 2 f z 2 g f x g f 滿足約束條件 2 1 1 署 1 2 1 2 則方程 2 1 可約化為常微分方程 2 1 0 且具有 2 6 形式的顯式解 其中a x f 墨 x f i 屯o 墨 x f m t x 2 z o x d o 推論對于取c t 1 b t 一2 的特殊情況 方程 2 1 有如下形式的解 1 3 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 川 w e 2 j k 2 t d t x 一2k o p 2 燦 出以 p 2 岍拶1 州啦刪 2 13 其中w 由 2 1 0 確定且 口 2 yy o 棚o 墨姿塵一礙o 刀o 一g o 2 9 o 包o d f f l c t e 4 燦渺一啪 一q 2 t 2 1 4 應(yīng)用定理1 及方程組 2 2 y t l l 2 6 通過方程 2 1 0 的解我們可得到變系數(shù) s c h r o d i n g e r 方程的顯式精確解 2 2 變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程的顯式精確解 本節(jié)給出了方程 2 1 在方程 2 1 0 選取不同參數(shù)口 和五時的各類解 見文獻 2 6 1 1 a 2 h 0 方程組 2 1 0 和 2 1 相應(yīng)的解分別為 w s e c h o u x t s e c h o e i t 一2 9 2 4 q j 其中臼和q x t 分別由方程 2 6 和定理1 確定 取6 2 c 1 a n t 2 a o x 時 方程 2 1 有解 毗f 叩s e c 五 7 7 x 2 r l a o t 2 p o f p i 2 a o t f l o x q 2 t i 2 吖 聃削 其中a o 8 0 7 0 和x o 為積分常數(shù) 這就是文獻 2 2 中的結(jié)果 同時若適當(dāng)選擇解中其他參 數(shù) 我們也可以得到文獻 2 3 2 5 中的相應(yīng)結(jié)果 因此我們推廣了 2 2 2 5 中的結(jié)論 2 2 口 2 h 1 此時方程 2 1 存在著所謂的暗孤子解 w t a n h o u x t t a i l l l 臼 七2 7 一2 g z 坤 由 由方程 2 1 0 的解w 可得到方程 2 1 如下的三角函數(shù)解 3 2 口 2 h 1 w t a n o u x t t a no e i k 2 t 2 c t 9 2 出 由 列 4 一1 口 2 h 0 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 w s e c 0 u x t s e c o e f t k t 2 c t q 2 t d t 由 應(yīng)用同樣的方法可得到方程組 2 1 0 和 2 1 橢圓函數(shù)解 5 一 1 k 2 口 2 k 2 h 1 w s n o u x t s n o e i t k 2 t 2 c t q 2 t d t 幻 盯 當(dāng)k 寸1 該解可退化為3 2 情況下的解 6p 2 k 2 1 曉 一2 k z h 1 一k 2 w c n o u x t c n o e l t k 2 t 2 c t q 2 t 西 訛n 7p 2 一k 2 口 一2 h k 2 1 w d n o u x t d n o e l t k 2 一2 啦 明出 訛 其中s n o c n o d n o 為模為k 的橢圓函數(shù) 8 2 一k 2 口 2 1 一k 2 h 1 此時方程 2 1 0 的解為w s n o c n o 因而方程 2 1 有解 u x t s h o e k 2 t 2 c t q 2 t d t 訛n c n o 基于文獻 2 6 1 q b 方程 2 1 0 的解 人們可得到方程 2 1 橢圓函數(shù)的有理形式解 9 0 1 k 2 2 口 一 1 一k 2 2 h 1 k 2 4 u x t d n o 1 k s n o e i k 2 一2 q 2 4 由 1 0 8 1 6 k k 2 4 口 2 k h 一 1 一k 2 4 1 1 1 6 k k t 2 口 2 1 t k 2 h k u x f 2 夏0 n o c n o c n 2 p k ts r l 2 目 e l t k z 姚 蝴f 肌撕 1 2 f l 一2 1 k 2 口 2 1 一k 2 h 1 k 2 u x t c n 2 0 一k s n 2 0 c n 2 0 k s n 2 臼 e i b 一2 9 2 1 出 由 1 5 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 3 2 1 k 2 口 2 1 k 2 h 1 一k7 2 u x f k 一d n 2 0 k 加2 p e i 如 一2 9 z 1 出 蛔 通過選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換 一類變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程被轉(zhuǎn)化為常微分方程 基于 常微分方程的解得nt 變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程新的顯式解 包括孤子解 三角函數(shù)解 橢圓函數(shù)解等 推廣了文獻 2 2 2 5 1 1 拘結(jié)果 通過本章的討論 可知卜1 3 中孤子解的位相 速度和寬度是隨時間而變化 且9 1 3 情況下的解在已有的文獻中從未報道過 在求解方 程組 2 3 f f i l 2 4 時 選取g x f q 2 f x 2 g f x 吼 f 若q x f 選擇其它的形式則能得 到變系數(shù)s c h r o d i n g e r 方程另類新解 這是進一步要討論的工作 1 6 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 第3 章勱砌啪v 一舭 z p 鼢d v 型方程的顯式解 z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程作為非線性發(fā)展方程的典型代表之一 在應(yīng)用和理論研 究中占據(jù)著極其重要的地位 本章首先利用直接對稱方法得到廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的兩類對稱和豐富的顯式解 然后提出一種新的求解對稱方法一相容性方法 并應(yīng)用 于變系數(shù)z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程 得到方程的四類對稱和相應(yīng)不變變換群 3 1 一類廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程的對稱約化和顯式解 應(yīng)用直接對稱方法我們考慮了一類廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v z k 方程 2 7 f a u u j b u 2 j 洌m 如聊 0 3 1 式中a 9 b c 和d 是任意常數(shù) 方程 3 1 包含了大量有意義的方程 像k d v 方程 z 黝y 方 程 z k 方程和m z k 方程 它可以描述淺水波 固體中的熱脈沖和等離子體中的弱非線 性離子聲波等物理現(xiàn)象 對于方程 3 1 取a 9 b 0 和c 1 的特殊情況 m o u s s a 2 8 得到 了其對稱約化和相似解 文獻 2 9 中利用s 揚p 一 s 覷p 法則考慮了方程 3 1 b 0 時的孤子 解和周期解 本文的主要目的是得到廣義z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程更加廣泛的顯式解 以便于人們更好地認識該方程所描述的各種客觀現(xiàn)象 首先對于給定的非線性發(fā)展方程 f x t u u u 0 3 2 給出對稱的概念 定義稱函數(shù)c r x t u u t u x 記為o u 或盯 為方程 3 1 的一個對稱 如果 f 仃 0