二項分布的性質(zhì)及其漸近性.doc

蘇州大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）引言11.二項分布的初等性質(zhì)：21.1 二項分布和二點分布21.2 二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差31.3 二項分布其中的概率b(k;n,p)中k的研究51.4 二項分布的圖像61.5 二項分布的可加性61.6符合二項分布的情形62.二項分布的漸進性72.1二項分布與超幾何分布72.2 二項分布與Poisson分布72.3 二項分布與正態(tài)分布13參考文獻16二項分布的性質(zhì)及其漸近性蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 05師范 顧琦摘要： 本文主要是對二項分布的初等性質(zhì)進行系統(tǒng)的整理歸納以及對二項分布的極限情況進行研究總結(jié)關(guān)鍵詞：隨機變量，貝努利試驗，二項分布，事件，極限，獨立，分布函數(shù)Abstract: This paper discusses systematically the primary properties of binomial distribution as well as its asymptotic behavior.Key words: random variables, Bernoulli tests, binomial distribution, events, limit, independence, distribution functions引言 隨機變量有千千萬萬個，但常用分布并不多.常用分布分為兩類：離散分布和連續(xù)分布，我們要研究的就是離散分布中的二項分布.研究二項分布的性質(zhì)及其漸進性.二項分布是一個離散分布，且是常用的.研究二項分布之前，我們先來看看貝努利試驗，定義1.1 如果做一項試驗，只觀測其中的某一特定的現(xiàn)象是否出現(xiàn)，那么我們就把這種試驗叫做貝努利試驗.定義1.2 如果某次試驗的結(jié)果恰好就是我們所關(guān)心的現(xiàn)象，我們就稱該次試驗是成功的如果多次重復(fù)地進行這種試驗，并且各次試驗相互獨立地進行，就稱這種試驗為多（n）重貝努利試驗.如果記為n重貝努利試驗中成功（記為事件A）的次數(shù)，則的可能取值為0，1，2，n.記p為每次試驗中A發(fā)生的概率，即P（A）=p，則P（）=1-p.即q=1-p 因為n重貝努利試驗的基本結(jié)果可以記作 其中或者為A，或者為這樣的共有個，這個樣本點組成了樣本空間.下面求的分布列,即求事件=k的概率.若某個樣本點=k意味著中有k個A ,n-k個,所以由獨立性知,而事件=k中這樣的共有個,所以的分布列為=,k=0,1,2,n這個分布稱為二項分布,記為容易驗證其和恒為1，即=由此可見，二項概率恰好是二項式的展開式中的第k+1項，這正是其名稱的由來.首先我們來看看1.二項分布的初等性質(zhì)：1.1 二項分布和二點分布定義1.3二點分布因為隨機變量有可能取值只為 取這些值的概率分別為：， 其中 ， 這種分布稱為“0-1”分布.或二點分布，它的分布列為:01P1-pp二點分布b(1,p)主要是用來描述一次伯努利實驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)（0或1）它是二項分布的一種特殊情形二項分布和二點分布可以看成是二項分布隨機變量是n個獨立同分布的二點分布隨機變量之和.1.2 二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差二項分布的數(shù)學(xué)期望為np，方差為npq 證明如下 : 設(shè)隨機變量，則 應(yīng)用組合公式得 故 當(dāng)然，求二項分布的期望還有一種簡單的方法，證明如下：可以看作是n重貝努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，其中A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p.現(xiàn)在令顯然是服從01分布的隨機變量，所以 另一方面，我們所關(guān)心的隨機變量可以表示為，于是由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得在上述計算中，我們把一個比較復(fù)雜的隨機變量拆成n個比較簡單的隨機變量之和，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，只要求得這些比較簡單的隨機變量的數(shù)學(xué)期望，再把它們相加即可得到的數(shù)學(xué)期望這樣的方法是概率論中常用的一種方法1.3 二項分布其中的概率b(k;n,p)中k的研究我們來看看概率b(k;n,p)如何隨著k的變化而變化的規(guī)律寫q=1-p,對k1，我們有 = = 1+所以，當(dāng)k b(k-1;n,p);而當(dāng)k(n+1)p時，則有b(k;n,p)b(k;n,p)后，則隨著k的增大而減小因此b(k;n,p)必可達到其最大值易見，如果m=(n+1)p為整數(shù)，則b(m;n,p)= b(m-1;n,p)同為其最大值；而如果(n+1)p不是整數(shù)，則b(k;n,p)在k=(n+1)p處取得最大值其中x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)我們稱使b(k;n,p)達到最大值的正整數(shù)m為服從二項分布b(n,p)的隨機變量的最大可能值如:一射手射擊活動目標(biāo)的命中率為p=0.8 ,共射擊10次,求他最大可能的命中次數(shù).解 每一次射擊都對應(yīng)一個參數(shù)為p=0.8的貝努利隨機變量,假定各次射擊獨立進行,則他命中目標(biāo)的次數(shù)就是10個相互獨立的參數(shù)同為p=0.8的貝努利隨機變量的和,所以服從二項分布B(10,0.8).由于(n+1)p=8.8不是整數(shù),故知他命中目標(biāo)的最大可能次數(shù)為m=8.8=81.4 二項分布的圖像以事件A出現(xiàn)的次數(shù)為橫坐標(biāo)，以概率為縱坐標(biāo)，畫出二項分布的圖象，可以看出： （1）、二項分布是一種離散性分布 （2）、當(dāng)p=q=0.5時，圖象對稱；當(dāng)p不等于q時，圖形是偏斜的當(dāng)p0.5時左偏. (3) 二項分布的形狀取決于p和n的大小，高峰在前面研究的最大可能值m處 (4)、n時，只要p不太靠近0或1,它趨近于正態(tài)分布N(np,npq） 一般1/2np=5且nq=5時，二項分布就非常接近正態(tài)分布 二項分布函數(shù)在教育中主要用來判斷試驗結(jié)果的機遇性與真實性的界限，例如，求測驗猜測行為的判斷標(biāo)準(zhǔn)：在選擇題測驗中，通過二項分布計算得出被試憑猜測答對N道以上的概率1.5 二項分布的可加性 兩個二項分布的和仍然是一個二項分布， 若隨機變量服從二項分布，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為E.隨機變量 的數(shù)學(xué)期望為E. 而二者和的數(shù)學(xué)期望為E(+)，經(jīng)計算E(+)=E+ E，也即兩個二項分布的和仍服從二項分布1.6 符合二項分布的情形(1) 檢查10個產(chǎn)品,10個產(chǎn)品中不合格的個數(shù)X服從二項分布b(10,p),其中p為不合格品率;(2) 調(diào)查50個人，50個人中患色盲的人數(shù)Y服從二項分布b(50,p) ,其中p為色盲率；(3) 射擊5次，5次中命中次數(shù)Z服從二項分布b(5,p)，其中p為射手的命中率這些情況都是符合二項分布的，二項分布作為常用的離散分布，在生活中的例子還有很多很多這里就不一一例舉了對于二項分布，我們再一起來研究一下2.二項分布的漸進性首先我們先給出二項分布的一些極限情況下的結(jié)論： (1) 超幾何分布H(n，M，N) 的極限就是二項分布(2) 二項分布在參數(shù)較小, 充分大，而np適中（一般小于5）時接近泊松分布(3) 二項分布的極限分布是正態(tài)分布那么我們來看看這些結(jié)論究竟是怎么來的：2.1二項分布與超幾何分布我們先看一個定理，定理2.1：設(shè)隨機變量服從超幾何分布H(n，M，N)，則當(dāng)N + 時，近似地服從二項分布B(n，p)，即 ，其中 ， 定理一指出當(dāng)N充分大時，二項分布是超幾何分布的近似分布事實上，當(dāng)一批產(chǎn)品的總數(shù)N很大，而抽取的樣品數(shù) 遠(yuǎn)較N為小(一般來講n0.1N) 時，不放回抽樣與放回抽樣的差別并不大2.2 二項分布與Poisson分布二項分布是離散型機率模型中最有名的一個，其次是Poisson分布，它可以看成為二項分布的一種極限情形這里也給出一個定理定理2.2：設(shè)隨機變量服從二項分布 ，當(dāng) n充分大 時， 近似地服從泊松分布 其中 ，定理二指出當(dāng)n充分大時，泊松分布是二項分布的近似分布，但要注意僅當(dāng)p的值很小(一般來講p0）。如果是 指標(biāo)為- 0。另一方面，如科爾斯等（1999年）指出的 ，有幾個經(jīng)典的估計 程序從一組數(shù)據(jù)或許會導(dǎo)致下述結(jié)論 0，實際上尾獨立是已有的（見科爾斯等 （ 1999年）細(xì)節(jié)和建議以解決這個問題）。另一種極值理論中的考慮漸進獨立性的聯(lián)合尾相依模型，見Ledford和Tawn （ 1997年） 。一個 可行的對正則變化尾的極值相依測度由雷斯尼克（ 2004年）討論過 。該辦法在本文中有涉及和極值框架有關(guān)，但并不包含于其中。給定F1; F2， P(+x) 的什么類型的漸進性是可能的？對邊際分布及相依結(jié)構(gòu)需要怎樣的假設(shè)可保證得到此種漸進性的具體描述？雖然尾依賴提供了一個對尾的相依性相當(dāng)局限的描述（對相同的邊緣分布，一主要研究=上尾的相依性） ，在可交換情形下已經(jīng)給出了 和的分布的一些粗略信息。此外，如 3.1.2節(jié)將要提到的，對FS，尾獨立是和的尾漸進性對相依性不敏感的乙個充分條件。而對FSMDA（岡貝爾） （岡貝爾分布最大吸引場中的次指數(shù)分布）這是不正確的，就如將在第2.2節(jié)所說的。 對一些和間確定的copula族（包括阿基米德 型） ， Juri和Wthrich （ 2002年， 2003年）建立了一個尾條件相依的分布極限結(jié)果，通過系數(shù)特別細(xì)致的描述了這個結(jié)論。對阿基米德型copula這一結(jié)果可能會被利用在 Wthrich （ 2003年）和alink的等。（2004年），以得到+尾的精致漸近性 ，見第3.3節(jié)。在Schmidt和Stadtmller （ 2006年）中討論了另一個相關(guān)基于所謂尾copula的系數(shù)的精煉。 第2節(jié)中，討論了一些一般界和P(+x )的一個copula