2007-2010年考研數(shù)學(xué)二真題及部分答案

2010 年考研數(shù)學(xué)二真題 （強(qiáng)烈推薦） 一 填空題 (8 4=32 分 ) 2009 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題 一、選擇題： 18 小題，每小題 8 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。 （ 1）函數(shù) 3()sinxxfx nx與 2( ) l n (1 )g x x b x是等價(jià)無(wú)窮小，則（） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D）無(wú)窮多個(gè) （ 2）當(dāng) 0x 時(shí)， ( ) s inf x x ax 與 2( ) l n (1 )g x x b x是等價(jià)無(wú)窮小，則（） （ A） 11,6ab （ B） 11,6ab （ C） 11,6ab （ D） 11,6ab （ 3）設(shè)函數(shù) ( , )z f x y 的全微分為 dz xdx ydy，則點(diǎn)（ 0， 0）（） （ A）不是 ( , )f x y 的連續(xù)點(diǎn) （ B）不是 ( , )f x y 的極值點(diǎn) （ C）是 ( , )f x y 的極大值點(diǎn) （ D）是 ( , )f x y 的極小值點(diǎn) （ 4）設(shè)函數(shù) ( , )f x y 連續(xù)，則 2 2 2 411( , ) ( , )yxyd x f x y d y d y f x y d x =（） （ A） 2411 ( , )yd x f x y d y （ B） 241 ( , )xxd x f x y d y （ C） 2411 ( , )yd x f x y d x （ D） 221 ( , )ydx f x y dx （ 5）若 ()fx 不變號(hào)，且曲線 ()y f x 在點(diǎn)（ 1， 1）的曲率圓為 222xy，則 ()fx在區(qū) 間（ 1， 2）內(nèi)（） （ A）有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn) （ B）無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （ C）有極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （ D）無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn) （ 6）設(shè)函數(shù) ()y f x 在區(qū)間 -1,3上的圖形為 則函數(shù)0( ) ( )xF x f t d t 為（） （ 7）設(shè)、 B 均為 2 階矩陣， ,AB分別為 A、 B 的伴隨矩陣。若 |A|=2， |B|=3，則分塊矩陣 00AB的 伴隨矩陣為（） （ A） 0320BA （ B） 0230BA （ C） 0320AB （ D） 0230AB （ 8）設(shè) A， P 均為 3 階矩陣， TP 為 P 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 TP A 1 0 00 1 00 0 2 ，若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ ，則 TQAQ 為（） （） 2 1 01 （） 1 1 01 2 000 （） 20001 （） 1 0 00 2 00 0 2 二、填空題： 9-14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。 （ 9）曲線 21022ln ( 2 )t ux e d uy t t 在（ 0， 0）處的切線 方程為 _ （ 10）已知 | 1kxe dx ，則 k=_ （ 11） 10li m s i nxn e n xd x =_ （ 12）設(shè) ()y y x 是方程 1yxy e x 確定的隱函數(shù)，則 202 |xdydx=_ （ 13）函數(shù) 2xyx 在區(qū) 間 (0,1上的最小值為 _ （ 14）設(shè) ,為 3 維列向量， T 為 的轉(zhuǎn)置，若 T 相似于 200000000 ，則 T=_ 三、解答題： 15-23 小題，共 94 分。請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位 置上。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 （ 15）（本題滿分 9 分）求極限40( 1 c o s ) l n ( 1 t a n ) l i m s i nxx x xx （ 16）（本題滿分 10 分）計(jì)算不定積分 1l n ( 1 ) ( 0 )x d x xx （ 17）（本題滿分 10 分）設(shè) ( , , )z f x y x y x y ，其中 f 具有 2 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 dz 與 2zxy （ 18）（本題滿分 10 分）設(shè)非負(fù)函數(shù) y=y(x)(x 0)，滿足微分方程 20xy y ，當(dāng)曲線 y=y(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其與直線 x=1 及 y=0 圍成平面區(qū)域的面積為 2，求 D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。 （ 19）（本題滿分 10 分）求二重積分()Dx y dxdy，其中 22 ( , ) | ( 1 ) ( 1 ) 2 , D x y x y y x （ 20）（本題滿分 12 分）設(shè) y=y(x)是區(qū)間 ( , ) 內(nèi)過(guò)點(diǎn) ( , )22 的光滑曲線，當(dāng) 0x 時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的發(fā)現(xiàn)都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng) 0 x 時(shí)，函數(shù) y(x)滿足 0y y x 。求 y(x)的表達(dá)式。 （ 21）（本題滿分 11 分）（ I） 證明拉格朗日中值定理：若函數(shù) ()fx在 a,b上連續(xù)， 在（ a,b）可導(dǎo)，則存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a 。（ II）證明：若函數(shù) ()fx在x=0 處連續(xù)，在 (0, )( 0) 內(nèi)可導(dǎo)，且0lim ( )x f x A 則 (0)f 存在，且 (0)fA 。 （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè)11 1 1 11 1 1 , 10 4 2 2A （ I）求滿足 22 1 3 1,AA 的所有向量23,； （ II）對(duì)（ I）中的任一向量23,，證明：1 2 3, 線性無(wú)關(guān)。 （ 23） （本題滿分 11 分）設(shè)二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x （ I）求二次型 f 的矩陣的所有特征值；（ II）若二次型 f 的規(guī)范形為 2212yy，求 a 的值。 2008 考研數(shù)學(xué)二真題 一、選擇題： （ 本題共 8 小題，每小題 4 分，共 32 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ） (1)設(shè) 2( ) ( 1 ) ( 2 )f x x x x ，則 ()fx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3 (2)曲線方程為 ()y f x ，函數(shù)在區(qū)間 0, a 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分0 ()a xf x dx 在幾何上表示 ( ) (A) 曲邊梯形 ABOD 的面積 (B) 梯形 ABOD 的面積 (C) 曲邊三角形 ACD 面積 (D) 三角形 ACD 面積 (3)在下列微分方程中，以1 2 3c o s 2 s i n 2xy C e C x C x （1 2 3,C C C為任意的常數(shù)）為通解的是 ( ) (A) 4 4 0y y y y . (B) 4 4 0y y y y . (C) 4 4 0y y y y . (D) 4 4 0y y y y . (4) 判定函數(shù) l n | |( ) s i n| 1 |xf x xx 間斷點(diǎn)的情況 ( ) (A) 有 1 可去間斷點(diǎn)， 1 跳躍間斷點(diǎn) (B) 有 1 跳躍間斷點(diǎn)， 1 無(wú)窮間斷點(diǎn) (C) 有 2 個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn) . (D)有 2 個(gè) 跳躍間斷點(diǎn) . (5)設(shè)函數(shù) ()fx在 ( , ) 內(nèi)單調(diào)有界， nx為數(shù)列，下列命題正確的是 ( ) (A) 若 nx收斂，則 ( )nfx收斂 (B) 若 nx單調(diào)，則 ( )nfx收斂 (C) 若 ( )nfx收斂，則 nx收斂 . (D) 若 ( )nfx單調(diào)，則 nx收斂 . (6)設(shè)函數(shù) f 連續(xù)，若 2222()( , )uvDf x yF u v d x d yxy， 其中區(qū)域uvD為圖中陰影部分，則 Fu ( ) (A) 2()vf u (B) ()vf u (C) 2()v fuu (D) ()v fuu (7)設(shè) A 為 n 階非零矩陣， E 為 n 階單位矩陣若 3 0A ，則下列結(jié)論正確的是( ) (A) EA 不可逆， EA 不可逆 . (B) EA 不可逆 ， EA 可逆 . (C) EA 可逆， EA 可逆 . (D) EA 可逆， EA 不可逆 . (8) 設(shè) 1221A ，則在實(shí)數(shù)域上，與 A 合同矩陣為 ( ) (A) 2112 . (B) 2112. (C) 2112. (D) 1221. 二、填空題 ： （ 9 14 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 ） (9)已知函數(shù) ()fx連續(xù)，且01 c o s ( ) l i m 1( 1 ) ( )xxx f xe f x ，則 (0)f (10)微分方程 2( ) 0xy x e d x x d y 的通解是 . (11)曲線 s i n ( ) ln ( )x y y x x 在點(diǎn) (0,1) 處 的切線方程為 . (12)曲線 23( 5)y x x 的拐點(diǎn)坐標(biāo)為 . (13)設(shè) xyyzx，則(1,2)zx . (14)設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 2,3, 若行列式 | 2 | 48A ，則 _. 三、解答題 (15 23 小題，共 94 分 ) (15)(本題滿分 9 分 ) 求極限 40s i n s i n ( s i n ) s i nlimxx x xx (16)(本題滿分 10 分 ) 設(shè)函數(shù) ()y y x 由參數(shù)方程20()ln (1 )tx x ty u d u 確定，其中 ()x x t 是初值問(wèn)題0200xtdx tedtx 的解，求 22dydx (17)（ 本題滿分 9 分 ）計(jì)算 2120a rcsin1xxdxx (18)(本題滿分 11 分 ) 計(jì)算m a x , 1 Dx y d x d y，其中 D x y x y( , ) | 0 2 , 0 2 (19)(本題滿分 11 分 ) 設(shè) ()fx是區(qū)間 0, ) 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且 (0) 1f 對(duì)任意的0, )t ，直線 0,x x t，曲線 ()y f x 以及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的 2倍，求函數(shù) ()fx的表達(dá)式 (20)(本題滿分 11 分 ) (I) 證明積分中值定理：若函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 , ab 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) , ab ，使得 ( ) ( ) ( )ba f x d x f b a ； (II) 若函數(shù) ()x 具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足 (2) (1) ， 32( 2 ) ( )x d x ， 證明 至少存在一點(diǎn) (1,3) ，使得 ( ) 0 (21)(本題滿分 11 分 ) 求函數(shù) 2 2 2u x y z 在約束條件 22z x y和 4x y z 下的最大值和最小值 (22) (本題滿分 12 分 ) 設(shè) n 元 線性方程組 Ax b ，其中 2222212121212aaaaaAaaaa ，12nxxxx，12nbbbb （ I）證明行列式 | | ( 1) nA n a ； （ II）當(dāng) a 為何值時(shí)，該方程組有惟一解，并求1x （ III）當(dāng) a 為何值時(shí)，該方程組有無(wú)窮多解，并求其通解 (23) (本題滿分 10 分 ) 設(shè) A 為 3 階矩陣 ，12,為 A 的分別屬于特征值 1,1 的特征向量，向量3滿足A 3 2 3， (I)證 明1 2 3, 線性無(wú)關(guān)； (II)令1 2 3( , , )P ，求 1P AP 2007 年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué) 二 試題 一、選擇題： 1 10 小題，每小題 4 分，共 40 分 . 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) . （ 1）當(dāng) 0x 時(shí)，與 x 等價(jià)的無(wú)窮小量是 （ A） 1ex （ B） 1ln1xx （ C） 11x （ D） 1 cos x （ 2）函數(shù)1( e e ) t a n()eexxxfxx在 , 上的第一類間斷點(diǎn)是 x （ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C）2 （ D）2 （ 3）如圖，連續(xù)函數(shù) ()y f x 在區(qū)間 3, 2 , 2, 3 上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半圓周，在區(qū)間 2, 0 , 0, 2 的圖形分別是直徑為 2 的下、上半圓周，設(shè)0( ) ( ) dxF x f t t ，則下列結(jié)論正確的是： （ A） 3( 3 ) ( 2 )4FF (B) 5(3) ( 2 )4FF （ C） 3(3) ( 2 )4FF （ D） 5( 3 ) ( 2 )4FF （ 4）設(shè)函數(shù) ()fx在 0x 處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： （ A）若0()limxfxx存在，則 (0) 0f （ B）若0( ) ( )limxf x f xx存在，則 (0) 0f . （ B）若0()limxfxx存在，則 (0) 0f （ D）若0( ) ( )li mxf x f xx存在，則 (0) 0f . （ 5） 曲線 1 ln 1 e xyx 的漸近線的條數(shù)為 （ A） 0. （ B） 1. （ C） 2. （ D） 3. （ 6）設(shè)函數(shù) ()fx在 (0, ) 上具有二 階導(dǎo)數(shù)，且 ( ) 0fx ，令 ()nu f n，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若12uu ，則 nu必收斂 . (B) 若12uu ，則 nu必發(fā)散 (C) 若12uu ，則 nu必收斂 . (D) 若12uu ，則 nu必發(fā)散 . （ 7）二元函數(shù) ( , )f x y 在點(diǎn) 0,0 處可微的一個(gè)充要條件是 （ A） ( , ) 0 , 0l i m ( , ) ( 0 , 0 ) 0xy f x y f . （ B）00( , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , 0 )l i m 0 , l i m 0f x f f y fxy且. （ C） 22( , ) 0 , 0( , ) ( 0 , 0 )l i m 0xyf x y fxy . （ D）00l i m ( , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 , l i m ( 0 , ) ( 0 , 0 ) 0x x y yf x f f y f 且. （ 8）設(shè)函數(shù) ( , )f x y 連續(xù)，則二次積分 1s i n2 d ( , ) dxx f x y y等于 （ A） 10 a r c s i nd ( , ) dyy f x y x （ B） 10 a r c s i nd ( , ) dyy f x y x （ C） 1 a r c s i n0 2d ( , ) dyy f x y x （ D） 1 a r c s i n0 2d ( , ) dyy f x y x （ 9）設(shè)向量組1 2 3, 線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是 線性相關(guān)，則 (A) 1 2 2 3 3 1, (B) 1 2 2 3 3 1, (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 . (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 . （ 10） 設(shè)矩陣 2 1 1 1 0 01 2 1 , 0 1 01 1 2 0 0 0AB ，則 A 與 B (A) 合同且相似 （ B）合同，但不相似 . (C) 不合同，但相似 . (D) 既不合同也不相似 二、填空題 ： 11 16 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 . （ 11） 30a r c t a n s i nl i mxxxx _. （ 12）曲線 2c o s c o s1 s i nx t tyt 上對(duì)應(yīng)于4t 的點(diǎn)處的法線斜率為 _. （ 13）設(shè)函數(shù) 123y x ，則 ()(0)ny _. （ 14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程 24 3 2 e xy y y 的通解為 y _. （ 15） 設(shè) ( , )f uv 是二元可微函數(shù)， ,yxzfxy ，則 zzxyxy _. （ 16）設(shè)矩陣0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000A，則 3A 的秩為 . 三、解答題 ： 17 24 小題 ， 共 86 分 . 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . （ 17） (本題滿分 10 分 ) 設(shè) ()fx是區(qū)間 0,4上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足 () 100c o s s i n( ) d ds i n c o sf x x ttf t t t t ，其中 1f 是 f 的反函數(shù)，求 ()fx. （ 18）（本題滿分 11 分） 設(shè) D 是位于曲線 2 ( 1 , 0 )xay x a a x 下方、 x 軸上方的無(wú)界區(qū)域 . （）求區(qū)域 D 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積 ()Va； （）當(dāng) a 為何值時(shí)， ()Va最?。坎⑶蟠俗钚≈?. （ 19）（本題滿分 10 分）求微分方程 2()y x y y 滿足初始條件 (1) (1) 1yy的特解 （ 20）（本題滿分 11 分）已知函數(shù) ()fu 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 (0) 1f ，函數(shù) ()y y x 由方程1e1yyx所確定，設(shè) ln s i nz f y x，求 2002dd,xxzz. （ 21） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)函數(shù) ( ), ( )f x g x 在 ,ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，( ) ( ) , ( ) ( )f a g a f b g b，證明：存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( )fg . （ 22） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)二元函數(shù)222, | | | | 11( , ) , 1 | | | | 2x x yf x y xyxy ，計(jì)算二重積分D( , )df x y ，其中 , | | | | 2D x y x y . （ 23） (本題滿分 11 分 ) 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 321 2 302040x x xx x a xx x a x 與方程1 2 321x x x a 有公共解，求 a 的值及所有公共解 . 1 .【 分析 】本題為等價(jià)無(wú)窮小的判定，利用定義或等價(jià)無(wú)窮小代換即可 . 【 詳解 】當(dāng) 0x 時(shí)， 1ex x， 1112xx， 2111 c o s22x x x， 故用排除法可得正確選項(xiàng)為（ B） . 事實(shí)上，0 0 01 1 1 1lnl n (1 ) l n (1 ) 11 1 2l i m l i m l i m 112x x xxxx xx x xxxx ， 或 1l n l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( ) ( ) ( )1x x x x o x x o x x o x xx . 所以應(yīng)選（ B） 【 評(píng)注 】本題為關(guān)于無(wú)窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無(wú)窮小代換可簡(jiǎn)化計(jì)算 . 2 【 分析 】因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型 . 【 詳解 】函數(shù)在 0 , 1 ,2x x x 均無(wú)意義， 而110 0 0 0( e e ) t a n ( e e ) t a nl i m ( ) l i m 0 , l i m ( ) l i m 1e e e exxx x x xxxxxf x f x ； 111( e e ) t a nl i m ( ) l i meexxxxxfxx ； 122( e e ) t a nl i m ( ) l i meexxx xxfxx . 所以 0x 為函數(shù) ()fx的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（ A） . 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 對(duì)初等函數(shù)來(lái)講，無(wú)定義點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，然后 再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型；對(duì)分段函數(shù)來(lái)講，每一分段支中的無(wú)定義點(diǎn)為間斷點(diǎn)，而分段點(diǎn)也可能為間斷點(diǎn)，然后求左右極限進(jìn)行判斷 . 段函數(shù)的定積分 . 【 詳解 】利用定積分的幾何意義，可得 221 1 1 3( 3 ) 12 2 2 8F ， 211( 2 ) 222F ， 2 0 2 20 2 011( 2 ) ( ) d ( ) d ( ) d 122F f x x f x x f x x . 所以 33( 3 ) ( 2 ) ( 2 )44F F F ，故選（ C） . 【 評(píng)注 】本題屬基本題型 . 本題利用定積分的幾 何意義比較簡(jiǎn)便 . 4 【 分析 】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 . 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡(jiǎn)便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù) ()fx去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng) . 【 詳解 】取 ( ) | |f x x ，則0( ) ( )l i m 0xf x f xx ，但 ()fx在 0x 不可導(dǎo)，故選（ D） . 事實(shí)上， 在 (A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為 0，所以分子的極限也必須為 0，則可推得(0) 0f . 在（ C）中，0()limxfxx存在，則00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) 0 , ( 0 ) l i m l i m 00xxf x f f xff xx ， 所以 (C)項(xiàng)正確，故選 (D) 【 評(píng)注 】對(duì)于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效 . 5 【 分析 】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線， 然后判斷 . 【 詳解 】 11l i m l i m l n 1 e , l i m l i m l n 1 e 0xxx x x xyyxx ， 所以 0y 是曲線的水平漸近線； 001l i m l i m l n 1 e xxxy x ，所以 0x 是曲線的垂直漸近線； 1el n 1 e l n 1 e1el i m l i m 0 l i m l i m 11xx xxx x x xy xx x x ， 1l i m l i m l n 1 e 0xxxb y x xx ，所以 yx 是曲 線的斜漸近線 . 故選（ D） . 【 評(píng)注 】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法 .注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在 . 本題要注意 ex 當(dāng),xx 時(shí)的極限不同 . 6 【 分析 】本題依據(jù)函數(shù) ()fx的性質(zhì)，判斷數(shù)列 ()nu f n. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果 . 【 詳解 】選（ D） . 取 ( ) lnf x x ，21( ) 0fx x ， 12l n 1 0 l n 2uu ，而 ( ) lnf n n發(fā)散，則可排除（ A）； 取21()fxx ，46( ) 0fx x ， 1211 4uu ，而21()fnn 收斂，則可排除（ B）； 取 2()f x x ， ( ) 2 0fx ，1214uu ，而 2()f n n 發(fā)散，則可排除（ C）； 故選（ D） . 事實(shí)上， 若12uu，則 211( 2 ) ( 1 ) ( ) 02 1 2 1uu ff f . 對(duì)任意 1,x ，因?yàn)?( ) 0fx ，所以1( ) ( ) 0f x f c ， 對(duì)任意 21, ， 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f f x x . 故選（ D） . 【 評(píng)注 】對(duì)于含有抽象函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡(jiǎn)化計(jì)算 . 7 .【 分析 】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件 . 利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系 . 【 詳解 】本題也可用排除法，（ A）是函數(shù)在 0,0 連續(xù)的定義；（ B）是函數(shù) 在 0,0 處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（ D）說(shuō)明 一階偏導(dǎo)數(shù) ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 )xyff存在，但不能推導(dǎo)出兩個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù) ( , ) , ( , )xyf x y f x y在點(diǎn) (0,0) 處連續(xù)，所以（ A）（ B）（ D）均不能保證 ( , )f x y在點(diǎn) 0,0 處可微 . 故應(yīng)選（ C） . 事實(shí)上， 由 22( , ) 0 , 0( , ) ( 0 , 0 )l i m 0xyf x y fxy 可得 22200( , 0 ) ( 0 , 0 ) ( , 0 ) ( 0 , 0 )l i m l i m 00xxf x f f x f xxx x ，即 (0, 0) 0,xf 同理有 (0, 0) 0.yf 從而 0 ( , ) ( 0 , 0 ) ( ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) )l i m xyf x y f f x f y = 2200( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0( ) ( )f x y f f x y fxy . 根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù) ( , )f x y 在點(diǎn) 0,0 處可微，故應(yīng)選 (C). 【 評(píng)注 】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，才可微 . 8, 【 分析 】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分 . 【 詳解 】由題設(shè)可知， , s i n 12 x x y ，則 0 1 , a r c s i ny y x ， 故應(yīng)選（ B） . 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 畫圖更易看出 . 9 .【 分析 】本題考查由線性無(wú)關(guān)的向量組1 2 3, 構(gòu)造的另一向量組1 2 3, 的線性相關(guān)性 . 一般令 1 2 3 1 2 3, , , , A ，若 0A ，則1 2 3, 線性相關(guān)；若 0A ，則1 2 3, 線性無(wú)關(guān) . 但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過(guò)簡(jiǎn)單的線性運(yùn)算得到正確選項(xiàng) . 【 詳解 】由 1 2 2 3 3 1 0 可知應(yīng)選（ A） . 或者因?yàn)?1 2 2 3 3 1 1 2 31 0 1, , , , 1 1 00 1 1 ，而 1 0 11 1 0 00 1 1， 所以1 2 2 3 3 1, 線性相關(guān)，故選（ A） . 【 評(píng)注 】本題也可用賦值法求解，如取 T T T1 2 31 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ，以此求出（ A），（ B），（ C），（ D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng) . 10 .【 分析 】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得 A 的特征值，并考慮到實(shí) 對(duì)稱矩陣 A 必可經(jīng)正交變換使之相似于對(duì)角陣，便可得到答案 . 【 詳解 】 由 22 1 11 2 1 ( 3 )1 1 2EA 可得1 2 33 , 0 ， 所以 A 的特征值為 3,3,0；而 B 的特征值為 1,1,0. 所以 A 與 B 不相似，但是 A 與 B 的秩均為 2，且正慣性指數(shù)都為 2，所以 A 與 B 合同，故選（ B） . 【 評(píng)注 】若矩陣 A 與 B 相似，則 A 與 B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值 . 所以通過(guò)計(jì)算 A 與 B 的特征值可立即排除（ A）（ C） . 11 【 分析 】本題為 00未定式極限的求解，利用洛必達(dá)法則即可 . 【 詳解 】 232001 c o sa r c t a n s i n 1l i m l i m3xxxxx x 2201 c o s (1 )l i m 3xxxx 202 c o s s i n ( 1 ) 1 1 1l i m 6 3 6 6xx x x xx . 【 評(píng)注 】本題利用了洛必達(dá)法則 . 本題還可用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)計(jì)算 . 因?yàn)?3 3 3 311a r c t a n ( ) , s i n ( )36x x x o x x x x o x ， 所以 30a r c t a n s i n 1l i m 6xxxx . 12 .【 分析 】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義 . 【 詳解 】因?yàn)?4d c o s 2d s i n 2 c o s s i n 22ttytx t t t ， 所以曲線在對(duì)應(yīng)于4t 的點(diǎn)的切線斜率為 222 ， 故曲線在對(duì)應(yīng)于4t 的點(diǎn)的法線斜率為 222 . 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 13 .【 分析 】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開(kāi)式 . 【 詳解 】 212,23 23yyx x ，則 ()1( 1 ) 2 !()( 2 3 )nnnnnyxx ，故 ()1( 1 ) 2 !( 0 ) 3 nnnnny . 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 14 .【 分析 】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解， 利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 Y ，然后求出非齊次微分方程的一個(gè)特解 *y ，則其通解為 *y Y y . 【 詳解 】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 2124 3 0 1 , 3 ， 則對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 312eexxy C C. 設(shè)原方 程的特解為 2*exyA ，代入原方程可得 2 2 2 24 e 8 e 3 e 2 e 2x x x xA A A A ， 所以原方程的特解為 2* 2e xy ， 故原方程的通解為 3212e e 2 ex x xy C C ，其中12,CC為任意常數(shù) . 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 15 【 分析 】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可 . 【 詳解 】利用求導(dǎo)公式可得 1221zyffx x y ， 1221zxffy x y ， 所以122z z y xx y f fx y x y . 【 評(píng)注 】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性 . 16 【 分析 】先將 3A 求出，然后利用定義判斷其秩 . 【 詳解 】 30 1 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0( ) 10 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0A A r A . 【 評(píng)注 】本題考查矩陣的運(yùn)算和秩，為基礎(chǔ)題型 . 17 【 分析 】對(duì)含變上限積分的函數(shù)方程，一般先對(duì) x 求導(dǎo)，再積分即可 . 【 詳解 】 () 100c o s s i n( ) d ds i n c o sf x x ttf t t t t 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 1 ( c o s s i n )( ( ) ) ( )s i n c o sx x xf f x f x xx ( c o s s i n ) c o s s i n( ) ( )s i n c o s s i n c o sx x x x xx f x f xx x x x ，（ 0x ） 兩邊積分得 ( ) l n | s i n c o s |f x x x C . （ 1） 將 0x 代入題中方程可得 ( 0 ) 0100c o s s i n( ) d d 0s i n c o sf ttf t t t t . 因?yàn)?()fx是區(qū)間 0,4上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則 1()fx 的值域?yàn)?0,4，單調(diào)非負(fù)，所以 (0) 0f . 代入（ 1）式可得 0C ，故 ( ) ln | s i n c o s |f x x x. 【 評(píng)注 】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一 . 18 .【 分析 】 V(a)的可通過(guò)廣義積分進(jìn)行計(jì)算，再按一般方法求 V(a) 的最值即可 【 詳解 】 （）00( ) d dlnxxaaaV a x a x x aa 22000 dl n l n l n l nx x xa a aa x a a aa a x aa a a a . （）令 224312 l n 2 l n2 ( l n 1 )( ) 0l n l na a a a aaaVa aa ，得 ea . 當(dāng) ea 時(shí)， ( ) 0Va ， ()Va單調(diào)增加； 當(dāng) 1ea時(shí)， ( ) 0Va ， ()Va單調(diào)減少 . 所以 ()Va在 ea 取得極大值，即為最大值，且最大值為 2(e) eV . 【 評(píng)注 】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問(wèn)題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等 . 19 . 【 分析 】本題為不含 y 的可降階方程，令 yp ，然后求解方程 . 【 詳解 】本題不含 y ，則設(shè) yp ， 于是 yp ，原方程變?yōu)?2()p x p p ， 則 ddxxppp，解之得 ()x p p C，將 (1) 1p 代入左式得 0C ， 于是 2xp 3223y x y x C ，結(jié)合 (1) 1y 得 0C ， 故 3223yx. 【 評(píng)注 】本題為基礎(chǔ)題型 . 20 .【 分析 】本題實(shí)質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意 ddyx需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定 . 【 詳解 】令 ln sinu y x，則00ddxxz f u u yx u x y x . 1e1yyx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 1111ee e 0 1eyyyyy x y y x ，又 (0) 1y ，可得 (0) 1y 在 11e1eyyy x 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 1 1 1 1 100 21e 1 e e e e 21ey y y y yxx yy x x yyx . 所以0 0 0d d 1 d( 0 ) c o sd d dx x xz f u u y yfxx u x y x y x 1011e( 0 ) c o s 01eyxyfx yx . 2 22 2 2002 2 2 2d 1 d 1 d 1 dc o s s i nd d d dxxz f y f y yxxx u y x u y x y x 2 20221 d 1 d( 0 ) s i n 1dd xyyfxy x y x . 【 評(píng)注 】也可利用 11e e 0yyy x y 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 1 1 1 2 1e e e e 0y y y yy y y x y x y 可得 (0)y . 21 【 分析 】 由 所 證 結(jié) 論 ( ) ( )fg 可 聯(lián) 想 到 構(gòu) 造 輔 助 函 數(shù)( ) ( ) ( )F x f x g x，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明 . 【 詳解 】令 ( ) ( ) ( )F x f x g x，則 ()Fx在 ,ab 上連續(xù)，在 ( , )ab 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且( ) ( ) 0F a F b. （ 1）若 ( ), ( )f x g x 在 ( , )ab 內(nèi)同一點(diǎn) c 取得最大值，則 ( ) ( ) ( ) 0f c g c F c ， 于是由羅爾定理可得，存在12( , ) , ( , )a c c b，使得 12( ) ( ) 0FF. 再 利用羅爾定理，可得 存在12( , ) ，使得 ( ) 0F ，即 ( ) ( )fg . （ 2）若 ( ), ( )f x g x 在 ( , )ab 內(nèi)不同點(diǎn)12,cc取得最大值，則12( ) ( )f c g c M，于是 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 0F c f c g c F c f c g c ， 于是由零值定理可得，存在3 1 2( , )c c c，使得3( ) 0Fc 于是由羅爾定理可得，存在1 3 2 3( , ) , ( , )a c c b，使得 12( ) ( ) 0FF. 再利用羅爾定理，可得 ，存在12( , ) ，使得 ( ) 0F ，即 ( ) ( )fg . 【 評(píng)注 】對(duì)命題為 ()( ) 0nf 的證明，一般利用以下兩種方法： 方法一：驗(yàn)證 為 ( 1)()nfx 的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證； 方法二：驗(yàn)證 ( 1)()nfx 在包含 x 于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件 . 22 .【 分析 】 由于積分區(qū)域 關(guān)于 ,xy軸均對(duì)稱，所以利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡(jiǎn)化所求積分 . 【 詳解 】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于 ,xy均為偶函數(shù)，