基于Matlab的曲線擬合.doc

合肥師范學(xué)院10級(jí)電子信息工程專升本Matlab論文基于Matlab的曲線擬合周麗（物理與電子工程系，10級(jí)電子信息工程，學(xué)號(hào)1008211023）摘 要在現(xiàn)如今的社會(huì)，工程上根據(jù)特定條件，求出離散點(diǎn)，再根據(jù)此離散點(diǎn)做連續(xù)化處理。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)推導(dǎo)過去和預(yù)測(cè)未來有著很廣泛的應(yīng)用。在本文中，首先介紹曲線擬合的含義和目的。其次，介紹實(shí)現(xiàn)曲線擬合的最常用方法最小二乘法。第三，根據(jù)最小二乘法的原理，介紹基于Matlab怎樣實(shí)現(xiàn)曲線擬合。最后通過舉例說明，從而更好的理解基于Matlab的曲線擬合在實(shí)際中的重要作用。關(guān)鍵詞：Matlab 曲線擬合 最小二乘法ABSTRACTIn todays society, according to the specific criteria on the project, calculating the discrete point, again Doing the continuous processing based on the discrete points.In practice, the derivation of the past and predict the future has a wide range of applications.In this article, first describes the meaning and purpose of curve fitting.Second, describes the most common method of realization of curve fitting-least-squares method.Third, according to the principle of least squares, describes how come ture the curve fitting based on Matlab.Last by example, so as to better understand curve fitting based on Matlab in the important role of the actual.Key words: Matlab Curve fitting least-squares10一 引言在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常會(huì)遇到大量的不同類型的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)提供了有用的信息，可以幫助我們認(rèn)識(shí)事物的內(nèi)在規(guī)律、研究事物之間的關(guān)系等。根據(jù)一組二維數(shù)據(jù)，即平面上的若干點(diǎn)，要求確定一個(gè)一元函數(shù)y=f（x），即曲線，使這些點(diǎn)與曲線總體來說盡量接近，這就是數(shù)據(jù)擬合成曲線的思想，簡(jiǎn)稱為曲線擬合。曲線擬合的目的是根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)去建立因變量與自變量之間有效的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)關(guān)系，為進(jìn)一步的深入研究提供線索。而實(shí)現(xiàn)曲線擬合的最常用準(zhǔn)則是最小二乘法。二 最小二乘法2.1最小二乘法的定義最小二乘法，又稱最小平方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小。2.2最小二乘法的工作原理從整體上考慮近似函數(shù)同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(i=0,1,m)誤差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,m)絕對(duì)值的最大值，即誤差 向量的范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和，即誤差向量r的1范數(shù)；三是誤差平方和的算術(shù)平方根，即誤差向量r的2范數(shù)；前兩種方法簡(jiǎn)單、自然，但不便于微分運(yùn)算 ，后一種方法相當(dāng)于考慮 2范數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來 度量誤差 (i=0，1，m)的整體大小。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對(duì)給定數(shù)據(jù) (i=0,1,，m)，在取定的函數(shù)類中,求,使誤差 (i=0,1,m)的平方和最小，即 從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) (i=0,1,m)的距離平方和為最小的曲線（圖1）。函數(shù)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法.圖1三 最小二乘法實(shí)現(xiàn)曲線擬合的方法對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可寫出一組方程： 上述方程組可用矩陣形式簡(jiǎn)記為 （3-1）在此y=，a，X。式中的用來表示噪聲（包括測(cè)量噪聲等）。多項(xiàng)式擬合問題就是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)成的y和X根據(jù)式（3-1）求多項(xiàng)式系數(shù)向量a。在無噪聲的情況下，由式（3-1）可知，y是X的列向量線性組合。換句話說，y在X的列所張的空間內(nèi)，即yspanX。在存在噪聲的情況下，若噪聲為獨(dú)立白噪聲，且噪聲與測(cè)量數(shù)據(jù)無關(guān)（它體現(xiàn)為E=0），那么式（3-1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系可形象地用幾何正交投影表示，見圖2.圖2在mn時(shí)可用“矩陣除”求取y在spanX上的投影長(zhǎng)度，即多項(xiàng)式系數(shù)向量a如下： （3-2）需要指出的是：以上的最小二乘解的求取方法不僅適用于多項(xiàng)式模型，還適用其他更廣泛的模型。使用該方法的條件是：只要因變量y與自變量的數(shù)據(jù)陣X滿足線性關(guān)系就可。注意，這種線性關(guān)系是存在于y和X之間，而不是y與x之間。四 最小二乘法的Matlab實(shí)現(xiàn)Matlab是一個(gè)功能十分強(qiáng)大，使用非常簡(jiǎn)便的工程計(jì)算語言，以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化和程序設(shè)計(jì)融合到一個(gè)交互的環(huán)境。用Matlab處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)僅需編寫簡(jiǎn)單程序，運(yùn)行后就可得到所需的結(jié)果，這樣既克服了最小二乘法計(jì)算量大的缺點(diǎn)，又使繁瑣、枯燥的數(shù)值運(yùn)算變成一種簡(jiǎn)單、直觀的可視化操作過程，且能較準(zhǔn)確的標(biāo)記實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)和繪出擬合曲線。所以實(shí)現(xiàn)曲線擬合，可使用Matlab內(nèi)部庫函數(shù)或用戶自定義的方程對(duì)參變量進(jìn)行多項(xiàng)式、指數(shù)、有理式等形式的數(shù)據(jù)擬合。下面，介紹Matlab提供的實(shí)現(xiàn)曲線擬合的函數(shù)：一次函數(shù)：p=polyfit(x,y,1)多項(xiàng)式函數(shù)：p=polyfit(x,y,n)函數(shù)的三個(gè)輸入量為x，y，n。其中，x和y即為需要建立相互關(guān)系的兩個(gè)量的測(cè)量值，以數(shù)組的形式輸入；n為多項(xiàng)式的次數(shù)。輸出的是多項(xiàng)式系數(shù)的行向量，而得到的多項(xiàng)式是降冪的。在求得多項(xiàng)式系數(shù)后，為了求得多項(xiàng)式的值，可用 MATLAB 函數(shù) y=polyval(p,x)求得系數(shù)為 p 的多項(xiàng)式在指定點(diǎn) x 的函數(shù)值 y。例如，給定數(shù)據(jù)組x0、y0，求擬合三階多項(xiàng)式，并圖示擬合情況。x0=0:0.1:1;y0=-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22;n=3;P=polyfit(x0,y0,n)xx=0:0.01:1;yy=polyval(P,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20)legend(擬合曲線,原始數(shù)據(jù),Location,SouthEast)xlabel(x) 圖 3 采用三階多項(xiàng)式所得的擬合曲線五 舉例說明例一、對(duì)以下數(shù)據(jù)分別作二次和三次多項(xiàng)式擬合，求得多項(xiàng)式系數(shù)，并畫出圖形。表一x24567810121416y6.48.49.289.59.79.8610.210.410.510.6二次多項(xiàng)式擬合程序如下： x=2 4 5 6 7 8 10 12 14 16; r=6.4 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10.2 10.4 10.5 10.6;n=2;xs=polyfit(x,r,n); %求向量xs系數(shù)矩陣xx=2:2:16yy=polyval(xs,xx) %求得擬合出來的多項(xiàng)式在輸入值為xx下的yy值plot(x,r,r*,xx,yy,b-) %畫出通過數(shù)據(jù)點(diǎn)而擬合出來的曲線圖4三次多項(xiàng)式擬合程序如下： x=2 4 5 6 7 8 10 12 14 16;r=6.4 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10.2 10.4 10.5 10.6;xs=polyfit(x,r,3);a=xs(1) % 插值求得三次項(xiàng)系數(shù)b=xs(2) % 插值求得二次項(xiàng)系數(shù)c=xs(3) % 插值求得一次項(xiàng)系數(shù)d=xs(4) % 插值求得常數(shù)項(xiàng)系數(shù)y=polyval(xs,x)plot(x,r,r*,x,y,b-)圖5例二、 對(duì)某日隔兩小時(shí)測(cè)一次氣溫。設(shè)時(shí)間為ti氣溫為Ci ，i=0，2 ，4，24。數(shù)據(jù)如下：表2 溫度(C i )隨時(shí)間ti)變化關(guān)系ti024681012141618202224Ci15141416202328272625221816三次多項(xiàng)式程序如下：x=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24;y=15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16;plot(x,y,o);grid onhold onp=polyfit(x,y,3)x1=0:0.01:24;y1=polyval(p,x1);plot(x1,y1,r)axis(0 24 12 28) p = -0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390圖6 溫度變化圖由圖可以大致反映該天的天氣變化，如果想知道某一時(shí)刻的大致溫度，我們可以從圖中估計(jì)出來，也可以利用polyval( )函數(shù)求出那一時(shí)刻的溫度。如想要得到17 點(diǎn)的大致溫度，先由p知擬合的曲線方程為p（x）=，所以在17 點(diǎn)的溫度可以這樣求得y=polyval(-0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390,17),結(jié)果為y=25.9501。六 結(jié)束語在學(xué)習(xí)基于MATLAB曲線擬合過程中，明白了最小二乘法擬合的原理和使用，并結(jié)合Matlab,舉例說明最小二乘法在其中的具體使用方法，從而快速地將采樣數(shù)據(jù)逼近待測(cè)函數(shù)或曲線。基于Matlab的曲線擬合，在實(shí)際運(yùn)用中，對(duì)推測(cè)過去、展現(xiàn)現(xiàn)在、預(yù)測(cè)未來起到了很大的作用，如例二中舉到的關(guān)于預(yù)測(cè)未來溫度的問題。七 謝詞在Matlab課程學(xué)習(xí)中，感謝學(xué)校為我們提供良好的學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)環(huán)境，讓我們學(xué)無后顧之憂。感謝老師的教導(dǎo)，讓我了解了Matlab的基本知識(shí)，也認(rèn)識(shí)到Matlab的強(qiáng)大作用。感謝同學(xué)們的熱心幫助，在我學(xué)習(xí)中遇到問題時(shí)，能夠認(rèn)真講解。參考文獻(xiàn)1 張志涌，楊祖櫻等.MATLAB教程. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.82 傅鸝，龔劬等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 北京：科學(xué)出版社，2000.93 周品，趙新芳等.MATLAB數(shù)學(xué)建模與仿真. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2009.4附 錄 1.若范數(shù)滿足：.正定性：x0，且x=0 x=0；.齊次性：cx=cx；.次可加性(三角不等式)：x+yx+y 。.|AB|A| |B|注意到x+yx+y中如令y=-x，再利用-x=x可以得到x0，即x0在定義中不