高中數(shù)學 第四章 定積分 1 定積分的概念例題與探究 北師大版選修2-2.DOC

高中數(shù)學 第四章 定積分 1 定積分的概念例題與探究 北師大版選修2-2高手支招3綜合探究1.正確理解定積分的概念及其幾何意義.(1)定積分是一個數(shù)值(極限值),它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限,而與積分變量用什么字母表示無關,即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt(稱為積分形式的不變性),另外定積分f(x)dx與積分區(qū)間a,b息息相關,不同的積分區(qū)間,定積分的積分限不同,所得的值也不同,例如f(x2+1)dx與f(x2+1)dx的值就不同.(2)f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義,絕不能同等看待,由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可正可負,也就是它的圖像可以在x軸上方,也可以在x軸下方,還可以在x軸的上下兩側,所以f(x)dx表示介于x軸,函數(shù)f(x)的曲線及直線x=a,x=b(ab)之間的各部分面積的代數(shù)和;而|f(x)|是非負的,所以|f(x)|dx表示在區(qū)間a,b上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積;而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值,三者的值一般情況下是不同的.2.定積分性質(zhì)的常用推論.推論1.若在區(qū)間a,b上,f(x)g(x),則f(x)dxg(x)dx.推論2.|f(x)dx|f(x)|dx.3.估值定理及其證明.設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最小值與最大值分別為m與m,則m(b-a)f(x)dxm(b-a).證明:因為mf(x)m,由性質(zhì)推論1得mdxf(x)dxmdx.即mdxf(x)dxmdx,故m(b-a)f(x)dxm(b-a).利用這個性質(zhì),由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最小值及最大值,可以估計出積分值的大致范圍.4.利用定積分的定義求變速直線運動的路程.運動的物體做變速直線運動,它的速度v是時間t的函數(shù)v(t),欲求物體在t=0到t=t0這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s,可以采用先分割,再近似代替,然后作和,求出極限的方法.(1)分割:將時間區(qū)間0,t0分成n等份:t0,t0(i=1,2,n),每個小區(qū)間所表示的時間為t=;各區(qū)間物體運動的距離記作si(i=1,2,n).(2)近似代替:在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的距離.在小區(qū)間t0,t0上任取一時刻i(i=1,2,n),用i時刻的速度v(i)近似代替第i個小區(qū)間上的平均速度.由勻速直線運動的路程公式,每個小區(qū)間上物體運動所經(jīng)過的距離可以近似地表示為siv(i)t(i=1,2,n).(3)求和:因為每個小區(qū)間上物體運動的距離可以用這一區(qū)間上做勻速直線運動的路程近似代替,所以在時間0,t0范圍內(nèi)物體運動的距離s,就可以用這一物體分別在n個小區(qū)間上作n個勻速直線運動的路程和近似代替.即s=siv(i)t.(4)求極限:當所分時間區(qū)間愈短,即t=愈小時,v(i)t的值越接近于s.因此,當n,即t=0時,v(i)t的極限,就是所求的物體在時間區(qū)間0,t0上經(jīng)過的路程.由此得到s=v(i)t.高手支招4典例精析【例1】 利用定積分的幾何意義,計算下列等式.(1)2xdx=1;(2)dx=.思路分析：定積分的幾何意義是指曲邊梯形的面積,只要理解被積函數(shù)和積分上、下限的意義,并作出圖形,即可得到解決.解：(1)如圖1,2xdx表示由曲線y=2x,直線x=0,x=1,y=0所圍成的圖形(直角三角形)的面積,由s=21=1,故2xdx=1.(2)如圖2,dx表示圓x2+y2=1在第一、二象限的上半圓的面積.由s半圓=,又在x軸上方,故dx=. 圖1 圖2【例2】 汽車以速度v做勻速直線運動時,經(jīng)過時間t所行駛的路程s=vt.如果汽車做變速直線運動,在時刻t的速度為v(t)=t2+2(單位km/h),請計算它在1t2這段時間行駛的路程的過剩估計值和不足估計值(n=5).思路分析：與求曲邊梯形的面積類似,我們采取“以不變代變”的方法,把求變速直線運動的問題,化歸為求勻速直線運動的路程問題.解：將區(qū)間1,2分成5個小區(qū)間,則第i個小區(qū)間為1+,1+,其長度為t=.過剩估計值s1=(1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2+22+2)0.2=(10+1.44+1.96+2.56+3.24+4)0.2=4.64,不足估計值s1=(12+2+1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2)0.2=(10+1+1.44+1.96+2.56+3.24)0.2=4.04.【例3】 利用定積分的幾何意義求:(1)dx;(2)dx.思路分析：了解被積函數(shù)的定義,由定積分的幾何意義求解.解：(1)被積函數(shù)的曲線是圓心在原點,半徑為2的半圓周,由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積,所以有dx=2.(2)被積函數(shù)為y=,其表示的曲線為以原點為圓心,1為半徑的四分之一圓,由定積分的幾何意義知,所求的定積分即為該四分之一圓的面積.dx=12=.【例4】 比較定積分exdx和xdx的大小.解：令f(x)=ex-x,x-2,0,則f(x)0,故f(x)dx0,即(ex-x)dx0.exdxxdx,從而exdxxdx.【例5】 估計定積分dx的值.思路分析：首先計算出被積函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解.解：當x0,時,0sinx1,0x1,因此有22+x3,于是由估值定理有dx.【例6】 利用定積分計算(1+x)dx的值.思路分析：令f(x)=1+x,按分割、近似代替、作和、求極限四步求解.解：將區(qū)間1,2分成n等份,則每個區(qū)間長度為xi=,在,xi=1+,1+上取i=1+(i=1,2,3,n),于是f(i)=f()=1+1+=2+,從而f(i)xi=(2+)=(+)=n+0+1+2+(n-1)=2+=2+,(1+x)dx=(2+)=2+=.【例7】 （2005重慶高考，文12）曲線y=x3在點(1,1)處的切線與x軸,直線x=2所圍成的三角形的面積為_.思路分析：y=x3在點(1,1)處的切線方程為y-1=f(1)(x-1),即y=3x-2.作圖可知:sabc=|ab|bc|=(2-)4=.答案：高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.