（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）超有限因子中套子代數(shù)的lie理想.pdf

摘要 對(duì)于算子代數(shù)的l i e 結(jié)構(gòu)的研究始于上世紀(jì)5 0 年代，一直以來都備 受人們的關(guān)注，這對(duì)于全面揭示各種算子代數(shù)的各種結(jié)構(gòu)具有重要的意 義 許多代數(shù)的l i e 理想是可以完全確定的，而且l i e 理想與結(jié)合理想 之間都存在著密切的聯(lián)系5 0 多年來，算子代數(shù)學(xué)家們?cè)谶@一方面取得 了豐碩的成果 本文首先給出了超有限因子到其中的套代數(shù)的對(duì)角上的忠實(shí)的條件 期望的一個(gè)刻畫，證明超有限因子套代數(shù)的中心恰好由純量構(gòu)成同時(shí) 描述了超有限因子中的正則套代數(shù)的盯一弱閉l i e 理想的結(jié)構(gòu)，揭示了 其中的l i e 理想和結(jié)合理想之間的關(guān)系j 關(guān)鍵詞：v n 代數(shù)；超有限因子；套子代數(shù)；條件期望；l i e 理想 a b s t r a c t m a n yo p e r a t o ra l g e b r a ss c i e n t i s t sh a v eb e e ns t u d y i n gt h el i ei d e a l so f o p e r a t o ra l g e b r a ss i n c e19 5 0 s ，a n dm o r ep e o p l ep a i dm o r ea t t e n t i o nt ot h e o p e r a t o ra l g e b r a sl i es t r u c t u r e ，t h i si sv e r yi m p o r t a n tt or e v e a lt h es t r u c t u r e o fv a r i o u so p e r a t o ra l g e b r a s i nm a n ya l g e b r a s ，t h el i ei d e a l sc a r lb ee x a c t l yd e t e r m i n e d ；a l s ot h e r ea r e c l o s ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h e l i ei d e a la n dt h ea s s o c i a t i v ei d e a lo fa l g e b r a s i nt h i sf i l e d ，w eh a v eg o ta p l e n t i f u lh a r v e s t i nt h i sp a p e r , t h ed e s c r i p t i o ni sf i r s tg i v e nf o rt h ef a i t h f u ln o r m a l c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nf r o mah y p e r f i n i t ef a c t o ro n t ot h ed i a g o n a lo fn e s t a l g e b r ao ft h eh y p e r f i n i t ef a c t o r i ti sp r o v e dt h a tc e n t e ro ft h en e s ta l g e b r ai s t h es c a l 顰a l g e b r a s e c o n d ，i ti sd e c r y p t e dt h es t r u c t u r eo fo - - w e a k l yc l o s e d l i ei d e a l so fr e g u l a rn e s ts u b a l g e b r a si nh y p e r f i n i t ef a c t o r s ，i ti sa l s o r e v e a l e dt h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h el i ei d e a la n dt h ea s s o c i a t i v ei d e a l k e yw o r d s ：v na l g e b r a ；h y p e r f i n i t ef a c t o r ；n e s ts u b a l g e b r a ；c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n ；l i ei d e a l 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明，所呈交的學(xué)位論文系本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的研究成果文中依 法引用他人的成果，均己做出明確標(biāo)注或得到許可：論文內(nèi)容未包含法律意義上已 屬于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他學(xué)位申請(qǐng)的論文或成 果 本人如違反上述聲明，愿意承擔(dān)由此引發(fā)的一切責(zé)任和后果 論文作者簽名： 卜笑曄 日期：細(xì)弓年6 月1 日 學(xué)位論文知識(shí)產(chǎn)權(quán)權(quán)屬聲明 本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下所完成的學(xué)位論文及相關(guān)的職務(wù)作品，知識(shí)產(chǎn)權(quán)歸屬學(xué)校 學(xué)校享有以任何方式發(fā)表、復(fù)制、公開閱覽、借閱以及申請(qǐng)專利等權(quán)利本人離校 后發(fā)表或使用學(xué)位論文或與該論文直接相關(guān)的學(xué)術(shù)論文或成果時(shí)，署名單位仍然為 青島大學(xué) 本學(xué)位論文屬于： 保密口，在年解密后適用于本聲明 不保密口 ( 請(qǐng)?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打“ ) 論文作者簽名： 卜；4 導(dǎo)師簽名：敘以覦 日期：硼i 年月j 日 日期：加蛑6 月日 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 引言 經(jīng)過算子代數(shù)學(xué)家們的努力，到2 0 世紀(jì)中、下半葉，關(guān)于h i i b e r t 空間上的 套代數(shù)已經(jīng)建立了一套完美的理論但對(duì)于一般的v n 代數(shù)的中套代數(shù)的相關(guān)理論還 比較少對(duì)于般的y o nn e u m a n n 代數(shù)中的套代數(shù)的結(jié)構(gòu)的研究，多年來算子代數(shù) 學(xué)家一直都在追尋著，但由于一般的y o nn e u m a n n 代數(shù)不像h i i b e r t 空間上有界算 子的全體代數(shù)一樣有充分多的秩算子，而對(duì)于y o nn e u m a n n 代數(shù)中的套代數(shù)的結(jié) 構(gòu)與h i i b e r t 空間上的套代數(shù)的結(jié)構(gòu)又有著本質(zhì)的區(qū)別這成為了近年來一個(gè)比較 活躍的課題，特別是l i e 理想與結(jié)合理想間的關(guān)系占了比較重要的位置 對(duì)于l i e 理想的研究始于上世紀(jì)5 0 年代，對(duì)此的研究人們一直在進(jìn)行著，這 是因?yàn)樗鼘?duì)于全面揭示y o nn e u m a n n 代數(shù)的結(jié)構(gòu)具有重要的意義五十多年來，圍 繞著各種代數(shù)的l i e 理想和結(jié)合理想方面，人們進(jìn)行了大量的研究，取得了豐碩的 成果 設(shè)a 是復(fù)數(shù)域c 上的一個(gè)結(jié)合代數(shù)，在括積k y l = 砂一y x 下，a 成為一個(gè)l i e 代數(shù)彳的一個(gè)線性子空間上如果滿足任給口么，豇l 都有f 口，k 1 l ，則稱三是4 的 l i e 理想在許多例子中，彳的l i e 理想和結(jié)合理想間存在密切聯(lián)系 h e r s t e i n 1 于1 9 5 5 年作了關(guān)于l i e 理想的奠基性工作，首次描述了素環(huán)中的 l i e 理想與結(jié)合理想之間的關(guān)系，使代數(shù)的結(jié)構(gòu)研究走向多元化五十多年來，圍繞 著各種代數(shù)的l i e 理想和結(jié)合理想，人們進(jìn)行了大量的研究，取得了豐碩的成果 h e r s t e i n 1 證明了若彳是有非零的局部?jī)缌憷硐氲沫h(huán)，且在么中，由2 x = 0 可 推得x = 0 ，那么若么的結(jié)合子環(huán)u 是a 的l i e 理想，則要么u 包含著彳的一個(gè)非 零理想，要么u 包含在么的中心里還證明了若彳是特征不等于2 的素環(huán)，u 是彳的 l i e 理想，則u 包含在么的中心里，或u3 i 么，彳。1 圍繞算子代數(shù)的l i e 理想的研究，近年來又取得了豐富的成果其中經(jīng)典的有： 1 9 8 2 年， f o n gck 、m i e r scr 與s o u r o u rar 4 刻畫了當(dāng)h 是無限維可 分的h i l b e r t 空間時(shí)，b ( h 1 中的l i e 理想并且給出了l i e 理想與結(jié)合理想的關(guān)系 2 0 0 2 年， m a r c o u xlw 與s o u r o u rar 3 又給出了非自伴算子代數(shù)中共軛不 變子空間與l i e 理想間的關(guān)系，即若是n e s t 代數(shù)( 或t u h f 代數(shù)) 中的弱閉( 或 范數(shù)閉) 線性流形，則三是l i e 理想當(dāng)且僅當(dāng)上是共軛不變，進(jìn)而更進(jìn)一步的刻畫 了n e s t 代數(shù)中弱閉l i e 理想 2 0 0 4 年，h o p e n w a s s e ra 與p a u l s e nv 8 描述7 - - 角a f 代數(shù)中的l i e 理想 結(jié)構(gòu) 引言 2 0 0 5 年，j ip e i s h e n g 與w a n gi i n 7 描述了a f c 。一代數(shù)的l i e 理想證明了如 果a f c + 一代數(shù)中的線性流形上是a 的閉l i e 理想，則存在彳的閉結(jié)合理想，和a 的 典型m a s a d 中的閉子代數(shù)e ，使得f 么，川clc ，+ e ，并且么中每一個(gè)這種形式的 閉子空間都是彳的閉l i e 理想 對(duì)于v n 代數(shù)及其子代數(shù)的坐標(biāo)表示有下列結(jié)果： 1 9 7 7 年，f e l d m a nj 與m o o r ec 1 2 建立了遍歷等價(jià)關(guān)系，及v o nn e u m a n n 代 數(shù)之間的關(guān)系其主要結(jié)果可描述如下： 設(shè)召是由c a r t a n 子代數(shù)d 的v n 代數(shù)，則存在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的b o r e l 測(cè)度空間 ( x ，q ，) ，x 上的一個(gè)可數(shù)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系r 和一個(gè)復(fù)值2 一上環(huán)j 使得b 蘭m ( r ，j ) ， d 蘭r ( x ，) 映射b 1 6 是b 到d 的正規(guī)的忠實(shí)的條件期望 1 9 8 8 年，m u h l y 與s o l e l 1 4 給出了三角算子代數(shù)的坐標(biāo) 關(guān)于代數(shù)的坐標(biāo)表示，v n 代數(shù)的坐標(biāo)表示f e d m a n 和m o o r e 在文獻(xiàn) 1 2 中給出 了詳細(xì)的描述；m u h l y ，s a i t o 和s o l e l 1 4 刻畫了非自伴代數(shù)的坐標(biāo)表示 本文首先給出了超有限因子到其中的套代數(shù)的對(duì)角上的忠實(shí)的條件期望的一 個(gè)刻畫，證明超有限因子套代數(shù)的中心恰好由純量構(gòu)成同時(shí)描述了超有限因子中 的正則套代數(shù)的仃一弱閉l i e 理想的結(jié)構(gòu)，揭示了其中的l i e 理想和結(jié)合理想之間 的關(guān)系 2 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 對(duì)于套代數(shù)的結(jié)構(gòu)從上世紀(jì)5 0 年代以來一直是人們研究的熱點(diǎn)問題之一，對(duì) 于h i 1 b e r t 空間上的套代數(shù)已經(jīng)建立了一套完美的理論，但對(duì)于一般的v 0 1 n e u m a n n 代數(shù)中的套代數(shù)的結(jié)構(gòu)的研究還在繼續(xù)，本文給出了超有限因子到其中的套代數(shù)的 對(duì)角上的忠實(shí)的條件期望的一個(gè)刻畫，證明超有限因子套代數(shù)的中心恰好由純量構(gòu) 成的，舉例說明了超有限因子中套代數(shù)的理想結(jié)構(gòu)與h i l b e r t 空間上的套代數(shù)的理 想結(jié)構(gòu)又有著本質(zhì)的區(qū)別 第一節(jié)預(yù)備知識(shí) 首先介紹幾個(gè)概念： 定義1 1 1v n 代數(shù)曰的c a r t a n 子代數(shù)d 是指d 是b 的一個(gè)正則的極大交換 的子代數(shù)，且存在從召到d 的正規(guī)的忠實(shí)的條件期望p ：b - - d 定義1 1 2 子代數(shù)d 稱為正則的是指d 的正規(guī)化子集人0 ( d ) = “：“是b 中的 酉元且滿足“d 糾= d ) 生成整個(gè)b ，其中的酉元稱為d 的正規(guī)化子 定義1 1 3p ：b 寸d 稱為正規(guī)期望是指p 為范數(shù)為l 的盯一w o t 連續(xù)的投 影p 稱為忠實(shí)的是指如果p ( r ) = o ，t 0 ，那么t = o ? 定義1 1 4 因子曰成為超有限( 或a f ) 因子指男中存在一個(gè)單的有限維c 一子 代數(shù)鏈 鼠 使得u 二。e 按仃一w o t 稠y b 定義1 1 5 給定b 中這樣一個(gè)單的有限維c 予代數(shù)鏈 最 ，存在b 的一個(gè)子 集 彤：f ，z ) ，滿足任給門， e ；：f ，) 為色的一個(gè)矩陣單位系，并且每個(gè)彤是 g ；+ 1 ：f ， 中某些元素的和令d o 為集合 ：f ，z 的閉線性擴(kuò)張，d 為d o 的仃一弱閉 包，則d 為b 的c a r t a n 子代數(shù)稱 g ；：f ，2 為b 關(guān)于d 的一個(gè)矩陣單位系 定義1 1 6v n 代數(shù)b 的c a r t a n 子代數(shù)d 的廣義正規(guī)化子的概念： b 中的部 分等距v 稱為d 的廣義正規(guī)化子指w 和，v 屬于d 且滿足記為= d w d 的廣義正 規(guī)化子的全體記為g b ( d ) 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 如果b 是有限的，則v g n s ( d ) 當(dāng)且僅當(dāng)“虬( d ) 和d 中投影p 使得v = u p ， 顯然每個(gè)屬于g n 8 ( d ) 定義1 1 7 設(shè)b 為a f 因子，d 為召的c a r t a n 子代數(shù)，b 中的正則套指由d 中的投影組成的一個(gè)鏈，包含0 和單位元1 ，并且在完全投影格運(yùn)算下封閉 定義1 1 8 相應(yīng)的套代數(shù)r ( n ) 指集合 a b ：p a p = a p ，v p n ) ，顯然丁( ) 是 包含d 的盯一弱閉子代數(shù) 定義1 1 9 稱v n 代數(shù)丁( ) nr ( ) 為套代數(shù)丁( ) 的對(duì)角，記為d ( w ) ，其中 丁( ) = 口：口r ( ) 顯然d ( ) = 7 ，是的交換子7 定義1 1 1 0 由n 生成的v nt 弋?dāng)?shù)c ( n ) 稱為t ( n ) 的核，顯然c ( n ) 是d ( ) 的 交換子，且為d 的子代數(shù) 定義1 1 11 稱c ( ) 的極小投影為n 的原子，n 的原子的全體記為人任給n 的原子g ，有9 = 八 p n ：g p - v p n ：尸上g ，或存在p n 使得g = p 一衛(wèi)， 其中且= v p 7 n ：p 7 口 定義1 ，1 12 記吼= g ，如果吼按范數(shù)稠于g 。蛾，則稱是正則套，r ( n ) q e a 稱為正則套代數(shù) 定義1 1 13t ( n ) 的原子對(duì)角見( n ) 指由 q b q q 人 生成的仃一弱閉子代 數(shù)，顯然見( n ) = q b q q 人) 口e 存在唯一的從b 到見( ) 上的條件期望，其定義為：( 口) = q a q ，口b 顯 q e a 然a7 e e t ( n 1 上是可乘的 4 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二節(jié)主要結(jié)果及證明 本部分b 為a f 因子，d 為b 的c a r t a n 子代數(shù) 為證明此文下面的一些結(jié)果，我們將用到召的坐標(biāo)表示對(duì)v n 代數(shù)的坐標(biāo)化文 獻(xiàn)( 1 2 】中f e l d m a n n 和m o o r e 作了詳細(xì)的描述有關(guān)在非自伴代數(shù)上的應(yīng)用的詳細(xì)介 紹見m u h l y ，s a i t o 和s o l e l 文【1 4 下面我們給出坐標(biāo)的相關(guān)方面的一個(gè)簡(jiǎn)明介紹 假設(shè)b 為帶有c a r t a n 子代數(shù)d 的v n 代數(shù)f e l d m a n n 和m o o r e 在文獻(xiàn)【1 2 】中用可 測(cè)等價(jià)關(guān)系給出了( b ，d ) 的結(jié)構(gòu)：設(shè)( 彳，q ，) 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的b o r e l 測(cè)度空間且有 限，r 是彳上的一個(gè)可數(shù)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系( 即r 是義上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，r 是x z 的 b o r e l 子集，且每一個(gè)等價(jià)類是可數(shù)的) 如果( x ，y ) r ，稱為x 與y 是等價(jià)的，記 為z y z 的等價(jià)類記為r ( x ) 存在從尺到的兩個(gè)自然投影乃和刀，其定義為： 乃( x ，y ) = x 和萬(wàn)，( x ，y ) = y 由可定義尺上的一個(gè)右數(shù)數(shù)測(cè)度b 為 v ，( y ) = l j 莓廠( y ，x ) p ( x ) ，其中i s i 表示集合s 的基數(shù)( 同理可以定義一個(gè)左數(shù)數(shù) 測(cè)度) 從而有( x ，y ) 咖( 歲，y ) = l 廠( y ，x ) p ( 石) b 中的算子可表示為r j y， 上的函數(shù)廠( x ，y ) 這個(gè)表示可能需要定義在有序組滅r = ( x ，y ，z ) ：x y z 上的 一個(gè)復(fù)值2 一上環(huán)s ( x ，y ，z ) 在些簡(jiǎn)單的情況下( 如r 是a f 的) s 恒等于1 可測(cè) g l 數(shù)f ( x ，y ) 稱為左有限的指( 石，y ) 有界且存在正整數(shù)使得任給x ，y ex ，集合 z ：廠( x ，z ) ) o 和 z ：f ( z ，y ) o 的基數(shù)不大于n 左有限函數(shù)f ( x ，少) 按下式定義 了r ( r ，v ) 上一個(gè)有界算子( 仍記為f ) ：臂( x ，z ) = z ( 戈，y m ( y ，z ) s ( x ，y ，z ) 這 種算子的仃一弱閉包是r ( 尺，v ) 上的一個(gè)v 代數(shù)：記為m ( r ，s ) m ( r ，s ) 中的算子 可表示為r ( r ， ，) n p ( r ，v ) 中的函數(shù)乘法運(yùn)算和伴隨運(yùn)算可表示為： 彳石( 礎(chǔ)) - - z f , ( x ，y ) 五( 弘z ) s ( 而y ，z ) 和廠( 石，y ) - 冗兩 j ，： 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 r ( x ，) 中的函數(shù)可理解為r 上的函數(shù)其支撐在對(duì)角上 文獻(xiàn) 1 2 的主要結(jié)果是：設(shè)b 為帶有c a f t a n 子代數(shù)d 的v n 代數(shù)，則存在一個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)的b o r e l 測(cè)度空間( x ，q ，) ，x 上的一個(gè)可數(shù)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系r 和一個(gè)復(fù)值2 一上環(huán) s ( x ，y ，z ) 使得b 蘭m ( r ，s ) ，d 蘭r ( x ，) ，并且映射6 _ bl z 是b 到d 的正常的忠 實(shí)的條件期望 設(shè)矽：e 寸，是x 的兩個(gè)8 0 r e l 子集e 和，之間的b o r e l 同構(gòu)，如果滿足 r ( 矽) sr ，其中i ( 矽) 是的圖像，則稱矽是部分r 一同構(gòu)，并且i ( ) 上的特征函數(shù) z r ( ) eg n 8 ( d ) f t 2 _ ，如果v g ( d ) ，則存在一個(gè)部分五一同構(gòu)矽，使得對(duì)幾乎所 有的( 工，j ，) r ，有 ( 1 ) 如果( z ，y ) 仨r ( 矽) ，則v ( x ，y ) = 0 ； ( 2 ) 如果( 工，y ) r ( 矽) ，則v ( x ，y ) 0 按這種記號(hào)有v 卿( z ) = ( 口。酊1 ) ( x ) v v ( x ) ，其中a e d ，并且任給“，v e g n b ( d ) ， 有吮，= 丸。吮 設(shè)c 是r 的一個(gè)b o r e l 子集，記丁( c ) = 廠m ( r ，j ) ：廠的支撐含于c ) 如果 m 是b 的一個(gè)子集，記m = ( 工，y ) r ：存在廠m4 吏得f ( x ，y ) 0 文獻(xiàn) 1 3 的主要結(jié)果是：如果m 是b 中的一個(gè)仃一弱閉的d 一雙模，則 m = r ( 矗) 進(jìn)一步，如果彳是b 中一個(gè)含。的v n 子代數(shù)，則映射：6 6 f 西：6 b 是b 到么上的正常的忠實(shí)的條件期望 下面的引理證明了是按仃一弱算子拓?fù)溥B續(xù)的 引理1 2 ，1 是按仃一弱算子拓?fù)溥B續(xù)的 證明顯然是從召到見( ) 上的正映射任給b 中的有界單調(diào)遞增網(wǎng) 唧 ，用 s u p a t ) 表示 q ) 的上確界，任給g a ，顯然g ( s u p a ， ) g 是g q g 的上確界從而 6 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 s u p ( ( 口) ) = s t l p l q a ，ql = s u p ( q a ，g ) = qs u p ( a ，) g = ( s u p ( a ，) ) 故任給b 、q e a，4 e q e a 兩兩正交的投影集 ) 有i - ( 巳) 二所以是b 上完全可加的映射任給 a b 上的正常態(tài)w ，wo 是b 上一個(gè)完全可加態(tài)，從而是礦一弱算子拓?fù)溥B續(xù)的所 以是按弱算子拓?fù)溥B續(xù)的 下面的命題用n 中的投影給出了b 到d ( n ) 上的正常的忠實(shí)的條件期望 p ：b d ( n ) p 的這個(gè)表示在研究t ( w ) 的盯一弱閉理想時(shí)非常有用我們將充分 利用子下面的性質(zhì) 命題1 2 2 設(shè)b 為a f 因子，d 為b 的c a r t a n 子代數(shù)，為b 中的正則套， 令q 為中包含0 和單位元1 的有限子套類任給f q ，設(shè) f = 0 = p 彳 p f = l j ，定義b 到b 的收縮投影耳：b 專b 為： 名( b ) = ( 一。聲( p 廠一，) ，則 斥：，q 按點(diǎn)點(diǎn)仃一弱算子拓?fù)溆芯埸c(diǎn)尸 i 事實(shí)上，尸是從b 到d ( n ) 上正常的忠實(shí)的條件期望b b i 以后都記為尸 i d f ) 證明記l ( b ) 為b 有界算子的全體，顯然片l ( b ) 在空間l ( b ) 上考慮點(diǎn)點(diǎn) 0 - - 弱算子拓?fù)洌瑒tl ( b ) 可以看成乘積空間兀( 召，仃一w o t ) 的子集合，其中將 三( b ) 看成 ( 6 ) ：6 b ) 由于b 的閉單位球是盯一弱緊的，由t y c h o n o f f 定理 知兀 x b ：i l x l - l l b l l ) 是緊的從而( 召) 的閉單位球是點(diǎn)點(diǎn)仃一弱算子拓?fù)渚o的由 于 0 ：f q ) 包含在( b ) 的閉單位球中，所以 耳：f q ) 按點(diǎn)點(diǎn)仃一弱算子拓?fù)?有聚點(diǎn)尸，且j i 尸忙1 不妨設(shè)網(wǎng) 耳：f q 按點(diǎn)點(diǎn)口一弱算子拓?fù)涫諗坑趐 ，否則可 用 昂) 的一個(gè)子網(wǎng)來代替它 下證尸是從b 到d ( n ) 上的正常的忠實(shí)的條件期望首先證明 n f 0 ( b ) = d ( ) 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 設(shè)d n f b ( b ) 給定p n ，任給包含p 的有限子套f ， 由于 d = 名( d ) = ( p _ ：f 一。p ( - p 2 。) ， 所以有 勿= ( 一p 2 。p ( 一。) p = 。( p ：- - p 二。矽( 一，) = 彬 i p ：一p l i s p 因?yàn)閐 ( n ) 是n 的交換子n 7 ，即d ( n ) = n 7 ，所以d d ( n ) 這樣證明了 n f 耳( b ) d ( n ) 反之，設(shè)d d ( n ) ，則任給有限子套f ，有耳( d ) = d ，所以 den f 斥( b ) 從而證明了n f 斥( b ) = d ( ) 再證尸( b ) = d ( n ) 任給d d ( n ) ，由上面證明知任給f q ，有 最( d ) = d ，從而尸( d ) = d 所以尸( b ) 2d ( n ) 設(shè)d p ( b ) ，則p ( d ) = d 任給 f q ，有 p f ( d ) = z ( p f p 二p ( p f - p 2 ) = ( p ，- p 2 。) 尸( d ) ( 一。) = c r - w o t - l i m ，( 一p 。) 0 和) ( p ，- p 2 。) = 仃一w 薩l i m 刪z ( a p 2 。) ( 7 一朗f ip ( 矽7 一，) ( 一p ，) = 仃一w 講一l i m f 。f ，( p 夕7 j 一，) d ( p 夕7 一艮f i 。) = 尸( d ) = d 所以尸( b ) n 尸片( b ) ，從而有p ( b ) = d ( n ) 從b 到d ( n ) 上的正常的忠實(shí)的條件期望b bl 。 記為e ，下證p = e 設(shè) d f l b b ，由于最( b ) 按仃一弱算子拓?fù)涫諗坑谑? 6 ) 以及e 按盯一弱算子拓?fù)溥B續(xù)，從 而e ( b ( 6 ) ) 按仃一弱算子拓?fù)涫諗坑趀 ( 尸( 6 ) ) = 尸( 6 ) 又 e ( 尸f ( 6 ) ) = e ( 莩( 一p 二弘( 旗。) = z ( p f - p 。聲( 6 ) ( 一。) = ( p 廠一，) e ( b ) - - e ( b ) 所以p = e 如果n 是b 中的原子套，顯然d ( n ) = d o ( n ) 當(dāng)n 是連續(xù)套( 無原子) 時(shí)， 8 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)角d ( n ) 就變得復(fù)雜了下面給出一些例子說明 例1 2 3 本例給出一個(gè)連續(xù)套滿足d ( ) = d 設(shè)b 是一個(gè)，型因子且含有一個(gè)仃一弱稠i 的c a r 代數(shù)么，其中彳豐周構(gòu)于下面 定義的極限代數(shù)： 用塢。記2 ”階矩陣代數(shù)任給，z ，令島：m ：。一m 2 。為加細(xì)嵌入，( 即 島( ) = ( i ：) ，其中( 1 2 ) 表示m ：。中的分塊矩陣，1 2 表示鴆中的單位陣) 彳木 同構(gòu)于極限代數(shù)i 血( m ：。，島) 令p a ：鴨專彳表示從哆。到彳的典型嵌入 石：f ，_ ， 為m ：。的典型矩陣單位系，令p ；= 芻( 療) ，并令d 為集合f p ：i ，z 的仃一弱閉線性擴(kuò) 張，則d 為b 的c a r t a n 子代數(shù)； e v ”：f ，_ ，2 為b 關(guān)于d 的一個(gè)矩陣單位系令 k 群= p 三，其中k = l ，2 ，2 ”，z = 1 ，2 ，令o = o ，群：尼= 1 ，2 2 ”，z = 1 ，2 ， ，則o 是b 中的套；令是0 的完備化，則n 是連續(xù)套事實(shí)上，如果n 有原子g = p 一且， 其中p ，因?yàn)?e i 月i ：i ，聆 - 4 ： i 戎d ，所以存在詠p n 由于e 磊= 雕一琺。，及 g = p 一見是原子，所以p = ，n = p ：令p 7 = p 0 1 + g 裂l m 一1 ，則p 7 n ，但 只 p 7 尸，這與g = p 一且是原子矛盾所以是連續(xù)套 由于每個(gè)吃s p a n n o ，所以c ( ) = d 從而有 d ( ) = 7r 男= ( ) 7i i b = d 7a b = d 例1 2 4 本例給出一個(gè)連續(xù)套滿足d ( ) d 設(shè)b ，d ， e ；：f ，胛 ， 群：尼，玎 和同例1 2 3 令 1 = p + 已三p e l ： pen ，p e l 。) ，則l 是連續(xù)套事實(shí)上，如果l 有原子g = p 二p 一， 其中p 1 ，因?yàn)?p j ! ；：f ，刀) 生成d ，所以存在吃p p 一如果g 磊q 1 - ，令 p 。= p l ，+ 8 ：n 。+ - 1 1 ：。一，+ 口；，( 一一。+ e ；芒。，：。一。) e ：，p ：= p ：一。+ g ：，p ：一。巳1 ：，貝o 9 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 最一p 2 = 已是l 似一l + 爿2 捌一l 吃+ p 2 n 川+ l 此2 葉女p 一衛(wèi)，這與g = p 一見是原子矛盾 如果吃e ：1 ：，則有咚：川肛：+ p 衛(wèi)類似上面的討論也得到矛盾所以】是連續(xù) 套 推論q 1 ：d ( 1 ) 由于1 是套 p + e ：l 。p p 磊：pe o ，p 巧且 p 三一夕z ，兩兩正交設(shè)o 吉。由 此可得e ：p 一p ? ，否則 j ij 2 肛莩口夕( 咖磋蝌陋：) 哆( 砑一p ：o ) i p = 蚓 吉 矛盾，所以巧m o 一咳p ：證畢 顯然例子1 2 3 中的套n 滿足本引理的條件。 設(shè)h 為h i l b e r t 空間，b ( i - z ) 是日上有界線形算子的全體設(shè)人r 是日上的投影 套，乃( n ) = a e b ( h ) p a p = a p ，v pe e r o d s 和p o w e r 刻畫了乃( n ) 中的盯一弱 閉理想：設(shè)j 是( ) 中萬(wàn)一弱閉的理想，則存在從n 到n 的左序連續(xù)的序同態(tài) p 一；滿足任給p ，都有；s p 使得= 口b ( 日) ：( i 一；) 印= 。，跏) 反 之，對(duì)每一個(gè)從n 到n 的左序連續(xù)的序同態(tài)p p 滿足任給p n ，都有p5p ， 上面定義的，是乃( n ) 中仃一弱閉的理想 但是超有限因子中的套代數(shù)中的盯一弱閉的結(jié)合理想未必具有b ( 胃) 中的套代 數(shù)中的盯一弱閉的結(jié)合理想的特征見下例 例1 2 6 設(shè)套，b ，d ， 露：f ，刀) ， ：k ，n ) 同例1 2 3 我們知道， d ( ) = d 令，= x 丁( ) e ( x ) - - - o 由于尸是盯一弱連續(xù)的，所以，是盯一弱閉 的，易證是丁( ) 的盯一弱閉理想顯然，是集合 p ：f ，p ；er ( n ) 的盯一弱閉 線性擴(kuò)張如果存在從n 到的左序連續(xù)的序同態(tài)p 寸；滿足任給p n ，都有 ；p 使得，= k 即) ：( ；) 印觀砌) 如果存在p 使得； p ，則 ( p 一；) 丁( ) ( 少一；) n ，= 。) 由命題1 2 5 ，存在p p “從而有 第一章超有限因子中套代數(shù)的對(duì)角、理想與中心 蹦塒( p 一；) 砌) ( p 一；) ，但是礎(chǔ)力“這與 ( p 一；) 丁( ) ( p 一；) n ，彳 9 ) 矛盾如果任給p ，都有；= 夕， 則，= 口b ( 日) ：( 1 一；) 印= 。，卻) = 丁( ) ，顯然矛盾所以不存在從n y ：4 的 左序連續(xù)的序同態(tài)p 寸p 滿足任給p n ，都有p p 使得 ，= 仁即) ：( ，；) 印= o ，跏 下面的命題給出了套代數(shù)的中心，其證明用到了b 的坐標(biāo)表示 命題1 2 7 r ( n 1 的中心z 是c 1 證明設(shè)f z ，由于d r ( n ) ，且d 是b 的極大交換的子代數(shù)，所以f d 現(xiàn)在，我們只需證明任給x ，y x ，都有廠( 工，石) = f ( y ，y ) 即可由于b 是因子，r 是 遍歷的，以及丁( ) + 丁( ) 稠于b ，從而存在矩陣單位哆r ( ) 使得g ；( 工，y ) = 1 或 p ；( 少，x ) = 1 若嘭( x ，y ) = 1 ，因?yàn)閒 e ? = p ；廠，則有 群( x , y ) = s ( x ，x ) 彤( x ，y ) = 廠( x ，x ) = e ；f ( x ，y ) = p ；( z ，y ) f ( y ，y ) = 廠( y ，y ) 所以廠= a l ，其中口是一個(gè)純量 1 2 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章n e s t 代數(shù)中的盯一弱閉l ie 理想 第一節(jié)引言弟一印5i 舌 對(duì)于某些特殊的算子代數(shù)中的l i e 理想的研究，已經(jīng)取得了豐碩的成果例 如，1 9 9 8 年，h u d s o njd 、m a r c o u xlw 與s o u r o u rar 2 研究了兩類特殊的算 子代數(shù)：n e s t 代數(shù)與t u h f 代數(shù)中的l i e 理想證明了：若是n e s t 代數(shù)的弱閉l i e 理想，則存在相對(duì)應(yīng)的結(jié)合理想j 及對(duì)角子代數(shù)圾，使得，+ b ；而在t u h f 代數(shù)中，對(duì)每一個(gè)范數(shù)閉l i e 理想，存在對(duì)應(yīng)的結(jié)合理想，及對(duì)角c 一代數(shù)仇， 使得三+ n 2 0 0 2 年，m a r c o u x 和s o u r o u r 在文獻(xiàn) 3 中詳細(xì)地描述了n e s t 代數(shù)中的所有l(wèi) i e 理想 本文給出了超有限因子召和其c a r t a n 子代數(shù)d 的套子代數(shù)r ( n ) 的l i e 理想的 結(jié)構(gòu)的詳細(xì)描述證明了r ( n ) 的一個(gè)仃一弱閉子空間l 是丁( ) 的l i e 理想當(dāng)且僅 當(dāng)存在丁( ) 的一個(gè)莎一弱閉的結(jié)合理想，和t ( n ) 的對(duì)角線部的中心的予空間e ， 使得( j ) o l ，+ e ，其中j o 為中的零一跡元的集合 第二章n e s t 代數(shù)n e s t 代數(shù)中的o - 一弱閉l i e 理想 第二節(jié)預(yù)備知識(shí) 在這一部分中，令b 為含有c a r t a n 子代數(shù)d 的超有限因子( b ，d ) 有坐標(biāo)表 示m ( r ) n 為b 中的投影套令s = 廠r ( t v ) ：尸( 廠) = o 因?yàn)閜 為從b 到 d ( ) 的正規(guī)期望，所以s 為丁( ) 的仃弱閉結(jié)合理想，并且= 丁p ) d 加) ， 稱s r 為r ( n ) 的對(duì)角不交部分 首先介紹下面的概念： 定義2 2 1 r ( n ) 的仃一弱閉結(jié)合理想k 稱為對(duì)角不交的，如果k 滿足 kn d ( n ) = o ，或等價(jià)地，k nd ( n ) = o ：r 炙k s 時(shí)顯然，對(duì)v k 有p ( 廠) = o 顯然，r ( ) 中的任何結(jié)合理想為l i e 理想在下面的命題中，我們將證明t ( n ) 中 任意的盯一弱閉l i e 理想三具有三= k + f 的形式，其中k 為對(duì)角不交的盯弱閉結(jié) 合理想，f 為d ( ) 中的仃一弱閉l i e 理想 本文用s p a n m 表示集合m 的線性擴(kuò)張，仃一w 七一c 1 ( m ) 表示m 按盯一弱算子 拓?fù)涞拈]包 后面用到下面的結(jié)果： 命題2 2 2 設(shè)b 為帶有唯一的正常的忠實(shí)的跡t r 的有限的超有限因子則集合 a b ：口s l o ，b b 的仃一弱閉線性擴(kuò)張為b 證明對(duì)任意的矩陣單位嘭，i * j ，因?yàn)閠 r ( e ；) = o ，所以e ；s ；- 4 b ，恒 等映射1 b ，所以， a b ：aes l 占，b b xc r - w k - c l - s p a n ( 一，? 1 ：f ，珂 = b 所 以t r - w k - c l - s p a n a b ：a s l , ，b b = b 1 4 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三節(jié)主要結(jié)果及證明 命題2 3 1 設(shè)為r ( n 1 中的仃一弱閉l i e 理想，令 k = 口三：尸( 口) = o = a - p ( a ) ：口上) ，f = lnd ( n ) 則上= k + ，_ i lk 為t ( n ) 的盯一弱閉對(duì)角不交的結(jié)合理想，f 為d ( n ) 的盯一弱 閉l i e 理想，顯然k = ln s 證明因?yàn)閜 為從b 到d ( n ) 的正規(guī)期望，并且上為盯一弱閉的，所以足為仃一 弱閉的顯然，k 為對(duì)角不交的 為了證明k 是r ( n ) 的結(jié)合理想，先證明k 為的d ( n ) 一雙模( 因此k 為仃一 弱閉d 一雙模，這對(duì)證明k 為結(jié)合理想是有幫助的) 下面的引理在證明k 為d ( n 1 一雙模時(shí)是有用的 引理2 3 2 設(shè)l 為t ( h ) 的l i e 理想，l ，設(shè) 9 1 ，g ：，吼 為d ( n ) 的兩兩正 交的投影族，并且g ，= 1 則對(duì)v i ，g j f - q ，力，l ，從而，任給d ( n ) 中的投影 ， p p j p 如l 證明給定f ，如果f ，則 g ，廠 ，9 = g ，力，+ g ，f q ，l 從而有 g ，局，+ 9 ，局， 并且有 g ，廠】- g ，廠一局，= 吼乃廠g 乃，= g ，力廠g 局，l 取平均得 j = l j = lj ij | g ，力，- - q ，f - q ，f q l ，由 設(shè)廠k 給定的一個(gè)有限子套，= 0 = 菇 夕f 硝= 1 ，由上面的討論得 f - p f ( f ) = z ( p , f p 二沙( p 歹一艿。) ，j 和( p f 一。) 廠( 一，) + ( 一p 二) ( 一。) 屬- t - l 為了證明k 為左d ( ) 槐 只須證明對(duì)v d d ( n ) ，v i ，j ，i j 第二章n e s t 代數(shù)n e s t 代數(shù)中的仃一弱閉l i e 理想 e l ( p ；一。) 廠( 一，) + ( 一，) 廠( 一，) k 這是因?yàn)橛纱丝傻梦会? 廠) k 再因?yàn)閗 為巧一弱閉的，從而有 矽= 仃一w e a k l i m f ( 一d 昂( 廠) ) k 因?yàn)閐 ( ) 為其中的投影的閉線性擴(kuò)張，并且d ( ) 昂( b ) ，又k 為盯弱閉 的，只須證明當(dāng)d 為d ( n ) 中投影，并且屬于某個(gè)( 既f(wàn) p 川f ) 召( 一p 厶) 時(shí)有 d ( p f p ，) 廠( p 夕一c - 。) + ( 形一p 二1 ) 廠( 一p 。) k 因?yàn)閒 ，則要么 d ( 一p 二。) = o 要么d ( 礦- p j f _ 。) = o 在任何一種情況下都有 d ( 一p 二) 廠( 礦一p 川f ) + ( 一顫。) 廠( 一p f 。) d = o 由引理2 3 2 可得到 d ( 一虻。) ( 礦一。) + ( 衫一艿，) 廠( 一。) 1 = d ( p f p ，) 廠( p j 一。) + ( 一p 二1 ) 廠( p j p 硼 一d e ( p ；一虻，) 廠( 礦一p 川f ) + ( p j p 二( p - 一p 二) d l 又因?yàn)?- 尸( d ( 一。) 廠( 一。) + ( 衫一顫，) 廠( 一p 2 。) ) = 卯( ( p 2 ，) ( 衫一顫，) + ( 一茚，) ( 一p 2 ，) ) = o 所以，d ( 一p 2 。) 廠( 礦一p ，f ，) + ( 礦一，) 廠( p f p 2 ，) k ，這證明了k 為左 d ( ) 一模由于k + 為丁( ) 中口一弱閉l i e 理想r 的對(duì)角不交部分，所以k 為左 d ( ) 一模，i n i i = | s k 是右d ( n ) 一模，從而k 是d ( ) 一模 現(xiàn)在我們證明k 為丁( ) 的結(jié)合理想由于k 是仃一弱閉的d 一雙模，所以 k 為集合 ：哆k ) 的盯一弱閉線性擴(kuò)張，因此，只須證明對(duì)所有的矩陣單位 k 和所有的矩陣單位p r ( ) 有礦k ，f e k 假設(shè)p ，f e b ，令 乙= t ( n ) f q e ，厶= 三n 島，疋= k n 最 16 青島大學(xué)碩士學(xué)位論文 顯然，厶為瓦的l i e 理想因?yàn)榛騝 瓦，所以乙為玩中的c s l 代數(shù)顯然 巧n 乙= r ( n ) n r ( n ) ne = d ( ) ne 為的對(duì)角部分設(shè)只為從e 到巧n 乙的 條件期望則任給b 色，p ( b ) = b 當(dāng)且僅當(dāng)( b ) = 6 事實(shí)上，若e ( b ) = b ， b 毛d ( n ) 因此，6 d ( ) n e = 巧n 乙，所以有只( 6 ) = b 反之，若只( b ) = b ， 因?yàn)榍蒼 乃= d ( ) n 島，所以p ( b ) = 6 因?yàn)?疋= kn 鼠= k nl = 6 厶：p ( 6 ) = o ，所以疋= 6 厶：只( 6 ) = o ，因此，巧 為c s l 代數(shù)瓦的l i e 理想厶的對(duì)角不交部分由 8 的命題3 4 知巧為乙的結(jié)合理 想因此e f k ，f e k 這樣，我們證明了若為r ( n ) 的仃一弱閉l i e 理想，則其 對(duì)角不交部分k 為丁( ) 的結(jié)合理想 任給口工，因?yàn)閐 p ( 口) l ，所以p ( a ) l ，從而尸( 口) f ，因此三= k + ， 因?yàn)閗 ，l 為丁( ) 的l i e 理想，所以f 為d ( 叼的盯一弱閉l i e 理想 在下面的證明中，s p a nm 表示集合m 的線性擴(kuò)張，t 7 - w k c 1 ( m ) 表示m 按仃 一弱算子拓?fù)涞拈]包 現(xiàn)在，我們將證明存在一個(gè)比較大的理想，它由k 加上某些原子構(gòu)成，使得 j o ls + c x ，其中j o 表示，中的零一跡算子的集合( 在后面定義) ，c x 為中心 c ( n ) 的一個(gè)子代數(shù) 設(shè)k 為t ( n ) 的仃一弱閉對(duì)角不交結(jié)合理想定義a 的子集人f 為 人r = p - p _ ea ：( p - p