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題組訓(xùn)練92 不等式的證明與柯西不等式1設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則下列不等式中不恒成立的是()A(a3)22a26a11Ba2aC|ab|2D.答案C解析(a3)2(2a26a11)a22b時(shí),恒成立,當(dāng)ab時(shí),不恒成立;由不等式0,y0,aR,bR.求證:()2.答案略證明因?yàn)閤0,y0,所以xy0.所以要證()2,即證(axby)2(xy)(a2xb2y),即證xy(a22abb2)0,即證(ab)20,而(ab)20顯然成立故()2.7(2014江蘇)已知x0,y0,證明:(1xy2)(1x2y)9xy.答案略證明因?yàn)閤0,y0,所以1xy230,1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.8(2018福建質(zhì)量檢查)若a,b,cR,且滿(mǎn)足abc2.(1)求abc的最大值;(2)證明:.答案(1)(2)略解析(1)因?yàn)閍,b,cR,所以2abc3,故abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立所以abc的最大值為.(2)證明:因?yàn)閍,b,cR,且abc2,所以根據(jù)柯西不等式,可得(abc)()()2()2()2()2()2()2()2.所以.9(2016課標(biāo)全國(guó),理)已知函數(shù)f(x)|x|x|,M為不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|ab|1ab|.答案(1)x|1x1(2)略解析(1)f(x)當(dāng)x時(shí),由f(x)2得2x1;當(dāng)x時(shí),f(x)2;當(dāng)x時(shí),由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),1a1,1b1,從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0,b0,且ab.證明:(1)ab2;(2)a2a2與b2b0,b0,得ab1.(1)由基本不等式及ab1,有ab22,即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立,則由a2a0得0a1;同理,0b1,從而ab1,這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立11(2018廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a1,xR,求證:f(x)2.答案(1)(,)(2)見(jiàn)解析解析(1)因?yàn)閒(1)3,所以|a|12a|3.當(dāng)a0時(shí),得a(12a),所以a0;當(dāng)0a時(shí),得a(12a)2,所以0a;當(dāng)a時(shí),得a(12a)3,解得a,所以a0,n0,且mn1,求證:2.答案(1)1,3(2)略解析(1)方法一:依題意,f(x)f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立,a22a30,解得1a3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,3方法二:f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2,f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立,a22a30,解得1a3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,3(2)由(1)知f(x)2,22.()22(mn)224(2m1)(2n1)8,當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立2,2.1(2017武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集;(2)若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足ab,求證:1.答案(1)x|7x(2)略解析(1)當(dāng)x時(shí),x52x31,解得x7,7x;當(dāng)x5時(shí),x52x31,解得x,x;當(dāng)x5時(shí),x5(2x3)1,解得x9,舍去綜上,7x.故原不等式的解集為x|7x(2)要證1,只需證ab21,即證2,即證.而ab2,成立,原不等式成立2已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求證:a2b3c9.答案(1)1(2)略解析(1)因?yàn)閒(x2)m|x|,f(x2)0等價(jià)于|x|m,由|x|m有解,得
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