概率論第五章習(xí)題解答課后習(xí)題答案.doc

第五章習(xí)題解答1、據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100h的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和1920h的概率。解設(shè)這16只元件的壽命為，則，因?yàn)?，于是隨機(jī)變量近似的服從.2（1）一保險(xiǎn)公司有10000個(gè)汽車保險(xiǎn)投保人，每個(gè)投保人索賠金額的數(shù)學(xué)期望為280美元，標(biāo)準(zhǔn)差為800美元，求索賠總金額不超過2700000美元的概率；（2）一公司有50張簽約保險(xiǎn)單，每張保險(xiǎn)單的索賠金額為，（以千美元計(jì)）服從韋布爾分布，均值，方差求50張保險(xiǎn)單索賠的合計(jì)總金額大于300的概率。解（1）設(shè)每個(gè)投保人索賠金額為，則索賠總金額為又 ，所以，索賠總金額不超過2700000美元的概率近似的服從即（2）3、計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差相互獨(dú)立，且在（0.5，0.5）上服從均勻分布，（1）將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對(duì)值超過15的概率是多少？（2）最多可有幾個(gè)數(shù)相加，使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90？解設(shè)每個(gè)加數(shù)的舍入誤差為，由題設(shè)知相互獨(dú)立同分布，且在（0.5，0.5）上服從均勻分布，從而，(1)、記，由獨(dú)立同分布的中心定理有近似的服從，從而。（2）、記，要使，由獨(dú)立同分布的中心極限定理，近似地有即，查表得令，解得。即最多可有443個(gè)數(shù)相加，可使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90。4、設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5kg，圴方為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少？解設(shè)每只零件的重量為，由獨(dú)立同分布的中心極限定理知近似地服從則10.92070.0793。5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取100根，求其中至少有30要短于3m的概率。解把從這批木柱中隨機(jī)地取一根看作一次試驗(yàn)，并假定各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，在100次試驗(yàn)中長度不小于3m的根數(shù)記作，則是隨機(jī)變量，且，其分布律為，所求的概率為由德莫弗拉普拉斯定理可求它的近似值。6、一工人修理一臺(tái)機(jī)器要兩個(gè)階段，每一階段需要時(shí)間（小時(shí)）服從均值為0.2的指數(shù)分布，第二階段所需要的時(shí)間服從均值為0.3的指數(shù)分布，且與第一階段獨(dú)立?，F(xiàn)有20臺(tái)機(jī)器需要修理，求他在8小時(shí)內(nèi)完成任務(wù)的概率。解設(shè)修理第（）臺(tái)機(jī)器，第一階段耗時(shí)，第二階段為，則共耗時(shí)為已知因?yàn)橹笖?shù)分布的數(shù)學(xué)期望為，方差，即，又第一階段和第二階段是相互獨(dú)立的，故20臺(tái)機(jī)器需要修理的時(shí)間由獨(dú)立同分布的中心極限定理，20臺(tái)機(jī)器需要維修的時(shí)間可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布，即而所求概率即不大可能在8小時(shí)內(nèi)完成任務(wù)。（因?yàn)橥瓿扇蝿?wù)的可能性不到20%）7、一家食品店有三種蛋糕出售，由于出售哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取1元、1.2元、1.5元各個(gè)值的概率分別為0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率。（2）求售出價(jià)格為1.2元的蛋糕多于60只的概率。解設(shè)第格為為（），其分布律 0.3 0.2 0.5由此得（即平均收入）以表示總收入，即，由獨(dú)立同分布中心極限定理，得則收入超過400元的概率為。（2）以記300只蛋糕中售價(jià)為元的蛋糕數(shù)，于是，（出售這種蛋糕的平均只數(shù)）， (二項(xiàng)分布的方差)售出價(jià)格為1.2元的蛋糕多于60只的概率為（即有50%的可能售出60只價(jià)格為1.2元的蛋糕。）8、（1）一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，在整個(gè)運(yùn)行過程期間每個(gè)部件損壞的概率為0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必須有85個(gè)部件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率。（2）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件正常工作的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件正常工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問n至少為多大時(shí)才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。解（1）設(shè)正常工作的部件數(shù)為（），由題設(shè)知（）相互獨(dú)立，且，設(shè)，則。由德莫弗拉普拉斯定理知，近似地服從正態(tài)分布，從而（2）設(shè)觀察每個(gè)部件是否損壞為一次試驗(yàn)，記損壞的部件數(shù)為，則是一個(gè)隨機(jī)變量，且，由于當(dāng)有20%的部件不工作時(shí)系統(tǒng)就不能工作，因此若設(shè)（取整數(shù)），則當(dāng)正常工作的部件數(shù)時(shí)，系統(tǒng)就不能正常工作。根據(jù)德莫弗拉普拉斯定理查表得（由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性。），由于（取整數(shù)），故可以認(rèn)為，令，有，即當(dāng)n至少為25時(shí)，才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.959、已知在某十字路口，一周事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4（1）以表示一年（以52周計(jì)）此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，試用中心極限定理求的近似分布，并求。（2）求一年事故數(shù)小球100的概率。解（1）設(shè)該十字路口第周發(fā)生事故次數(shù)為，則（）是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知，標(biāo)準(zhǔn)差，則方差，于是服從正態(tài)分布，由中心極限定理，。（見教材P122之（2.3）式）。又。（2）設(shè)，則10、某種汽車氧化氮的排放量的數(shù)學(xué)期望為0.9g/km，標(biāo)準(zhǔn)差為1.9g/km某汽車公司有這汽車100輛，以表示這些汽車氧化氮排放量的算術(shù)平均值，問當(dāng)為何值時(shí)的概率不超過0.01。解設(shè)每輛汽車的氧化氮排放量為（），則是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，由中心極限定理知，于是令，即查表有令，得g/km11、隨機(jī)地選取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量某種化合物的PH值，各人測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為5，方差為0.3。以，分別表示第一組和第二組所得的結(jié)果的算術(shù)平均值。（1）求；（2）求解因?yàn)椋?（1）由中心極限定理知近似服從，于是。（2）因?yàn)?，由中心極限定理知近似服從，故。12、一公寓有200住戶，一戶擁有汽車數(shù)的分布分赴為0120.10.60.3問需要多少車位，才能使每輛汽車都具有一個(gè)車鄰六事鬼概率至少為0.95。解設(shè)需要的車位數(shù)為, 設(shè)第（）戶有車輛數(shù)為，則因?yàn)楣灿?00戶，各戶占有車位相互獨(dú)立，從而近似地有所求概率為，即查表知，令，解得由此知至少需要254個(gè)。13、某電子器件的壽命（小時(shí)）具有數(shù)學(xué)期望（未知），方差。為了估計(jì)，隨機(jī)地取n只這種器件，在時(shí)刻投入測(cè)試（測(cè)試是相互獨(dú)立的）直到失效，測(cè)得其壽命，以作為的估計(jì)，為使，問n至少為多少？解由獨(dú)立同分布中心極限定理，近似的服從要使，即，亦即查表知，得，故n至少為1537。14、某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難血液病的治愈率為0.8，醫(yī)院任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，若其中多于75人治愈，就接受此種斷言。（1）若實(shí)際上藥品對(duì)這種疾病的治愈率為0.8，問接受這一的概率是多少？（