（課標(biāo)通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理.doc

2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)考綱展示1.了解冪函數(shù)的概念2結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，了解它們的變化情況3理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)4能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題考點(diǎn)1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域rrr_值域r_r_奇偶性_單調(diào)性_公共點(diǎn)_答案：x|x0x|x0y|y0y|y0y|y0奇偶奇非奇非偶奇增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減(1,1)教材習(xí)題改編已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2，)，則函數(shù)f(x)_.答案：x解析：設(shè)f(x)x，則2，所以，故函數(shù)f(x)x.冪函數(shù)概念的誤區(qū)：系數(shù)為1；指數(shù)為常數(shù)已知冪函數(shù)f(x)(m2m1)xm3，則m為_答案：2或1解析：若函數(shù)為冪函數(shù)，則m2m11，解得m2或m1.典題1(1)冪函數(shù)yf(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)yf(x)的圖象是()a bc d答案c解析令f(x)x，則42，f(x)x.(2)2017安徽江南七校聯(lián)考已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nz)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()a3b1 c2d1或2答案b解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3.當(dāng)n1時(shí)，函數(shù)f(x)x2為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以n1滿足題意；當(dāng)n3時(shí)，函數(shù)f(x)x18為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以n3不滿足題意，舍去故選b.(3)1.1，0.9，1的大小關(guān)系為_答案0.911.1解析把1看作1，冪函數(shù)yx在(0，)上是增函數(shù)00.911.1，0.911.1，即0.911.1.(4)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(0,1)解析作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖則當(dāng)0k1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)k有兩個(gè)不同的實(shí)根點(diǎn)石成金1.冪函數(shù)yx的性質(zhì)和圖象由于的取值不同而比較復(fù)雜，一般可從三方面考查：(1)的正負(fù)：當(dāng)0時(shí)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)，在第一象限的部分“上升”；當(dāng)1時(shí)曲線下凹；當(dāng)01時(shí)曲線上凸，當(dāng)0)，將點(diǎn)d(1,1)代入得，a，即y(x3) 2.考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca0a.二次函數(shù)單調(diào)性的求解誤區(qū)：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間；在區(qū)間上單調(diào)已知二次函數(shù)f(x)(k21)x22x3.(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2，則k_；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2上單調(diào)遞增，則k滿足_答案：(1)(2)k1或1k解析：(1)顯然圖象開口向下，k210，且2，得k.(2)圖象開口向下，k21 0，且2，得k1或1k.考情聚焦二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)與一元二次方程、一元二次不等式等知識(shí)交匯命題是高考考查頻率非常高的一個(gè)熱點(diǎn)，考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等問題主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一二次函數(shù)的圖象和應(yīng)用典題32017四川雅安診斷 如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點(diǎn)a(3,0)，對(duì)稱軸為x1.給出下面四個(gè)結(jié)論：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正確的是()abcd答案b解析因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b24ac0，即b24ac，正確；對(duì)稱軸為x1，即1,2ab0，錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0，錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x1知，b2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正確角度二二次函數(shù)的單調(diào)性問題典題4已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)若yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解(1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，64，)(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，所以f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)所以f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0角度三二次函數(shù)的最值問題題型1軸定，區(qū)間動(dòng)類型典題5若函數(shù)yx22x3在區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解作出函數(shù)yx22x3的圖象如圖由圖象可知，要使函數(shù)在0，m上取得最小值2，則10，m，從而m1，當(dāng)x0時(shí)，y3；當(dāng)x2時(shí)，y3，所以要使函數(shù)取得最大值為3，則m2，故所求m的取值范圍為1,2題型2軸動(dòng)，區(qū)間定類型典題6求函數(shù)f(x)ax22x在區(qū)間0,1上的最小值解f(x)a2.(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x在0,1上遞減，f(x)minf(1)2.(2)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向上，且對(duì)稱軸為x.當(dāng)1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸在0,1內(nèi)，f(x)在上遞減，在上遞增f(x)minf.當(dāng)1，即0a1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸在0,1的右側(cè)，f(x)在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向下，且對(duì)稱軸x0，在y軸的左側(cè)，f(x)在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.綜上所述，f(x)min 題點(diǎn)發(fā)散若將本例中的函數(shù)改為f(x)x22ax，其他不變，應(yīng)如何求解？解：f(x)x22ax(xa)2a2，對(duì)稱軸為xa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)在0,1上是增函數(shù)，f(x)minf(0)0；當(dāng)0a1時(shí)，f(x)minf(a)a2；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在0,1上是減函數(shù)，f(x)minf(1)12a.綜上所述，f(x)min 角度四二次函數(shù)中的恒成立及零點(diǎn)問題典題7(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.(2)若方程x2(k2)x2k10的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案解析設(shè)f(x)x2(k2)x2k1，由題意知即解得k0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立易錯(cuò)防范1.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國(guó)卷已知a2，b4，c25，則()abacbabccbcadcab答案：a解析：因?yàn)閍216，b4 16，c25，且冪函數(shù)yx在r上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y16x在r上單調(diào)遞增，所以bac.22015四川卷如果函數(shù)f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()a16b18c25d答案：b解析：當(dāng)m2時(shí)， f(x)在上單調(diào)遞減， 0n8，mn2n0)，g(x)logax的圖象可能是()abcd答案：d解析：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)xa(x0)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)logax單調(diào)遞增，且過點(diǎn)(1,0)，由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知c錯(cuò)；當(dāng)0a0)單調(diào)遂增，函數(shù)g(x)logax單調(diào)遞減，且過點(diǎn)(1,0)，排除a，又由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知b錯(cuò)，故選d.42013重慶卷(6a3)的最大值為()a. 9b c. 3d 答案：b解析：易知函數(shù)y(3a)(a6)的兩個(gè)零點(diǎn)是3，6，對(duì)稱軸為a，y(3a)(a6)的最大值為y2，則的最大值為，故選b.52014遼寧卷對(duì)于c0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大時(shí)，的最小值為_答案：2解析：設(shè)2abx，則2axb，(xb)2b(xb)4b2c0，x23bx6b2c0，即6b23xbx2c0.9x246(x2c)0，3x28x28c0，x2c.當(dāng)|2ab|x|取最大時(shí)，有(2ab)2c，4a24abb2c.又4a22ab4b2c，ba.將ba代入，得4a22aaa24c，a，b或a，b.當(dāng)a，b時(shí)，有5222，當(dāng)，即c時(shí)等號(hào)成立此時(shí)a，b.當(dāng)a，b時(shí)，0，綜上可知，當(dāng)c，a，b時(shí)，min2. 課外拓展閱讀 構(gòu)造二次函數(shù)解決問題二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，它與一元二次不等式、一元二次方程的聯(lián)系是諸多命題者的關(guān)注點(diǎn)對(duì)于有些問題若能充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，則會(huì)迎刃而解下面就給出幾種構(gòu)造二次函數(shù)解決問題的例題1構(gòu)造二次函數(shù)求根式函數(shù)的最值典例1求函數(shù)yx2的最值思路分析利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值解令u，則x21u2，且0u1.所以y1u2u2，所以1y，故ymin1，ymax.2構(gòu)造二次函數(shù)解不等式(1)從結(jié)論的外形結(jié)構(gòu)作形式聯(lián)想進(jìn)行構(gòu)造典例2已知abc，求證：a2bb2cc2aab2bc2ca2.思路分析觀察結(jié)論的特點(diǎn)，若將不等式移項(xiàng)后，有a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)0，設(shè)aa2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(bc)a2(c2b2)a(b2cbc2)，考慮到a是按降冪排列的，故可聯(lián)想到構(gòu)造二次函數(shù)f(x)(bc)x2(c2b2)x(b2cbc2)求解證明令aa2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(bc)a2(c2b2)a(b2cbc2)設(shè)f(x)(bc)x2(c2b2)x(b2cbc2)(bc)(xb)(xc)，因?yàn)閎c，所以函數(shù)f(