湖南省長沙一中高三數(shù)學(xué)月考試題（一）理 湘教版(1).doc

炎德英才大聯(lián)考長沙一中2015屆高三月考試卷（一）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1、若集合m=，n=，p=，則集合p的元素個(gè)數(shù)為 （ ）ca、3 b、4 c、5 d、6pqhfegoxy2、在南京青運(yùn)會體操跳馬比賽賽前訓(xùn)練中，甲、乙兩位隊(duì)員各跳一次。設(shè)命題p是“甲落地站穩(wěn)”，q是“乙落地站穩(wěn)”，則命題“至少有一位隊(duì)員沒有站穩(wěn)”可表示為（ ）da、 、 c、 d、3、如右圖所示方格紙中有定點(diǎn)o、p、q、e、f、g、h，則等于（ ）da、 b、 c、 d、【解析】如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則=。4、復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（ ）b開始s=0, k=1輸入ns=1+2sk=k+1kn?是否輸出s結(jié)束a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限5、閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的，則n的值為（ ）ba、5 b、6 c、7 d、86、若，是的一個(gè)實(shí)根，則（ ）aa、， b、，c、， d、，7、若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（ ）ca、 b c、 d、8、設(shè)，p：，q：，則p是q的（ ）ca、充分不必要條件 b、必要不充分條件c、充要條件 d、既不充分也不必要條件【解析】構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，于是在r上單調(diào)遞增；而，所以。因此。9、當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ca、 b、 c、 d、10、已知，點(diǎn)b在曲線g：上，若線段ab與曲線m：的交點(diǎn)恰好為ab的中點(diǎn)，則稱b為曲線g關(guān)于m的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，記曲線g關(guān)于m的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為a，則（ ）ba、 b、 c、 d、xyo1y=4【解析】方法一、依題意，可設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為，則ab中點(diǎn)c的坐標(biāo)為，由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的意義，點(diǎn)c在曲線m上，即，亦即。設(shè)，則；令，解得；令，解得； 于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，所以有唯一解。故有唯一解。從而曲線g關(guān)于m的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有且只有1個(gè)。方法二、同法一，得，即。構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，且，于是由及單調(diào)性可知有唯一零點(diǎn)。從而方程有唯一解，故曲線g關(guān)于m的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有且只有1個(gè)。請將各小題唯一正確答案的代號填入下表的相應(yīng)位置：題 號12345678910答 案二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上。）11、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則= ；12、已知，則 ；13、若=，則滿足的取值范圍為 ；14、已知均為單位向量，且滿足，則的最大值是 ；15、意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1,1,2,3,5,8,13，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。該數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的屬性。比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越接近黃金分割比0.6180339887，人們稱該數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”。若把該數(shù)列每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成新數(shù)列，則：（1）在數(shù)列中，第2014項(xiàng)的值是 ；3（2）數(shù)列中，第2014個(gè)值為1的項(xiàng)的序號是 。4027三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16、（本小題滿分12分）已知函數(shù)，。（）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥浚ǎ?。 4分所以函數(shù)的最小正周期為； 5分又由（）解得（），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）。 7分（）令得，即，因?yàn)?，所以，從而。由于函?shù)有零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為。 12分17、（本小題滿分12分）已知圓內(nèi)接四邊形abcd的邊ab=1，bc=3，cd=da=2。bcda（）求角c的大小和bd的長；（）求四邊形abcd的面積及外接圓半徑?！窘馕觥浚ǎ┻B結(jié)bd，由題設(shè)及余弦定理得，由得，故，相應(yīng)的。7分（）由（）的結(jié)果及題設(shè)，可知四邊形abcd的面積。 10分由正弦定理，可得四邊形abcd的外接圓的半徑。 12分18、（本小題滿分12分）某工廠的統(tǒng)計(jì)資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量n（千件）（，且）的關(guān)系表如下：n123498p1又知每生產(chǎn)1千件正品盈利千元，每生產(chǎn)1千件次品損失千元。（）將該廠日盈利額t（千元）表示為日產(chǎn)量n（千件）的函數(shù)關(guān)系式；（）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少千件？【解析】（）由題意得（，且），所以，在日產(chǎn)量n千件中，次品有千件，正品有（）千件，于是日盈利額（，）（千元）。 6分（）由（），注意到，所以，即。（其中等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立。）故當(dāng)，即該廠的日產(chǎn)量定為80千件時(shí)，獲得的盈利最大。 12分19、（本小題滿分13分）數(shù)列滿足：，。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，證明：（）?！窘馕觥浚ǎ?，由題設(shè)遞推關(guān)系式，有，。一般地，當(dāng)（）時(shí)，即。所以數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，因此。 3分當(dāng)（）時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，因此。 5分故數(shù)列的通項(xiàng)公式為。 7分（）由（）知，于是， 從而， 得。所以。故有。 13分20、（本小題滿分13分）如圖，橢圓（）與一等軸雙曲線相交，m是其中一個(gè)交點(diǎn)，并且雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，的周長為。設(shè)p為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為a、b和c、d。 （）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）（）證明：；opabdcmxyf1f2（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由?！窘馕觥浚ǎ┯深}意知，雙曲線的離心率為，橢圓離心率為，即。又，所以可得，。所以，于是橢圓方程為；所以橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 4分（）（）設(shè)點(diǎn)，則，則；而由點(diǎn)p在雙曲線上，可知，即有；從而，故。 8分（）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立。則由（）知，所以可設(shè)直線ab的方程為，直線cd的方程為； 把直線ab的方程為代入橢圓方程，整理得；若設(shè)，則有，；因此=；同理可得；因此由知。所以存在常數(shù)，使得恒成立。 13分21、（本小題滿分13分）已知、是函數(shù)（）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若。（）求實(shí)數(shù)