探究橢圓的生成方式.doc

探究橢圓的生成方式劉桂芹 天津薊縣第一中學(xué)一、背景分析在學(xué)習(xí)橢圓之后，學(xué)生對曲線與方程有了一定的了解；基本能運(yùn)用求曲線方程的一般方法求曲線的方程.一方面求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材.通過學(xué)習(xí)，從書本的例題以及習(xí)題中的一些軌跡方程的求解中發(fā)現(xiàn)了許多生成橢圓的方法，除了橢圓的定義之外還有很多其它方法，如圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓，一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個負(fù)常數(shù)生成的軌跡是橢圓.學(xué)生對橢圓已有一定的感性認(rèn)識.歸納例題、習(xí)題是為了讓學(xué)生能靈活地運(yùn)用橢圓的知識進(jìn)行探究，同時也是為了更好地調(diào)動、活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，在探究過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，同時培養(yǎng)學(xué)生大膽實(shí)踐、勇于探索的精神，開闊學(xué)生知識應(yīng)用視野. 二、課堂生成1創(chuàng)設(shè)情境 提出問題【師】同學(xué)們，前一段時間我們學(xué)習(xí)了求曲線的軌跡方程的方法，下面我們一起求解幾個這類問題.教師給出2個問題（1）將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程. （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是,求點(diǎn)的軌跡方程.提問：通過求出方程，判斷所求軌跡是什么曲線.2實(shí)踐操作 獲得感知【生】學(xué)生開始動手求解教師提出的問題.按照求曲線的軌跡方程的一般步驟進(jìn)行實(shí)踐操作.進(jìn)而得出軌跡方程分別是（1）(2) 【師】請同學(xué)們觀察以上軌跡方程，得出軌跡是什么曲線？【生】學(xué)生回答軌跡是橢圓，理由是它們均符合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【師】橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程除應(yīng)用定義推導(dǎo)方法外，你還有得到橢圓其他方法嗎？剛才的推導(dǎo)過程給同學(xué)們怎樣的啟示？【生】學(xué)生開始議論，對這個問題產(chǎn)生濃厚興趣.提出大膽猜想生成橢圓的方式可以從圓的縱坐標(biāo)的變換和一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積兩個角度考慮.【師】既然同學(xué)們產(chǎn)生了猜想，那就讓我們一起來驗(yàn)證大家的猜想.3討論探究 科學(xué)論證【師】將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?、倍，所得的曲線的方程又如何.計算出結(jié)果后，共同討論探究將圓的縱坐標(biāo)進(jìn)行怎樣的變換，可以得到橢圓？【生】學(xué)生通過仔細(xì)計算得出相應(yīng)曲線方程 、.教師引導(dǎo)學(xué)生討論得出結(jié)論：將圓的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短可以得到橢圓.【師】通過計算曲線的方程形如或仍然是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.生成橢圓的方式之一是將圓的縱坐標(biāo)進(jìn)行伸縮變換.【生】把學(xué)生分為兩組，分別做“設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是、 并結(jié)合求得的結(jié)果讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：你得到了什么結(jié)論？【師】最后向?qū)W生展示結(jié)論：當(dāng)兩條直線斜率之積是負(fù)常數(shù)時，動點(diǎn)的軌跡是橢圓。生成橢圓的又一種方式：一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個負(fù)常數(shù).4拓寬思路 發(fā)展思維【師】將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸縮，縱坐標(biāo)不變，能否得到橢圓？或?qū)A的橫、縱坐標(biāo)同時伸縮情況又如何呢？【生】學(xué)生繼續(xù)探究，對可能的情況逐一判斷.得出如下結(jié)論：將圓的橫縱坐標(biāo)同時伸長或縮短相同量，則得到的還是圓；將圓的橫縱坐標(biāo)伸長或縮短的量不同時，得到的是橢圓.【師】“設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是、2時，求點(diǎn)的軌跡方程.【生】學(xué)生計算得到斜率之積是時，軌跡方程是，曲線是圓而不是橢圓.斜率之積是2時，軌跡方程是也不是橢圓.【師】要想生成橢圓斜率之積這一常數(shù)必須滿足什么條件？【生】學(xué)生分組討論得知生成橢圓的又一種方式：一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個不等于的負(fù)常數(shù).5整合歸納 達(dá)成共識【師】通過以上探究、交流，我們發(fā)現(xiàn)生成橢圓的方式不止一個，請大家歸納、整合我們探究成果.教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的維度、角度來探究：（1）橢圓的定義 （2）橢圓與圓的關(guān)系 （3）從斜率角度看 【生】同學(xué)們經(jīng)過探究、交流猜想得出生成橢圓的幾種方法：（1）橢圓的定義（2）一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓 （3）一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個不等于的負(fù)常數(shù)，這個點(diǎn)的軌跡是橢圓.6總結(jié)評估 研究拓展【師】生成橢圓的方法有很多，只要求得的軌跡方程是橢圓方程，所得軌跡是橢圓這個方法都可以作為生成橢圓的方法.橢圓是一種圓錐曲線（也有人叫圓錐截線），我們書本上課后的探究與發(fā)現(xiàn)中指出用一個不平行底面的平面截圓錐（或圓柱）得到的截口曲線是橢圓，所以它屬于一種圓錐截線.只要同學(xué)們注意課本的習(xí)題、例題，努力挖掘它們之間的橫縱聯(lián)系，從中獲得規(guī)律與方法.更重要的是通過探究性學(xué)習(xí)初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造