系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及穩(wěn)定性的幾種定義.doc

_系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及穩(wěn)定性的幾種定義1、 系統(tǒng)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性之前，我們首先要對系統(tǒng)的概念有初步的認(rèn)識。在數(shù)字信號處理的理論中，人們把能加工、變換數(shù)字信號的實(shí)體稱作系統(tǒng)。由于處理數(shù)字信號的系統(tǒng)是在指定的時刻或時序?qū)π盘栠M(jìn)行加工運(yùn)算，所以這種系統(tǒng)被看作是離散時間的，也可以用基于時間的語言、表格、公式、波形等四種方法來描述。從抽象的意義來說，系統(tǒng)和信號都可以看作是序列。但是，系統(tǒng)是加工信號的機(jī)構(gòu)，這點(diǎn)與信號是不同的。人們研究系統(tǒng)還要設(shè)計(jì)系統(tǒng)，利用系統(tǒng)加工信號、服務(wù)人類，系統(tǒng)還需要其它方法進(jìn)一步描述。描述系統(tǒng)的方法還有符號、單位脈沖響應(yīng)、差分方程和圖形。中國學(xué)者錢學(xué)森認(rèn)為：系統(tǒng)是由相互作用相互依賴的若干組成部分結(jié)合而成的，具有特定功能的有機(jī)整體，而且這個有機(jī)整體又是它從屬的更大系統(tǒng)的組成部分。2、 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 一個系統(tǒng)，若對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(Bound Input Bound Output- BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即，若系統(tǒng)對所有的激勵 |f()|Mf ，其零狀態(tài)響應(yīng) |yzs()|My(M為有限常數(shù)），則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。 3、 連續(xù)（時間）系統(tǒng)與離散(時間)系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)：時間和各個組成部分的變量都具有連續(xù)變化形式的系統(tǒng)。系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為連續(xù)信號。 離散系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)各個物理量隨時間變化的規(guī)律不能用連續(xù)函數(shù)描述時，而只在離散 的瞬間給出數(shù)值，這種系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為離散信號。4、 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) (causal system) 是指當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號激勵系統(tǒng)時，才會出現(xiàn)輸出（響應(yīng)）的系統(tǒng)。也就是說，因果系統(tǒng)的（響應(yīng)）不會出現(xiàn)在輸入信號激勵系統(tǒng)的以前時刻。即輸入的響應(yīng)不可能在此輸入到達(dá)的時刻之前出現(xiàn)的系統(tǒng)；也就是說系統(tǒng)的輸出僅與當(dāng)前與過去的輸入有關(guān)，而與將來的輸入無關(guān)的系統(tǒng)。判定方法對于連續(xù)時間系統(tǒng)：t=t1的輸出y(t1)只取決于tt1的輸入x(tt1)時，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。特殊的：當(dāng)該系統(tǒng)為線性移不變系統(tǒng)時，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)，在tt1的條件下，h(t)=0，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；對于離散時間系統(tǒng)：n=n1的輸出y(n1)只取決于nn1的輸入x(nn1)時，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，特殊的：當(dāng)該系統(tǒng)為線性移不變系統(tǒng)時，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(n)，在nn1的條件下，h(n)=0，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。舉例說明函數(shù)：1.y(t)=x(sin(t) 不是因果系統(tǒng)，因?yàn)閥(-)=x(0), 表明 y(t)在一段時間內(nèi)可能取決于未來的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系統(tǒng)，cos（t+1)是時變函數(shù)，相當(dāng)于一個已知的函數(shù)波形，所以x（t）的當(dāng)前值影響了y（t）的當(dāng)前值。5、 連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性與離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件（證明見教材）（1） 連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件時域：S 域：若H(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。對于因果系統(tǒng)：若H(s)的極點(diǎn)均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2） 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件時域：Z域：若H(z)的收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。 對于因果系統(tǒng)：若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。舉例例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1)若為因果系統(tǒng)，求h(k)，并判斷是否穩(wěn)定。 (2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k). 解：(1) 為因果系統(tǒng)，故收斂域?yàn)閨z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不穩(wěn)定。 (2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，故收斂域?yàn)?.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)例2：如圖離散因果系統(tǒng)框圖 ，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍解：設(shè)加法器輸出信號X(z) X(z)=F(z)+z-1aX(z) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z) H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)必須在單位園內(nèi)，故|a|0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|即，奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。特例：對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 舉例:例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解：排朱里列表 4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209-210 56A(1)=10 (-1)4A(-1)=50 41 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 3、 Nyquist 準(zhǔn)則 采用這兩個判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求系統(tǒng)函數(shù)必須是s 或z 的有理函數(shù), 這在實(shí)際應(yīng)用中不一定能滿足, 而且在許多實(shí)際場合, 系統(tǒng)特征方程的系數(shù)也不易確定, 這時, Routh- Hurwitz 準(zhǔn)則和Jury 判據(jù)便無能為力了。此時我們可以應(yīng)用一種圖解方法, 即Nyquist 準(zhǔn)則2,3來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以連續(xù)時間系統(tǒng)為例, Nyquist 準(zhǔn)則指出, 對于圖1 所示閉環(huán)系統(tǒng), 其轉(zhuǎn)移函數(shù)為 對Nyquist 準(zhǔn)則的討論： 仍以連續(xù)時間系統(tǒng)為例, 用Nyquist 準(zhǔn)則判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是基于兩個假設(shè)之上的:子系統(tǒng)G(s)、H(s)均穩(wěn)定; G(s)與1+G(s)H(s)無公共零點(diǎn)。下面就這兩點(diǎn)假設(shè)來進(jìn)行分析。 假設(shè)1 Nyquist 準(zhǔn)則中對開環(huán)頻率響應(yīng)進(jìn)行分析實(shí)際上是判斷1+G(s)H(s)的所有零點(diǎn)是否都在s平面左半平面的問題。要使此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定, T(s)的所有極點(diǎn)必須在s 平面左半平面, 這包括1+G(s)H(s)的所有零點(diǎn)和G(s)的所有極點(diǎn), 因此G(s)子系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。另外, 圖1 所示閉環(huán)系統(tǒng)可等效為圖2 所示全反饋系統(tǒng)4, 只有當(dāng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)都穩(wěn)定, 原閉環(huán)系統(tǒng)才能穩(wěn)定。這就要求H(s)和G(s)H(s)的所有極點(diǎn)都在s 平面左半平面, 那么G(s)和H(s)的極點(diǎn)都應(yīng)在s 平面左半平面, 即H(s)子系統(tǒng)也必須是穩(wěn)定的。假設(shè)2 如果G(s)與1+G(s)H(s)存在公共零點(diǎn), 且這些公共零點(diǎn)都在s 平面左半平面, 那么這些零點(diǎn)雖然在(1)式中相消, 卻并不影響T(s)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果G(s)與1+G(s)H(s)存在公共零點(diǎn), 而這些公共零點(diǎn)中存在不在s 平面左半平面的點(diǎn), 假設(shè)不在s 平面左半平面的公共零點(diǎn)為zk, zk 為一n 重極點(diǎn)( n=1 表示單極點(diǎn)情形) , zk 可以是實(shí)極點(diǎn), 也可以是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。在此情形下令: 其中M1(s)表示G(s)除公共零點(diǎn)以外的零點(diǎn)多項(xiàng)式, N1(s)表示G(s)極點(diǎn)在s 平面左半平面的多項(xiàng)式, M1(s)、N2(s)分別表示H(s)的零極點(diǎn)在s 平面左半平面的多項(xiàng)式( 因?yàn)镚(s)、H(s)、1/H(s)子系統(tǒng)都必須是穩(wěn)定的) 。則1+G(s)H(s)的零點(diǎn)為下列方程： 公共零點(diǎn)zk 是方程(2)的一個根, 那么N1(zk)N2(zk)=0, 即zk 為G(s)、H(s)的一個極點(diǎn)。若zk 不在s 平面左半平面, 則與G(s)、H(s)子系統(tǒng)穩(wěn)定相悖。 綜合以上兩種情形的分析, 假設(shè)2 可以歸結(jié)到假設(shè)1 中, 即只要求G(s)、H(s)子系統(tǒng)穩(wěn)定即可。 通過以上討論, 可知用Nyquist 準(zhǔn)則判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性時, 應(yīng)先判別G(s)、H(s)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性,再判別閉環(huán)系統(tǒng)T(s)的穩(wěn)定性。備注：由于本人只是剛接觸信號與系統(tǒng)這門課程，對系統(tǒng)理解并不是很透徹，以上內(nèi)容是本人參考百度文庫信號與系統(tǒng)的穩(wěn)定性P