垂徑定理推論.ppt

垂徑定理,（1）兩條直徑AB、CD，CD平分AB嗎？（2）若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦，弦AB是否一定被直徑CD平分？,思考：當(dāng)非直徑的弦AB與直徑CD有什么位置關(guān)系時(shí)，弦AB有可能被直徑CD平分？,O,A,B,C,D,E,如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為E.,垂徑定理的幾何語言敘述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？,（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,CDAB,垂徑定理,如圖,小明的理由是:,連接OA,OB,則OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.,O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,夯實(shí)基礎(chǔ),判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！,我學(xué)習(xí)，我快樂,Rammingfoundation,判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？,垂徑定理三種語言,定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,老師提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的結(jié)論,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,CDAB,如圖CD是直徑,AM=BM,判斷：,()(1)垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,()(2)經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.,()(3)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.,如圖，已知在O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求O的半徑。,E,練一練：試金石,E,變形2、CE=8,DE=2,則AB=。,D,C,變形1、AB=8,CD=10,則圓心O到AB的距離是。,變形3、CD=10,AB=8,則DE=。,3,8,2,若CD為圓O的直徑，弦ABCD于點(diǎn)E,到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？,如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，求證:AC=BD,O,A,B,C,D,活動(dòng)4,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。,題設(shè),結(jié)論,（1）過圓心（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧（5）平分弦所對(duì)的劣弧,你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?,垂徑定理的逆定理,如圖,在下列五個(gè)條件中:,只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.,CD是直徑,AM=BM,CDAB,知二推三,垂徑定理及逆定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.,平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.,垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.,平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.,平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.,CD是直徑,AM=BM,CDAB,填空：如圖，在O中（1）若MNAB，MN為直徑；則（），（），（）；（2）若ACBC，MN為直徑；AB不是直徑，則（），（），（）；（3）若MNAB，ACBC，則（），（），（）；（4）若弧AM弧BM，MN為直徑，則（），（），（）。,我能行！,更上層樓,Upperformationbuilding,判斷,垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧(),弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線,垂直于弦,并且經(jīng)過圓心(),圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分(),平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧(),圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）,直徑,兩條直徑,不是直徑,（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。,（2）平分弦的直線，必定過圓心。,（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。,不是直徑,直徑,1.平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦.,2.弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分.,1、如圖，在O中，AB為O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且ACBD求證：OCD為等腰三角形。,2、如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？,變式1.已知：如圖，線段AB與O交于C、D兩點(diǎn)，且OA=OB求證：AC=BD,證明圓中與弦有關(guān)的線段相等時(shí),常借助垂徑定理,利用其平分弦的性質(zhì)來解決問題.,如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長.,M,N,3,4,5,2,如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，拱高為4m，求拱橋跨度AB的長。,10,4,6,8,16,變式2連接OC，OD，設(shè)OC=OD，求證：AC=BD,練習(xí)1:如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的長。,O,2:在圓O中，直徑CEAB于D，OD=4，弦AC=，求圓O的半徑。,A,B,C,D,E,O,挑戰(zhàn)自我填一填,1、判斷：垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）,2.已知：如圖,O中,弦ABCD,ABCD,直徑MNAB,垂足為E,交弦CD于點(diǎn)F.圖中相等的線段有:.圖中相等的劣弧有:.,D,1.P為O內(nèi)一點(diǎn),且OP=2cm,若O的半徑為3cm,則過P點(diǎn)的最短弦長等于()A.1cmB.2cmC.CmD.,2.已知:O中弦ABCD且AB=9cm,CD=12cm,O的直徑為15cm,則弦AB,CD間的距離為()A.1.5cmB.10.5cm;C.1.5cm或10.5cmD.都不對(duì);,C,2,3,解：（1）,OAB+AOC=90,已知：如圖，O中，AB為弦，C為弧AB的中點(diǎn)，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半徑OA.,x,x-1,3,課堂學(xué)習(xí)檢測一、基礎(chǔ)知識(shí)填空1圓是_對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_；圓又是_對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是_2垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理是_3平分_的直徑_于弦，并且平分_,二、填空題4圓的半徑為5cm，圓心到弦AB的距離為4cm，則AB=_cm5如圖，CD為O的直徑，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=_cm,6如圖，O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，則AB=_cm，AOB=_7如圖，AB為O的弦，AOB=90，AB=a