數(shù)學(xué)建模論文-評閱試卷算法建模.doc

數(shù)學(xué)建模論文論文類別：A題論文題目：評閱試卷算法建模參賽隊(duì)員：學(xué)號、姓名、聯(lián)系電話隊(duì)員一： 隊(duì)員二：隊(duì)員三： 評閱試卷算法建模摘要：本文主要研究了，在論文評審中，由于聘請的評委用于評卷的時間有限，評審費(fèi)用也是競賽組委會必須考慮的問題。面對大量的參賽論文，競賽組委會在既要保證論文評分的公平又要兼顧評委時間及費(fèi)用的前提下，常采用盡量保證論文評分公平的折中方法來對論文評分。對怎樣避免人員不同帶來的差異以及怎樣在保質(zhì)保量的情況下來折合分?jǐn)?shù)或校正分?jǐn)?shù)，在對所給數(shù)據(jù)的進(jìn)行分析后來建立數(shù)學(xué)模型，建立科學(xué)合理評閱試卷的方法。我們給出三種計(jì)算總分的方法分別為：求平均值法，去掉閱卷人不同帶來的差異法，加權(quán)系數(shù)法，然后從公平合理的角度分析比較這三種方法的優(yōu)劣。根據(jù)所給數(shù)據(jù)利用查詢法統(tǒng)計(jì)A、B卷每位老師各自的工作量，并且分別A、B評閱方法的誤判的概率，通過比較誤判的概率和工作量來分析兩種方法的優(yōu)劣。我們通過估計(jì)法來估計(jì)評閱方法在第一輪時有多少被去掉。最后，我們根據(jù)上述方法二 ，提出一個閱卷方案，在公平合理、保質(zhì)保量的前提下，使20位閱卷人在3天時間內(nèi)評閱630份答卷以及在此之上評閱2000份需要多少評卷人。我們采用matlab和lingo軟件編程得到A、B評閱方法的誤判的概率分別為:A題誤判的概率：Pa=4.917119604038%B題誤判的概率：Pb= 1.938945837024%20位閱卷人在3天時間內(nèi)評閱630份答卷需要隨機(jī)抽取x1=30份試卷由所有的評閱人評閱，剩下的600份試卷由隨機(jī)的x2=2位老師評閱，評閱2000份至少需要最少請45個評閱人才能保證保質(zhì)保量在三天內(nèi)完成評閱2000份試卷。關(guān)鍵詞：matlab編程 誤差分析 數(shù)據(jù)處理 加權(quán)校正 評閱試卷算法 如何建模 LINGO編程等一、問題綜述A題 評閱試卷競賽論文評分問題在一些科技活動的競賽中（如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等），參加競賽者是通過提交論文來完成競賽的。然后，評委對所有提交的論文進(jìn)行打分，競賽組委會再通過這些論文的分?jǐn)?shù)來確定參賽者的獲獎等級。在論文評審中，由于聘請的評委通?？蒲泻徒虒W(xué)活動繁忙，使得他們能用于評卷的時間有限，此外，給評委的評審費(fèi)用也是競賽組委會必須考慮的問題。面對大量的參賽論文，競賽組委會在既要保證論文評分的公平又要兼顧評委時間及費(fèi)用的前提下，常采用盡量保證論文評分公平的折中方法來對論文評分。如在某地的數(shù)學(xué)模型競賽有兩份試題。A題有380份答卷，由13位評閱人組成的小組來完成評閱任務(wù)；B題有250份答卷，由8位評閱人組成的小組來完成評閱任務(wù)。理想的方法是每位評閱人看所有的試卷，并將他們排序，但這種工作量太大。另一種方法是進(jìn)行一系列的篩選，在一次篩選中，每位評閱人只看一定數(shù)量的答卷，并給出分?jǐn)?shù)。評閱人的任務(wù)是從中選出1/3的優(yōu)勝者。每份試卷最多評閱3次。試卷滿分為100分。A題，第一輪，每份試卷由兩位評閱人隨機(jī)抽取評閱。當(dāng)兩位評閱人給分相近時，將兩個評閱成績累加作為該答卷的總分；當(dāng)兩位評閱人給分相差大于一定值時，經(jīng)第二輪，隨機(jī)地請第三位閱卷人評閱，從三個評閱成績中取兩個相近的分?jǐn)?shù)之和作為該答卷的總分。最后按這樣得到的總分排序。因?yàn)橹灰x出1/3的優(yōu)勝者，為了減少工作量，所以在第一輪之后，對前兩位評閱人給分之和排在后40%的答卷不再進(jìn)入第二輪處理。B題，每份試卷由三位評閱人隨機(jī)抽取評閱，評閱人均不重復(fù)，將三個評閱成績累加作為該卷的總分排序。題目中的數(shù)據(jù)是一次競賽評卷后的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。請利用所給的數(shù)據(jù)完成下面的工作：（1）對A題和B題，分別給出3種計(jì)算總分的方法，比較其優(yōu)劣。（2）分別計(jì)算A題和B題評閱人的工作量；并分別計(jì)算A題和B題評閱方法造成誤判的概率，分析兩種評閱方法的優(yōu)缺點(diǎn)，哪一種評卷方法在哪方面更好。（3）對A題，在第一輪評閱輪后，你認(rèn)為可以去掉多少試卷后，再進(jìn)行第二輪的評閱。說明你的理由。（4）在現(xiàn)有條件下，20位閱卷人在3天時間內(nèi)評閱630份答卷，你們能否提供一個閱卷方法實(shí)現(xiàn)公平合理、保質(zhì)保量的原則。 （5）如果論文總數(shù)不小于2000份，最少應(yīng)該聘請多少名專家？數(shù)據(jù)見附件二、問題分析2.1分析：（1） 由于對同一份答卷不同的老師會給出不同的分?jǐn)?shù)，每一份試卷是由隨機(jī)的兩到三位老師評閱的，每一份試卷的得分基礎(chǔ)是不同的，因此存在不同的計(jì)算總分的方法，這些方法各有優(yōu)劣。（2） 評閱人的工作量可以由老師評閱的試卷份數(shù)來表示。理想的評閱方法是每位老師改所有的試卷，而題中所給方法只是每份試卷由隨機(jī)的兩到三位老師評閱，這樣的評閱方法得到的分?jǐn)?shù)和理想的方法得到的分?jǐn)?shù)存在差距，這就造成了誤判。（3）因?yàn)橹灰x出1/3的優(yōu)勝者，為了減少工作量，所以在第一輪之后，對前兩位評閱人給分之和排在后40%的答卷不再進(jìn)入第二輪處理，所以可以采用估計(jì)法。（4） 在評閱人人數(shù)、時間給定的情況下，設(shè)計(jì)一種使每份試卷得分基礎(chǔ)相同的評閱方法，實(shí)現(xiàn)公平合理、保質(zhì)保量的原則。2.2假設(shè)：1.每個老師標(biāo)準(zhǔn)公平地評閱每一份試卷.2.每一份試卷的評閱人是隨機(jī)的。3.假設(shè)如果校正之后的分?jǐn)?shù)大于100分則將他的的分考慮成100分4.每位評閱人給分的期望值反映了各自的評判標(biāo)準(zhǔn)。5.理想的分?jǐn)?shù)值位于0到100之間。6.評閱人對所閱參賽作品均細(xì)致閱讀，認(rèn)真評分，不受外界活情緒的影響。7.每個人所給分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布 8.所給數(shù)據(jù)均有效 9.假設(shè)論文總數(shù)為2000份，時間同樣三天。10. 假定每個老師每天評閱的最大試卷數(shù)為30份。2.3符號說明： essa(i)對應(yīng)于第i位評閱A卷的評閱人的平均誤差essb(i)對應(yīng)于第i位評閱B卷的評閱人的平均誤差quana(i)第i位評閱A卷的評閱人的權(quán)系數(shù)quanb(i) 第i位評閱B卷的評閱人的權(quán)系數(shù)A題：第i位老師給分的期望：所有老師給分的期望：第i位老師的差異因子誤判的概率為：PaB題：第i位老師給分的期望：所有老師給分的期望：第i位老師的差異因子誤判的概率為：Pb x1:從630份試卷中隨機(jī)抽取x1份試卷x2: 630-x1份由x2位評閱人來評閱x01:總共需要的人數(shù)x02:隨機(jī)抽取的試卷數(shù)x03:剩下的2000-x02由x03位評閱人評閱三、模型假設(shè)、建立與求解(一)模型建立：問題一：三種計(jì)算總分的方法方法一：求均值法A題：由三位閱卷人評閱的試卷時，實(shí)際分?jǐn)?shù)=由兩位閱卷人評閱的試卷時，實(shí)際分?jǐn)?shù)=并將分?jǐn)?shù)從高到低進(jìn)行排序。B題：由三個閱卷人評閱的試卷，分?jǐn)?shù)= 給出數(shù)據(jù)中有一份只有兩位老師評閱，2293850分?jǐn)?shù)=并將分?jǐn)?shù)從高到低進(jìn)行排序。方法二：去掉閱卷人不同帶來的差異法 A題： i位老師給分的期望： 所有老師給分的期望： 差異因子： （2）求實(shí)際所給分?jǐn)?shù)由三位老師評閱的試卷：由兩位老師評閱的試卷：并將分?jǐn)?shù)從高到低進(jìn)行排序。 B題： i位老師給分的期望： 差異因子： （2）求實(shí)際分?jǐn)?shù)當(dāng)三位老師評閱的試卷：給出數(shù)據(jù)中有一極端值（只有兩位老師評閱），并將分?jǐn)?shù)從高到低進(jìn)行排序。 方法三：加權(quán)系數(shù)法 根據(jù)裁判一直以來的評卷風(fēng)格,分別給每個評閱人考慮權(quán)系數(shù)ess。假設(shè)評委評卷的分?jǐn)?shù)基本上服從正態(tài)分布,正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為f()與分布函數(shù)F()為 f()= F()=式中, 為標(biāo)準(zhǔn)差(或稱方均根誤差);e為自然對數(shù)的底,其值為2.7182它的數(shù)學(xué)期望為E=0它的方差為 其平均誤差為 =0.79790.8此外由 =1/2得 A題:權(quán)系數(shù)quana(i)= (1i13)。由下表(由所給數(shù)據(jù)進(jìn)行求方差開根號)可以知道essb標(biāo)準(zhǔn)差16.14222412.72909415.5182610.60713715.49959911.19894612.693912.177613平均誤差12.9137810.1832712.414618.48570912.399688.95915710.155129.7420915.93312813.8047878.74226649.488000611.07939612.746511.043836.9938137.59048.863517求實(shí)際所給分?jǐn)?shù)由三位老師評閱的試卷： 由兩位老師評閱的試卷：并將分?jǐn)?shù)從高到低進(jìn)行排序。B題:權(quán)系數(shù)quanb(i)= (1i0的次數(shù).利用MATLAB編程:見附表七運(yùn)行得:A題工作量序號甲乙丙丁戊己庚辛A題工作量6166616074617248序號壬癸甲甲乙乙丙丙A題工作量62707010296B題工作量序號甲乙丙丁戊己庚辛工作量90858383898987862.2 計(jì)算誤判的概率(以方法二的值來計(jì)算)1）計(jì)算誤判的概率由三個評閱人評閱的試卷，從三個評閱成績中取兩個相近的分?jǐn)?shù)之和取平均作為該答卷的總分，由兩個評閱人評閱的試卷，兩個評閱成績直接相加取平均作為該答卷的總分。這樣得到的第j份試卷的分?jǐn)?shù)是fenshu1 (j)。該題誤判的概率為：Pa% (1j380)由三個評閱人評閱的試卷，三個評閱成績之和取平均作為該答卷的總分，數(shù)據(jù)中的極端值（由兩個評閱人評閱的試卷），則兩個評閱成績直接相加取平均作為該答卷的分?jǐn)?shù)。這樣得到的第j份試卷的分?jǐn)?shù)是B0(j)。該題誤判的概率為：Pb% (1j231) 2.）結(jié)果 A題誤判的概率：Pa=4.917119604038% B題誤判的概率：Pb= 1.938945837024%分析優(yōu)缺點(diǎn)由于Pa Pb則A評卷方式比B評卷方式的誤判率要高，但工作量要小一些。 3）.程序見附表八問題三: 對A題，在第一輪評閱輪后，你認(rèn)為可以去掉多少試卷后，再進(jìn)行第二輪的評閱。說明你的理由。因?yàn)橹灰x出1/3的優(yōu)勝者，為了減少工作量，所以在第一輪之后，對前兩位評閱人給分之和排在后40%的答卷不再進(jìn)入第二輪處理。所以至少可以去掉40%但是必須小于等于60%問題四: 在現(xiàn)有條件下，20位閱卷人在3天時間內(nèi)評閱630份答卷，你們能否提供一個閱卷方法實(shí)現(xiàn)公平合理、保質(zhì)保量的原則.1. 閱卷方法：（我們考慮用方法2去掉差異法）從630份試卷中隨機(jī)抽取x1份試卷，每一份由所有的評閱人評閱，得到i位老師給分的期望： 所有老師給分的期望： 差異因子： 把630份試卷從1號編到630號 ,前已被打分的試卷的分?jǐn)?shù)相應(yīng)的乘以其相應(yīng)的差異因子,后630-x1份由x2位評閱人來評閱.方法如下:試卷計(jì)算得分：p(j)=編號為j的試卷被第i位評閱人打分* 如果，就取。在利用MATLAB編程對630份試卷的得分p(i)做一個從高到低的排列，得到排名。2. 最佳的x1、x2的求解整數(shù)非線性規(guī)劃。假定每個老師每天評閱的最大試卷數(shù)為30份。最佳的x1、x2應(yīng)該使得在限定的工作量條件下老師的總工作量達(dá)到最大，據(jù)此我們得到以下方程組：Max=20x1+(630-x1)x2用Lingo求解得到（程序見附錄九）：Local optimal solution found. Objective value: 1800.000 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 134 Variable Value Reduced Cost X1 30.00000 -18.00000 X2 2.000000 -600.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1800.000 1.000000 2 29.00000 0.000000 3 600.0000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 18.00000 0.000000 6 0.000000 0.000000 即隨機(jī)抽取x1=30份試卷由所有的評閱人評閱，剩下的600份試卷由隨機(jī)的兩位老師評閱，計(jì)分方法同上所述。（5）如果論文總數(shù)不小于2000份，最少應(yīng)該聘請多少名專家？ 假設(shè)請x01位隨機(jī)抽取x02份讓所有人評閱剩下的隨機(jī)由x03個人來評閱,假定每個老師每天評閱的最大試卷數(shù)為30份。由于論文總數(shù)不小于2000份假定取2000份.最佳的x01、x02、x03應(yīng)該使得在限定的工作量條件下老師的總工作量達(dá)到最大，據(jù)此我們得到以下方程組：min=x012=x03=x011=x02=1;x02*x01+(2000-x02)*x03=x01*30*3;gin(x01);gin(x02);gin(x03);用Lingo求解得到（程序見附錄十）：Local optimal solution found. Objective value: 45.00000 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 241 Variable Value Reduced Cost X01 45.00000 1.000000 X03 2.000000 0.000000 X02 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 45.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 43.00000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 1999.000 0.000000 6 44.00000 0.000000 7 7.000000 0.000000最少請45個評閱人才能保證保質(zhì)保量在三天內(nèi)完成評閱2000份試卷.四、模型評估1. 問題一方法一是根據(jù)題意最直接思路最簡單計(jì)算方便的方法，但由于給每份試卷評閱的老師只有兩到三人，相對老師總體人數(shù)較少，這樣由這兩到三個分?jǐn)?shù)的平均值作為試卷的成績，局部性太強(qiáng)，誤判的概率很大,沒有考慮人員不同帶來的差異.方法二考慮到不同老師評判標(biāo)準(zhǔn)的不同對分?jǐn)?shù)的影響從一個方面去掉閱卷人不同帶來的差異法,并沒有從誤差的本質(zhì)意義上考慮評閱結(jié)果.方法三從誤差產(chǎn)生的本質(zhì)原因來考慮評閱結(jié)果,未考慮評閱人生理上的等特殊原因.如心情,疲勞程度等.2.問題二 根據(jù)每位老師各自給分的期望值可以代表該老師的評判標(biāo)準(zhǔn)，我們就可以由每一份試卷已有的分?jǐn)?shù)推斷出每一位未評該試卷的老師會給該試卷的分?jǐn)?shù)。在已有基礎(chǔ)上得到真值表，以此就可求出誤判的概率。我們所求得的期望值是在不同樣本的情況下得到的，因此算法本身存在誤差。3.問題三 采用了估計(jì)法來大概估計(jì)結(jié)果.4.問題四 首先，我們根據(jù)相同的樣本得到每位老師給分的期望值，這樣得到的值是無偏差的。 其次，在保質(zhì)保量的情況下，老師的工作量實(shí)現(xiàn)了平衡，這樣就最大限度地體現(xiàn)了公平性。 另外，樣本的抽取以及剩下試卷評閱老師的選取都是隨機(jī)的，這也體現(xiàn)了公平。 只隨機(jī)抽取30份試卷作為樣本求得每位老師給分的期望值，樣本量偏小。同時剩下的試卷每份只有兩位老師評閱。5.問題五在問題四的基礎(chǔ)上,利用整型規(guī)劃來求解,得到最少請45個評閱人才能保證保質(zhì)保量在三天內(nèi)完成評閱2000份試卷.實(shí)現(xiàn)了公平性.五、參 考 文 獻(xiàn)【1】 數(shù)學(xué)模型（第三版）姜啟源 謝金星 葉俊 高等教育出版社 2003年8月【2】 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材（三） 葉其孝主編 湖南教育出版社 1998年5月【3】 數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀集 輪胎生產(chǎn)方案 中國礦業(yè)大學(xué) 2002年10月【4】 周義倉，赫孝良，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)，西安：西安交通大學(xué)出版社，1999，8。【5】 MATLAB、LINGO使用教程【6】 數(shù)學(xué)建模（）/【7】 數(shù)海 /yunyan8/【8】 數(shù)學(xué)建模 (本科冊) 湖北省大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽專家組主編 華中科技大學(xué)出版社 2006年2月【9】 其它圖書館資源應(yīng)用 :8080/book/queryIn.jsp六、附錄附表一：%=%方法一的A題MATLAB程序%=A=000092000820000007808500000000007407800000000000007800700000000788167000000000830080600000000000760000670000006400078780000006307800077000000007806100760000074000000006507800000600000740000066720000007384530084000000000830008200055000008265072000000070000000670000000800800056000000000078790000580000000007462000000610007774000006100000076740005800000076075000000000007406074000690006500000000068660000000006600000000068006000000073000057075780000000000000590000650070074077000580000000007672000600000000000069063000470008474000000056000750730000000007000006100000000008207104800000006000700000000066000640000000080000490068750000075000540007473000000056000745473000000000000069000590000000068600000000670000000060000067000005900070000064063000000000008700680000390005200006774000000586800000000066000006000000000006106500000000000047078006378000000000520730770440800000000007776000000470059650000000000000075000440790006400000590000000000071730510000000007072052000007800000000820670000065570000000000006300005900000000620000600063000560000500000006900052680000005806300000000000059000062000060061000000006776000530000000053750670000000006258000000000000083730000036000000720007504400052000716700000000000076700042000000740069000444800070000068000004900000069670000067005100006606400000000000547600079380000000075000000070470000006500520000000850000075070006900730000000470048006872000000000006871000004800000670700000490000000506906600000650000068051000640052000067000005660000000000000006000005600670000000000644800061054000000058000570000000000806900000003400006806600480000000067650000049000000666400005000000630650000510000000620000052000061000000053680780000590000000000000061005300000000006054000000000590005500000000005658000000000005856006500750000000380064072000000041000630006900044000000000005261000055005800000005500000000005800560000000057000000000580704206200000000005000500000620005600000000580000540000005705500000000490730045000064000000000039720000460750480000065630000000004606248000000006300006261000000490530000000005800058000000000530000007158000003940000070057000004268000000560000000000006255004800000000061540490000580000000520460000063000052590000000000500005200000005700000520005700000000000005600530000059000066004246000058620000000057000000510000570000510000000000000000535500000660000540041006100000004653046000610000052000000000006004751610000004800059000570000000050000000055520000005500000000520005300000005400000004557006100000000566100000450600000055000460000000600540046000000590047530000048000000000058000000000055510710560006200000000000000071050340007035000000049600000000068037006559000000004000400580000065000062005700000043000440056000610000000580550004700570000000000480510000000054000005200000000053000064000005104000005100000530004000000006300495859000000004400057440000005900000560005700046005600590000480000000000000475600000005600047000005400049000000490000000005400540490000000000000000053005000000000610049041006000000000480424400000000580470000048054000000000490000000530490053000000000000000000049530000470006100004000430584600000000460000000005500000000480000530000061430000039047000053000000360000063041000000006100038400000000000006039390000056000000384356000430000000370000530000004600005700069007400049360062000000000480006100370000004700003806000060380460000000000000450005804000000004400058400000000043570004100000000564204200000560000410042054000000004004400000045530000000000046052000000000047000005100000000005048000048500000000000047000006000370005846000000039005600450004100005500004400000426800079000005800000540430000000047500000000000480049000000000000006600000030000005937000000000000005600040000000550000410000000000055041000000000049470003000065000000000000003362000056000000003900000000004205300520000000000043050000000000045000000000045500000000000005045000000004900460000000000048470000047000048000058000000000036000480000560000000000053000041051000004300000000510000000043000000504400000004800000000046380000000055000000000005100420000000004604700000000000460470310610000000000056000000360000000005600000360000560003600000054000000000380000000053390000041000000005100000043000049000044000000000048000000000454700002900620000000000000000052039000000000004150004400000000470047000000000044000470