高一數(shù)學抽象函數(shù)常見題型解法綜述.doc

.抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f（x）的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f（x）的定義域是1，4評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據此求的值域問題。例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當于已知的值域B，且，據此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f（x），同時滿足下列條件：；，求f（3），f（9）的值。解：取，得因為，所以 又取，得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4. 設函數(shù)f（x）定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意，所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉化的必要手段。四、解析式問題1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設,則2.湊配法：在已知的條件下，把拼湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復習代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設定函數(shù)關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數(shù)。例3 已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當 0時,求解:為奇函數(shù)，的定義域關于原點對稱，故先求0,為奇函數(shù)，當0時例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出五、單調性問題例6. 設f（x）定義于實數(shù)集上，當時，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾，所以，即有當時，；當時，而，所以又當時，所以對任意，恒有設，則所以，所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯(lián)。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8. 已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關系式中取，所以函數(shù)的圖象關于點（0，2002）對稱。根據原函數(shù)與其反函數(shù)的關系，知函數(shù)的圖象關于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關于點（a，b）成中心對稱圖形。八、五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設，當，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設，當，則， 即，f（x）為單調增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。分析：由題設可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對任意，有，這與題設矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對任意x，f（x）0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學歸納法證明如下：（1）x1時，又x N時，f（x）0，結論正確。（2）假設時有，則xk1時，xk1時，結論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。3、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設f（x）是定義在（0，）上的單調增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。例6、設函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說明理由。分析: 由題設條件可猜測yf（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又yf（x）的反函數(shù)是yg（x），yg（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正確。解：設f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：當是定義域中的數(shù)時，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當0x2a時，f（x）0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。分析: 由題設知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a看成進行猜想）。解：（1）f（x）的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設0x1x22a，則0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設2ax4a，則0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設2ax1x24a，則0x2x12a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。5、冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。 例8、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）