（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一類半線性橢圓方程解的增長性研究.pdf

摘要 本文主要研究豫 的有界區(qū)域上一類半線性橢圓偏微分方程一 札 a r u 文中用到了研究橢圓方程的一些基本方法與技巧 我們發(fā)現(xiàn)f 的性 質(zhì)對解的增長速度有著很大的影響 故文章主要按f 遵從單調(diào)情形與非單 調(diào)情形兩種情況對參數(shù)趨于臨界指數(shù)時(shí) 方程解的增長性進(jìn)行分析研究 并對解的增長速度作出了比較精確的估計(jì) 其中 當(dāng)f 遵從單調(diào)情形時(shí) 又按f t 一a t 與 衰減速度的快慢 分三種情況對解的增長速度進(jìn)行分析 得到了一些較好的結(jié)果 同時(shí) 我們也提出了一些未能解決的問題 關(guān)鍵詞半線性方程 參數(shù)臨界值 單調(diào) 非單調(diào) 解的增長性 衰減 a b s t r a c t t h eo b j e c t i v eo ft 1 1 i sp 8 p e ri st os t u d yak i n do f8 e m i h n e a rp a 工t i d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 一 a i nb o u n d e dd o m mi nr o nw h i c h1 l r e u s es o m eb a s i ct 0 0 1 s 瓤l dm e t h o d 8i nt h es t u d y e u i p t i cp a r t i a ld i f r e r e n t i 8 l e q u a t i o 璐 w bf i n do u tt h a tt h er e s u l td e p e n d sh e a v n yo nt h ep r o p e r t i e so f f t h e nw ed i s c u 8 st h es o l u t i o ni t h em o n o t o n ec a s ea n dt h en o n m o n o t o n e c a s e w h a t sm o r e i nt h em o n o t o n ec a s e 踟r d i n gt ot h ed e c a ys p e e do f t a t w em a k en 坶e x p l o r a 七i o na r l dg e ts o m eg o o dr e s u l t s f i n a l l y w e p o i l l to u ts o m eq u e s t i o 璐w h i c hh a e n tb e e nc o n q u e r e d k e y b r d 8 8 e m i i i n e a re q u a t i o n s c r i t i c a lv a l u e so f t h ep a r a m e t e r m o n 0 一 t o n e n o n m o n o t o n e i n c r e a s eo fs o l u t i o n s d e c a y 2 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所里交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究 成果 據(jù)我所知 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 本論文不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的研究成果 對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體 均已在文中 作了明確說明并表示謝意 作者簽名 隨日期 型 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 學(xué)校有權(quán)保留 學(xué)位論文并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版 有權(quán)將學(xué) 位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱 有權(quán)將學(xué) 位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索 有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出 版 保密的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定 學(xué)位論文作者簽名 p 智芹 日期 型 z 導(dǎo)師躲摁鼠 日期 喇 譬 第一節(jié)引言 1 1 背景介紹 偏微分方程產(chǎn)生于許多科學(xué)和工程建模過程中 其興起已經(jīng)有兩百多 年的歷史了 由起初研究直接來源于物理與幾何的問題發(fā)展到一個(gè)獨(dú)立 的數(shù)學(xué)分支 內(nèi)容龐雜 方法多樣 偏微分方程討論的問題不但根植于物 理 力學(xué) 生物 幾何和化學(xué)等學(xué)科的古典問題 而且在解決這些問題時(shí) 應(yīng)用了許多現(xiàn)代工具 近幾十年來 謠領(lǐng)域的研究 特別是對非線性方程 的研究 發(fā)展蓬勃 對半線性方程的研究是偏微分方程重要的分支之一 對它的研究 人們 已經(jīng)做了大量的工作 并且得到了許多結(jié)果 解的漸近性對解的穩(wěn)定性有十 分關(guān)鍵的作用 因此 通過對解的增長性研究 更全面地來了解半線 生方程 具有深遠(yuǎn)的意義 在豫 中有界區(qū)域中 對方程一 釷 a 札 已經(jīng)有一些研究 j i n e i 沁n g l e e f 3 1 討論了參數(shù)a 一0 及a 趨于臨界指數(shù)時(shí)解的性態(tài) p e t r um i m n e s c u 和 v i c e n t i ud i a d u b c u 1 對a 趨于 臨界指數(shù)時(shí)的解也作了深入的研究 在解的 增長性方面得到了一些很有意義的結(jié)果 當(dāng)然 還有許多這方面的工作 如 8 卜 1 2 1 本文考慮如下問題 j 一 u a u nq 札 o no n 其中 q 是酞 中的有界區(qū)域 r r 且f 為e 1 凸非負(fù)函數(shù) 并滿 足 o o o o f 是漸近線性的 即惡華 n o o 以下 我們均設(shè)a 是一個(gè)正參數(shù) u e 2 q ne 豆 1 2 定義與記號 單調(diào)情形與非單調(diào)情形 m o n o t o n ec a s e 趿dn o n m o n o t o n ec a s e l 設(shè)熙 t 一o t f 一o o 若l o 我們說f 遵從單調(diào)情形 若f o 若n o 則相應(yīng)記為叻 若a l a 7 u 0 稱 1 的解u 為穩(wěn)定的 若不然 別稱解為不穩(wěn)定的 1 u c s n 意為在q 的緊子集上一致 u n i f o r m l yo nc o m p a c ts u b s e t so f n u 砭意為在q 上一致 u n 渤r m l yo nq 以下若無特別說明 均為q 上的積分 故后面書寫中省略n 1 3 已有的主要結(jié)果 目前已有的結(jié)論如下 1 1 存在a o o 使得當(dāng)a o 時(shí) 1 有解 當(dāng)a a o 時(shí) 1 無 解 2 對a 0 在 1 的解中存在一個(gè)最小解 設(shè)為u n 3 映射a 一札 a 是r 一e 麗 上的e 1 凸的增函數(shù) 4 t a 是使得算子一 一a 強(qiáng)制的唯一解 5 若f 遵從單調(diào)情形 則 a a 1 n b 曼m 札 a 2o u c s n c 當(dāng)a o 時(shí) u a 是 1 的唯一解 d 當(dāng)a a 時(shí) 1 無解 6 若f 遵從非單調(diào)情形 則 a a 8 a t k 其中k 嘧華 b 當(dāng)a 時(shí) 1 有唯一解 設(shè)為礦 c 熙u 3 札 m q 1 d 當(dāng)a o a l o 除了 a 1 無解 e 當(dāng)a a 1 口 1 至少有一個(gè)不穩(wěn)定的解 設(shè)為口 a 對u a 則有 f l i a o u c s q 一蛩 g 尚炒u 一砭 以上結(jié)論見 1 2 第二節(jié)問題陳述 2 1 問題的基礎(chǔ) 根據(jù) 1 3 已有的主要結(jié)果 我們可以得到 定理1 箋 簍2 n 1 i 札 0o na n 1 1 其中 q 是r 中的有界開集 r r 且 為e 1 凸非費(fèi)函數(shù) 并滿 足 o o 0 o 是漸近斌性的 即恕華 n o o 1 單調(diào)情形對 贏u a 妒 執(zhí)a 1 2 非單調(diào)情形時(shí) 贏 a 2 妒 n c 1 豆 定理證明見f 1 1 箋瑚 簍 1 1u 0 o na f 2 l 1 算中 q 是r 中的有界開集 r r 且 為e 1 凸非費(fèi)函數(shù) 并滿 足 o 仉 o o 是漸近線性的 即規(guī)華 o 若叫 a 或彳為面麗 雨u a 或者為而 把麗 a 刖當(dāng)a 與魯很接近時(shí) 石黠 致有界 定理證明見 1 我們主要討論乎調(diào)情形時(shí) 當(dāng)a 一魯 解u a 趨于o 的階數(shù) 及非單 調(diào) 隋形時(shí) 當(dāng)a 一魯 不穩(wěn)定解口 a 趨于o 的階數(shù) 3 i 璺瑚 簍 1 i 札 0 o 禮 a q l 1 其中 q 是r 中的有界開集 r r 且 為e 1 凸非負(fù)函數(shù) 并滿 足 o o 是誓近冀性的 即恕華 n o 設(shè) 遵從單調(diào)精形 即對任意t 有 t t 令 j i m t 一o t o 別 她一n a 愀a 慨喲 等 證明 令 u 巴 a l o a l i u a 怯 n 1 d 經(jīng)變形 于是 a 剛 a 小工 妒t a t u a 一a u a 2 廠妒 a 一a j u a 一a u a 一n u a 苧l 行分解汕q 聯(lián) 叫舢 其中似 入 1 f 五蠢箝蠹鬲取入 陋 a 憶t n 所以 川啦 經(jīng)改寫 上式為 妒 a 一a a 8 趾 a f c n 枉 a a 妒 u a 一n 札 a 注意到 當(dāng)a a l 口時(shí) 右邊積分趨于 j 秈1 當(dāng)a 一 i 0 時(shí) 左邊積分在而上趨于 研 若l q o 以o o 是漸近線性的 印熙華 o 設(shè) 遵從非單調(diào)恃形 今鰓 o 一叫2f f o o 剛 上署 入 一n 酬 酬l 卿2 f 定理證明與定理3 類似 以上結(jié)論見 l 2 2 存在的問題 當(dāng)f 遵從單調(diào)情形時(shí) 定理3 中 當(dāng)f 0 時(shí) 定理所給出的結(jié)果是比較好 的 但是 當(dāng)f o 時(shí) 有 l i m a 1 一n a i l 讓 a 怯 n 0 定理3 只告訴我們 讓 a 伊 一o o 的速度比1 a l n a 一o 的速度慢 但沒有一個(gè)精確的 劉畫 事實(shí)上 在單調(diào)情形下m 舢的增長性極大地依賴于f 的性質(zhì) 類似的 當(dāng)f 遵從非單調(diào)情形時(shí) 定理4 的結(jié)果在f 一 o o 時(shí)是很好 的 但是 當(dāng)f 一 時(shí) 1 i 9 a 1 一n a a 怯 一 結(jié)果比較平凡 定理4 只告訴我們 a 怯 n 一 的速度比1 a 1 一口a 一 的速度快 但同樣沒有一個(gè)精確的刻畫 所以我們希望能在本文中在兩種情形下分別對u 柚一 及 舢一o 的增長性進(jìn)行更為精確的分析與研究 5 第三節(jié)單調(diào)情形的主要結(jié)果及證明 定理3 的結(jié)果在f o 時(shí)是比較好的 倒 o 時(shí) l i p a l d a u a l i 口f n o 我們僅知憶 砷l i p n 一 的速度比1 a 1 一 a 一o 的速度慢 為了對方 程的解得到更為準(zhǔn)確的把握 下面我們研究j i m 一耐 2 0 時(shí) 亂 的增長性 3 1 情形一 t 一砒與 有相同的表戰(zhàn)速度 璺 曲簍 1 其中 q 是酞 中的有界開采 若 t 一武與 有相同的衰減速度 即存在 d 時(shí) h m 韭 旦 d 劇有 吉 蠕 瓜習(xí)懈州川n 半 證明 一8 t 與 有相同的衰減速度 所以 存在t o s t t t 時(shí) 有g(shù) 華s2 d 即島 邢 一n f 孕 讓 a 分解為 讓 a 七 a t u a s t k a o 廠t u 2 1 a o o 由 2 7 妒l a 1 一口a t 一a 牡 a 一n u a o 2 式兩邊同除以 f 孤 得 妒 商m 川 巡攀爛產(chǎn) 選迤 咀i n f 杪 孤七 入 o 若不然 存在 一a l o8 f 擴(kuò)f 百石 一o 于是 當(dāng)p 一a 1 口時(shí) 3 式左邊一o 3 式右邊 p 妒l d a 啦n 妒1 1 孤鬲面而麗2 t 雨麗蘆菰麗 j 2 七 p 加 a t n 弘 j z 叫 h j a l n a 七 p 6 又因?yàn)榇嬖趍 o 使得最南 肘 所以 3 式右邊一o 矛盾 亟出壘 l h 8 u p 妒f 麗 a o l i p r 砑七 a c 設(shè)存在肛 一a 1 止s t 爵 忑鬲 一c 再看 3 式 當(dāng)p 一a 1 n 時(shí) 左邊一c 3 式右邊 妒 地 業(yè)嶼型幽 每d 掣i 硐 故c 掣m 所叭 廂 蠕 廂習(xí) 口 3 2 情形二 一n 比 衰減得慢 定理6 j 一 a t i 扎q iu o d na q 其中 n 是r 1 中的有界開桌 若 t 萬 砰 o o 2 1 七 a o 由 2 一妒l 一a u 一a 札 a 一u a o 7 妒 a 一a m a 叫q 一i 耳x 薪 妒 a 一a 加 a i i 赫 兩邊同除以 l a 南 得 4 妒 al a 由 a 叫 ii二 i三 ii褊 皿塹 1 1 p i n f a l a 南七 a o 若不然 存在p 一入ls t 1 一p 格 p 一o 于是 當(dāng) 一a l 時(shí) 4 式左邊一o 4 式右邊一o o 矛盾 l i 照 l i m s u p a 1 一a 贏 a o j 2 田 a 1 一a 南七 a c 設(shè)存在 p 一a ls t a l p 南七 腳 一c 再看 4 式 當(dāng) 一 時(shí) 4 式左邊一 r 妒 由1 c 妒 c 一 端 一 砑 孑 何 c 等 妒i c 2 萬 妒i 于是c a 妒 1 南 熙 a t a 南似酬p n 口 事實(shí)上 對于任意口 o o o t 武 由 o n 1 上述 8 l c q a執(zhí)帆 d a u 0 一 u l 有 f 裁 地 投一 乏7 理 定 若 t 一耐比 襲減得慢 印 f 一n o a o a l 馴有 熙 叫釧m 川州n a 南 證明 第一步 證明對 t 一t 七 o l r 有 艦 二a 南 憶 a 廠一 雨 根據(jù)定理6 的證明即得結(jié)論 第二步 再證 當(dāng) t 一 t o o a l 時(shí) 有 艦m 叫釧小川叫曠 a 才 這是因?yàn)?一缸 o o 口 l 故可摯存在 t 丘 t s 土 l 一t 七l f r 矗 t 一t 也 f h 奄1 南 0 p 一t 南 8 o 口 o 使得若岫 r d 口n 1 馴有 n 熙 a l a 9 m a 慨n l o 卻 南 1 俐 溉 a 一a 4 m a 慨n o 卻 由 為證明該定理 我們需要估計(jì) l 去 廠1 l 1 慨 石p 引理3 一 存在正常敷尬 鮑 i 使得 f 2 m 軀 如眺 擊s 善一 0 1 殺 1 證明 2 可以很容易由 1 得到 1 e o 岫 垂 皿如引理1 引理2 中定義 引詈寸 已 曼牟0 g o 垡得g d a q 妒1 q d z a n 當(dāng)z u 且最終用一個(gè)很小的數(shù)來代替翮時(shí) 取 1 1 嘣n 瓣妒l q 6 于是 若 e l 則有 m 去 k 盤 六 k 姐姐 去 南 d z 鋤 c s 妒 s t 蠡 d z a n 魏 是帝 壽 南 1 t 啦m 赤 古 1 w 凸c 地 c 叫c 4 孤i 方矗p 1 拼暑 l 蛇吣壽 擊 1 w 州 c 州凸 瓦南兩 a 對 廣1 k 1 w q o j 加2 1 a 卜m 圳臚 n 一 記k 七 肼 札h 枷 p 由 2 妒1 a 一a t 正 a 一a u a 一u a o 兩邊同除以u l a 南 得 川 卜a 南掣吣 麗麗 葡若和 塵也 r a l a 七 a 叫 a 贏 當(dāng)如一a 時(shí) 上式即為 5 川 啪鳳 2 而奄 若c o 當(dāng) 一a l 時(shí) 5 式左邊一c 5 式右邊 而 赫 等 o o 矛盾 故c 0 o 1 2 又田 n o 所以對仕蔥 0 n 無分大 都有曉螺 1 毗 銹籪噸叫 d k 嵋 1 1 萬h 一a l c o o s n l 一 七 一c 聿1 n 1 口一l 0 型宴 2 l j 妒 a l 一點(diǎn) u a 一a 釷 a 一札 a o 兩邊同除以 a 一a 1 得 妒 a 一a 壙七 柚蜘 a 2 可百蜀i i 百j 焉裔t(yī) 又因?yàn)榇嬖谔J 8 t p 一a 1 故上式即為 吼 九叫n 麗再前齋 即 6 妒t t p n 尸k 塒n a 巧i i 了可熹 0 麗 當(dāng)p 一a l 時(shí) 6 式左邊一c 6 式右邊 a 厶 厶2 丙i 最麗 慨c 廿 m 執(zhí) 卜 厶 o 厶 1 協(xié)c 小m 丙i 黽麗再砰 一 一 j 吁丙客鮞 格 7 a i p 一1 0 l n i 0 o 南 o a 1 一p 7 萬 弋耳 o n o y 1 1 一p n 更一般地 我們有 定理9 r 一 釷 a u 1u o 其中 q 是r 中的有界開集 封 t 一口t 此 衰減得快 且 t 一疵 q 1 則布 當(dāng)導(dǎo) d a 一口j 4 i i q l i 小 n o 巖移s i 矗1 l 口 一l 例 一n a 4 愀a 慨n o 都 石h 證明 第一步 證明對 o 一武 4 l 是 r 有 1 里罌 a l o a 4 l i u q l k z n o o 若p 南 4一l 2 里署k a l 一口a 4 l i u 磚l 弘 n o 若口 南 1 口 根據(jù)定理8 的證明即得結(jié)論 第二步 再證 當(dāng) t 一n t d 豐 d 1 時(shí) 有 1 當(dāng)黑k 1 一 a 4 i a i k n 若口 南 o 1 o 2 皇暑如 a 1 一烈 4 愀酬l z n o 若艫南 1 口 這是因?yàn)?t 一耐 o a q l 故可設(shè)存在 t 2 t 5 t t 一武 h f h 8 2 亡 一疵 乜 f h h f 1 s 一耐s 1 a q l 1 4 1 1 毋 a 1 一o a 4 l i u a i k n 若盧 五 r l d 一 2 1 粵 入 一 煳l t t 酬l z n o 若脅南 1 b 再由比較定理知 奶 a 讓 入 讓l a 閨此 t a 也滿盡 1 1 1 0 a l 一口a 9 1 i 釷 a 1 l l o 若口曼i 南 1 o 一 2 皇砰 a l 一 艄j 酬口 n o 若脅石幸r i d一 1 5 第四節(jié)非單調(diào)情形的主要結(jié)果及證明 定理4 的結(jié)果在l 一o 0 時(shí)是比較好的 但是 當(dāng)f 一o o 時(shí) 1 呻 a l 一口a 忪 a 川p n 一o 我們僅知 舾 1 l 口 n 一o o 的速度比1 a l o 一o 的速度快 為了對解的增長性 有一個(gè)精確的刻畫 下面我們研究皿n t 一n t l 一o 時(shí) a 的增 長性 定理1 0 令 亡 2 一 亡 1 簪 n n 熙 叫川心川以n 妒p 定理1 0 的證明 墨巴王學(xué) 1 墨怒 f 一 t 一o 由 2 妒1 a 1 一a 札 a 一a u a 一t 正 a o 兩邊乘以 a a 1 得 妒l a 一入 u a 一入 入一 l 一1 釷 a 一u a 1 o 又釷 分解為亂 a t u 入 s 七 o 廠t c 2 1 七 a i i t a l n o 所以 一 妒 a 一a 七 a w a 驢 a a 一1 讓 a 一釷 a 一 川a 一妒m 砌 a 州a 一 1 2 m 砌 1 亨1 兩邊加上 a 妒l a a 1 一1 庇 a 叫 a 掣 得到 1 7 州a 枷 枷警卜 a m 砌爐 1 6 2 a a a 1 竹一1 妒l a 妒1 一a 一1 七 a 叫 a 1 警一 a a 一1 a a 簪 jj q 逝 1 1 n 蟬 a l a 州自 a 孚 o 若不然 存在p 一a 15 t a l a 一1 a 等 一0 由于 1 7 式最后一個(gè)積分大于o 所以有 坤 妒t a a 1 一1 七 a 叫 a 簪隊(duì)一 a a 1 七 a 伽 2 a a a 1 一1 妒l jj 于是 當(dāng)p 一a 1 時(shí) 1 8 式左邊一o 1 8 式右邊一有界數(shù) 矛盾 l 目i 丑 l i ms u p a l a 一1 七 a 簪 o l i 珥 a l a 一1 七 a 2 c 設(shè)存在蜥 一入1s t 入1 一肛 一1 p 早一c 再看 1 7 式 當(dāng) 一a 1 時(shí) 1 7 式左邊 一凡 印p a 一c 擊妒禮 1 7 式右邊一0 所比 r 1 妒i c 妒 肛1 一c 南妒i o a 妒p c 由 辦矗 于是 c 鄧 j 廠妒p r l 髖 卜妒叫1 u 劃1 蒜 令 a 學(xué) 得 1 溉 a 一a 慨曠 妒 口 1 7 更一般地 對指數(shù)是實(shí)數(shù)的情況有 定理1 1 冷7 t t 2 一 t 十1 掣 血 r 剛有 熙 a 一a m 慨曠 妒 定理1 1 的證明 墨恐 乒 1 n 墨恐 t 一n 句一一o 由 2 妒1 a t a 讓 a 一a u a 一釷 a o 兩邊乘以 a a 1 1 得 妒t 一 a l a 釷 a 一a 一a 1 一1 札 a 一 a 1 o 又 a 分解為t a 七 a t u a 8 t k o 伽2 l k l l t 1 k n 一 一 妒t a z 一 k a 叫 a a 妒t 一a 一1 u a 一札 a 一 洲 叫w 枷 入 a 洲a 咄 1 2 m 1 譬 兩邊加上i 廠a 妒1 a a 1 一1 詹 a 燦q 孚 得到 1 9 洲a 1 郴 吣 譬卜 螂 螂滬 2 a a a 1 一1 妒l a 妒1 a a 1 戶一1 后 a 叫 a 1 2 一 一a 1 戶一1 七 a 伽 a 2 亟趣 1 1 p i n f a l a 1 七 a 警 o 若不然 存在 一a 1s a 1 一a 嚴(yán)一1 a 2 一o 由于 1 9 式最后一個(gè)積分大于0 所以有 2 0 妒1 a a 1 r 一1 a 刪 a 2 盼一 a a 1 a 塒 a 2 a a a 1 n 一1 妒1 j j 于是 當(dāng)p 一a l 時(shí) 2 0 式左邊一o 2 0 式右邊一有界數(shù) 矛盾 f 亟照 l i ms u p a 1 a 一1 a 2 o 熙 a 1 一a p 一1 2 c 設(shè)存在蘆 p 一入ls a l 一 n 一1 如 2 一c 再看 1 9 式 當(dāng) 一a l 時(shí) 1 9 式左邊 a i l 妒1 c 妒 n l c 奇妒i 1 9 式右邊一o 所以 r 2 a l 1l p l c 妒 盼1 一c 由妒i o 入t 卜y c 擊心 c 由 于是 c 叫t 妒p 廣1 溉 卜妒叫 i i 蒜 鋤 嶧 得 4 一 概 a 一a 愀a 慨n 卜 口 由定理1 1 知 對一般的 2 一 1 o q l a r 也有 e 述鰱論 1 9 第五節(jié)未解決的問題 本文主要解決了 t 一8 是多項(xiàng)式型增長的 晴形 但對于 t 一o t 是對數(shù)型增長及指數(shù)型的情形 還未找到有效的方法去 解決 困難在于證明過程中有一些關(guān)鍵計(jì)算步驟有較強(qiáng)的技巧性 不能簡單地 套用用本文提供的方法去研究 鑒于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系 我們也考慮是否 可以用1 a y i o r 展開進(jìn)行逼近及與面積公式 但仍不能奏效 2 1 參考文獻(xiàn) p 色t r um i r o n e s c ua n dv i c e n t i ud r a d u l 髑c u t h es t u d yo fam f u r a t i o n p r o b l e ma s 8 0 c i a t e dt oa na s y m p t o t i c a l l yl i n e a rf u n c t i o n 0 n 肺e a ra n a 扯 幽r 地 r y m e 抽o d s 肋da p p d j c 8 酊o n s v o l 2 6 n o 4 1 9 6 6 p p 8 5 7 8 7 5 2 j g i l b a r dd a n dt r u d i i l g e rn s e j j j p j cp a n j a jd 藤他n j a je q u a 亡j o n so f s e c o n d0 r d e r s p r i n g e r b e r l i n 1 9 8 3 f 3 j i i b i 0 n g l e e a s y m p t o t i cb e h 刪o ro fp 0 8 i t i v e8 0 1 u t i o n s o ft h e e q u a t i o n 一 妒d sp叫1 b m m u j np a r 瀏d 坍打e n c j 礎(chǔ)e q u a t i 5 2 0 f 3 腑d 鐵1 9 9 5 p p 6 3 3 6 4 6 d o n gy ea n df b n gz h o u b o u n d e d n e s 8o ft h ee x t r e m a ls o l u t i o nf o r8 e m i l i n e a r e u i p t i cp r o b l e m s c o j 了 加u n 把a(bǔ) 叩s 抽c o n t e m p o r a r y 腳a t 五e(cuò) m a j c s 砌 a 0 3 2 0 0 2 5 4 7 5 5 8 5 l a w r e n c ec e v a n s p 盯t 瀏d j 腩陽n j a e q 船 徹s g r a d u a t es t u d i e si nm a t h e m 8 t i c s v 0 1 1 9 1 9 9 7 1 6 q i n gh a n 脅g h u a l i n e j j j p t j cp a r t 蒯d j 成r e n 8 je q u a t 伽s c o u r a n ti n s t i t u t eo fm a t h e i a t i c a ls c i e n c e s n e w y b r ku n i v e r 8 i t y l1 9 9 7 7 1 w a l t e rr u d i n r e a ja n d伽p j b x a 丑a z y s 括 m c g r a 一h 王l lb o o kc o m p 8 n y s e c o n de 出t i o n 1 8 h b r e z 話a n d l a p e l e t i e r a s y m p t o t i c s f o r e l l i p t i ce q l l a t i o ni n v 0 1 v i n g c r i t i c a lg r o w t h r u 鰣d 餉跏n 明u b t 鋤s肋dc a j c u n s0 眥f a 湘礎(chǔ)佴c 0 j o 玎 b j n j a 婦i n o l m 0 d j c 88 n ds s p 唧o be 酬 1 9 8 9 p p l 4 9 1 9 2 9 d g d ef i g u e i r e d o p l 1 0 i n sa n dr d n u s 8 b a u m ap r i o r ie s t i m a t e sa j l de x i 8 t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f 跎m i l i n e 盯e l l i p t i ce q u a t i o n 8 工m a 如 p u r e a p p j v b l 6 1 1 9 8 2 p p 4 1 6 3 l o z 9 h