（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）概率度量分析中若干問(wèn)題的研究.pdf

摘要 我們知道。通常的度量空鬩都是概率度量空間的一獨(dú)特殊情況。所以研究概 率度量空間中的非線性問(wèn)題具有非常重要的意義，本文主要研究概率度量空間 中非線性算子的理論與應(yīng)用全文共分為四章 第一章。介紹了概率度量空間中非線性算子理論發(fā)展的歷史背景、現(xiàn)狀以及 概率度量空間中的預(yù)備知識(shí)：介紹了本文所研究的主要問(wèn)題、預(yù)期取得的結(jié)果 以及研究意義 第二章。利用概率度量空間中拓?fù)涠鹊姆椒ㄑ芯苛藌 - p s 空間中緊連續(xù)算 子的不動(dòng)點(diǎn)存在性閥題，锝到了若干新的結(jié)果，同時(shí)推廣了一些重要結(jié)論， 第三章，在概率賦范線性空間中提出非線性算子的歧點(diǎn)和漸近歧點(diǎn)的新概 念，獲得了非線性算予存在歧點(diǎn)和漸近歧點(diǎn)的充分條件：討論了m e n g e r 概率賦 范線性空間中非線性算子的固有值和固有元問(wèn)題，得到了非線性算子存在固有 值和固有元的一系列充分條件同時(shí)推廣了一些重要定理 第四章，將概率賦范線性空間中有界開(kāi)集上緊連續(xù)算子的l e r a y s c h a u d e r 拓?fù)涠冗M(jìn)行了推廣，提出了概率賦范線性空間中緊連續(xù)算子的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的新 概念，得到概率賦范線性空間中緊連續(xù)算子不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的一系列薪結(jié)論，并討論 了它的一些性質(zhì)作為應(yīng)用，考察了概率賦范線性空間中非線性算予的不動(dòng)點(diǎn)的 存在性以及微分方程解的存在性問(wèn)題 關(guān)鍵詞：m 哪g e r p n 一空間；緊連續(xù)算子；拓?fù)涠?；歧點(diǎn)；漸近歧點(diǎn)；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù) n a b s t r a c t a b s t r a c t ni sw e l lk n o w nt h a ta no r d i n a r ym e t r i cs p a c ee a rb er e g a r d e da sas p e c i a l p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e c o n s e q u e n t l y , t h er e s e a r c ho nn o n l i n e a rp r o b l e m s i n p r o b a b i l i s t i cm e 岫cs p a c e si sg r e a ts i g n i f i c a n t i nt h i st h e s i s s o m ep r o b l e m sf o r n o a l i n e a ro p e r a t o r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si np r o b a b i l i s t i cm 砌cs p a c e sa r es t u d i e d i ti sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa sf o l l o w i n g i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h en o n l i n e a ro p e r a t o r t h e o r ) ，i np r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e sa l ei n t r o d u c e d , a n dt h ep r e l i m i n a r i e so f p r o b a b i l i s t i cm 砌cs p a c e sa r eg i v e i ln 圮m a i np r o b l e m ss t u d i e di nt h et h e s i s t h e e x c e e d ：t e dc o n c l u s i o n sa n dt h es t u d ya n dr e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo ft h i st h e s i sa r e i n t r o d u e e c i nc h a p t e rt w o ，b yv i r t u eo ft h et o p o l o g i c a ld e g r e ei nm e n g e rp n s p a c e st h e p r o b l e m so nt h ee x i s t e n c eo ft h ef i x c dp o i n to fn o n l i n e a ro p e r a t o r si nt h ez - p s s p a c ea r es t u d i e da n ds o m en e wf i x e dp o i n tt h e o r e m sa r eo b t a i n e d m e a n w h i l e ，s o m e i m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa r eg e n e r a l i z e d i nc h a p t e rt h r e e ，t h en e we o l l e c p t so ft h eb i f u r c a t i o np o i ma n da s y m p t o t i c b i f u r c a t i o np o i n to fc o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r si n m e n g 口p n - s p a c e sa g e i n t r o d u c e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h eb i f u r c a t i o np o i n ta n d a s y m p t o t i cb i f u r c a t i o np o i ma r eo b t a i n e d a n dt h ep r o b l e m so nt h ei n t r i n s i cv a l u e a n di n t r i n s i ce l e m e n to fc o m p a c tc o n t i n u o u so l 魁隱t o r sa s t u d i e di nm e n g e r p n s p a c e s as e r i e so ft h e o r e m so nt h ee x i s t e n c eo ft h ei n t r i n s i cv a l u ea n di n t r i n s i c e l e m e n ta r eo b t a i n e d m e a n w h i l es o m er e s u l t sa r eg e n e r a l i z e d i nc h a p t e rf o u r t h el e r a y - s c h a u d e rt o p o l o g i c a ld e g r e eo fc o m p a c tc o n t i n u o u s o p e r a t o r si np r o b a b i l i s t i en o r m e ds p a c e si sg e n e r a l i z e d t h en e wc o n c e p to f t h ef i x e d p o i n ti n d e xo fc o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r si np r o b a b i l i s t i en o n n e ds p a c e si s i n t r o d u c e d s o m en e wc o n c l u s i o n so ft h ef i x e dp o i n ti n d e xi np r o b a b i l i s t i cn o r m e d s p a c e sa r eo b t a i n e d ；m e a n w h i l es o m eo ft h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d a s a l l a p p l i c a t i o n , t h ep m b l e m so ft h ee x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i ma n dt h es o l u t i o no fa c l a s so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si np n s p a c e sa r ec o n s i d e r e d m a b s t r a c t k e yw o r d s ：m e n g e rp n - s p a c e ；c o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ； b i f u r c a t i o np o i n t ；a s y m p t o t i cb i f u r c a t i o np o i n t ；t h ef i x e dp o 硫i n d e x i v 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究 工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝 的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也 不包含為獲得直昌太堂或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的 材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中 作了明確的說(shuō)明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名( 手寫(xiě)) ：夸赦蔓簽字日期：如d 7 年1 2 月擴(kuò)日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解南昌大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論 文的規(guī)定，有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和 磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)直邑太堂可以將學(xué)位論文 的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印 或掃描等復(fù)制手段保存、匯編本學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù) 信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，并通 過(guò)網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書(shū)) 學(xué)位論文作者簽名：夸膏疋瑟導(dǎo)師簽名：事件害 簽j - i i i i i ：如叩年，五月f 日 簽字日期：加夕年廠乙月么日 第一章引論 第一章引論 本章闡述概率度量空間中非線性算子理論發(fā)展的歷史背景、現(xiàn)狀，敘述了概 率度量空間中的預(yù)備知識(shí)；同時(shí)介紹了本文所研究的主要問(wèn)題、預(yù)期取得的結(jié) 果及研究意義 1 1 概率度量空間中非線性算子理論發(fā)展的歷史背景與現(xiàn)狀 在傳統(tǒng)意義下的度量空間中，任何兩點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，并定義其為 兩點(diǎn)之間的距離，這種結(jié)構(gòu)對(duì)許多問(wèn)題是很合適的，也是很自然的但是，由于自然 界中許多量之間具有隨機(jī)性，例如，在測(cè)量中存在隨機(jī)誤差，在量子力學(xué)中，基本粒 子本身可以看成一個(gè)隨機(jī)變量，它們之間的距離就不適合用一個(gè)確定的實(shí)數(shù)來(lái) 描述因此，在許多情況下，用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量或用概率來(lái)描述集合內(nèi)兩點(diǎn)間的距離比 用一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)更符合客觀實(shí)際 基于這一思想，在二十世紀(jì)四十年代，著名的幾何與拓?fù)鋵W(xué)家k m e n g e r 首次 提出統(tǒng)計(jì)度量的概念，將兩點(diǎn)之間的距離定義為一個(gè)分布函數(shù)( 即一個(gè)非負(fù)隨機(jī) 度量的分布函數(shù)) ，于是就產(chǎn)生了一門泛函分析與概率論的交叉學(xué)科1 9 6 4 年統(tǒng)計(jì) 度量空間( s t a t i s t i c a lm e t r i cs p a c e d 更名為概率度量空間( p r o b a b i l i s t i cm e t r i c s p a c e s ，簡(jiǎn)稱為p m - 空間) 通過(guò)引入f 一范數(shù)，k m e n g e r 和a n s e r s t n c v 定義了 m e n g c rp m 空間及m e n g e rp n 空間在這方面做了奠基性工作的還有以首創(chuàng)序 貫分析聞名于世的a w a l d 、布拉格學(xué)派的重要人物a s p a c e k 和前蘇聯(lián)科學(xué)院 院士a n s e r s t n e v a w a l d 提出了繼k m c n g e r 的工作后的另一種三角不等式， 從而導(dǎo)出了對(duì)所謂w a l d 空間的研究：a s p a c e k 和a n s e r s t n e v 在概率度量空 間的理論及應(yīng)用方面也做了許多研究工作二十世紀(jì)六、七十年代，美國(guó)學(xué)者b s c h w e i z e r 、a s k l a r 、e t h o r p 和h s h e r w o o d 等對(duì)概率度量空間的基本理論及 其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)做了許多深入的研究，取得了大量的重要成果 在我國(guó)，西安交通大學(xué)著名數(shù)學(xué)家游兆永教授最先注意到這一方向1 9 7 9 年， 游教授發(fā)表了國(guó)內(nèi)第一篇關(guān)于概率度量空間方面的學(xué)術(shù)論文隨后，我國(guó)有一批 學(xué)者介入該領(lǐng)域，經(jīng)過(guò)幾十年的努力，我國(guó)學(xué)者在該領(lǐng)域取得了不少深刻而獨(dú)具 特色的成果同時(shí)，隨著隨機(jī)分析理論的進(jìn)一步發(fā)展，概率度量空間的理論和應(yīng) 第一章引論 用也有很大的發(fā)展，國(guó)際上s e h g a l 、b h a r u c h a r e i d 、b o s c a n 、i s t r a t e s c u 、h a d z i c 、 p a p 、r u d a 等對(duì)概率度量空間的理論與應(yīng)用，以及概率度量空間中映象的不動(dòng)點(diǎn) 定理及其迭代逼近等問(wèn)題均作過(guò)較為深入的研究 在壓縮映象方面，1 9 7 2 年，vm s e h g a l 和a t b h a r u c h a - r e i d 首先引入p m 空間中的壓縮映象的概念( 稱之為口一壓縮) ，并討論了此類映象不動(dòng)點(diǎn)的存在唯 一性1 9 8 4 年，v - r u d a 證明了若是h 一型t 一范數(shù)，則完備m e n g e rp m 空間 ( e ，1 上的每一b 一壓縮映象都有不動(dòng)點(diǎn)1 9 8 3 年，t kh i c k 又提出了c 一壓 縮映象的概念1 9 8 7 年，vr u d a 證明了滿足s u p ( l f ) = l 條件的m e n g e r p m 一空間 0 d l 上的每一c 一壓縮映象都有唯一不動(dòng)點(diǎn)b s c h w e i z e r 與a s k l a r 指出在一般情 況下，b 一壓縮與c 一壓縮無(wú)必然聯(lián)系1 9 9 6 年，o h a d z i c 【l 】提出了( 甲，c ) 一壓 縮的定義，將c 一壓縮進(jìn)行了推廣，并獲得了關(guān)于此壓縮的不動(dòng)點(diǎn)定理2 0 0 2 年，o h a d z i c 【2 】給出了【l 】中主要定理的推廣： 若( e ，) 是一完備的m e n g e rp m - 空間，滿足s u p a ( t ，) = l ，m 鴛， o t 1 ，如果r 是弱 n = 1 次緊的，或者。l i m 二( 1 一甲”“( s ) ) = 1 ，則至少存在一個(gè)x e m ，使得工t x 2 0 0 5 年，t z i k i c - d o s e n o v i c 【3 】在廣義c 一壓縮及廠一強(qiáng)次緊概念的基礎(chǔ)上 給出了關(guān)于三個(gè)映象的重合點(diǎn)定理 1 9 9 6 年， 4 將廣義壓縮映象原理推廣到p m - 空間中，并研究了一類微分方程 的解的存在性問(wèn)題2 0 0 3 年，o h a d z i c 等對(duì)此定理做了進(jìn)一步的推廣，并證明了 該定理對(duì)于一類更一般的r 一范數(shù)一| i l 一型t 一范數(shù)仍然成立此外，他們還引進(jìn)了 k r a s n o s e l s k i 型廣義c 一壓縮映象的概念： 映象廠：e e 稱為是k r a s n o s e l s k i 型廣義c 一壓縮，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì) ( 口，6 ) ，0 口 l l ( a ，b ) x 并證明了關(guān)于此類映象的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理： 設(shè)( e ，f ，a ) 是一完備的m e n g e rp m 空間，a 。，如果f ：e 斗e 是一個(gè) k r a s n o s e l s k i 型廣義c 一壓縮。則f 在e 中存在唯一不動(dòng)點(diǎn) 2 0 0 6 年， 5 中建立了z - p s 空間，并引入固有值和固有元的概念 設(shè)( e ，f ，) 是一個(gè)m e n g e rp m 空間，w c e ，o e w 又設(shè)r ：礦_ e 是一個(gè) 緊連續(xù)算子，g t o = 0 若五是某個(gè)實(shí)數(shù)，x o 礦滿足口且底o(hù) ) = 氏( s ) ， v s 0 ，則稱a 是r 在形中的固有值，x o 是r 的對(duì)應(yīng)于固有值五的固有元 同時(shí)， 5 還得到了非線性算子存在固有值和固有元的一系列充分條件： 設(shè)( e f ，) 是一個(gè)z - p - s 空間，w 是e 中的一個(gè)有界開(kāi)子集，a ( t ，f 1 f ， v t 6 0 ，1 】又設(shè)t ：w - - - e 是一個(gè)緊連續(xù)算子，o c w 且存在非零元素 p w ，t o = 0 著r 在o w 上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)滿足下列條件之一： ( g 1 ) 。w ( s ) o ； ( g 2 ) 缸卅( ，) 丘訓(xùn)q ，。r ( j ) ，櫛，y x e d w ，s o ； ( g 3 ) ( 2 - r ( j ) 厶，一叫( j ) ，行，v x e o w ， o ，o p 苷刪聊t 凱且面一一枷有 1 2 本文所研究的主要問(wèn)題與研究意義 各種各樣的非線性問(wèn)題已日益引起人們的廣泛重視，非線性分析已成為現(xiàn) 代數(shù)學(xué)中的重要研究方向之一。不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是迅速發(fā)展的非線性泛函分析理論 的重要組成部分，它與近代數(shù)學(xué)的許多分支有著緊密的聯(lián)系，特別是在建立各 第一章引論 類方程解的存在唯一性問(wèn)題中起著重要的作用。抽象空問(wèn)中的大量微積分方程 最終都可歸結(jié)為非線性算子方程問(wèn)題或不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題加以研究。 通過(guò)閱讀大量文獻(xiàn)，本人發(fā)現(xiàn)許多問(wèn)題的研究還可以繼續(xù)深入下去，而有些 問(wèn)題還沒(méi)有得到很好的研究，有些問(wèn)題還沒(méi)有進(jìn)行研究，有的問(wèn)題的研究還有很 大困難，本文主要研究概率度量空間中非線性算子的若干問(wèn)題： 第一，在概率賦范線性空間中定義非線性算子的歧點(diǎn)和漸近歧點(diǎn)，討論非線 性算子存在歧點(diǎn)和漸近歧點(diǎn)的充分條件；同時(shí)研究概率賦范線性空間中非線性 算子的固有值和固有元問(wèn)題，討論固有值和固有元存在的充分條件； 第二，在概率度量空間中研究非線性算子方程解的存在性和唯一性； 第三，在概率賦范線性空間中提出非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的新概念，討論 概率賦范線性空間中不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的性質(zhì)作為應(yīng)用，考察概率賦范線性空問(wèn)中微 分方程解的存在性問(wèn)題 概率度量空間中的非線性算子理論是最近二十年發(fā)展起來(lái)的概率度量空 間中的非線性算子理論的研究不僅具有十分重要的理論價(jià)值，同時(shí)也具有廣泛 的應(yīng)用前景 1 3 概率度量空間中的預(yù)備知識(shí) 在本文，我們用r 表示一切實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合，丑+ 表示一切非負(fù)實(shí)數(shù)所構(gòu)成 的集合 定義1 3 1 【6 l 映射：r 寸r + 稱為分布函數(shù)，如果它是非減的，左連續(xù)的， 且滿足下面的條件： 戇，o ) 2 仉s 。u p ，o ) 2 1 用d 表示一切分布函數(shù)的集合，h ( t ) 表示一特殊的分布函數(shù)，其定義如下： = l ，篙 定義1 3 2 6 1 概率度量空間( p r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e s ，簡(jiǎn)稱為p m 空間) 是一有序?qū)? e ，即，其中e 是一抽象集，f 是e x e 到d 的映象( 記分布函數(shù) 4 第一章引論 f ( x ，力為只，又只，( f ) 表只，在f e r 的值) ，并假定e ，x , y e 滿足下面的 條件： ( p m 一1 ) e ，( o ) = 0 ； ( p m - 2 ) e 。，= 日( f ) ，v t r ，當(dāng)且僅當(dāng)x = y ； ( p m - 3 ) ，( f ) = c ，( f ) ，v t r ； ( p m - 4 ) 若只，( r 1 ) = l ，乃：( f 2 ) = l ，則e 。：( t l + ，2 ) = 1 ，v x ，y ，z e 及 f l ，r 2 震 定義1 3 3 6 1集a c ( e ，用稱為e 的概率有界子集，如果 罌螭( ，) 2 1 為了研究p m 空間的性質(zhì)，k m e n g e r 還引入了三角范數(shù)的概念，并利用三 角范數(shù)構(gòu)造了m e n g c rp m 一空間 定義1 3 4 【6 】映象：【o ，1 】【o ，l 】一【o ，l 】稱為三角范數(shù)( 簡(jiǎn)稱為f 一范數(shù)或f 一 模) ，如果對(duì)一切的口，b ，a d 【o ，1 】，下面條件滿足： ( 一1 ) a ( a ，1 ) = a ，a ( o ，0 ) = 0 ； ( 一2 ) a ( a ，6 ) = a ( 6 ，口； ( 一3 )a ( c ，d ) a ( a ，b ) ，當(dāng)c a , d b ； ( 一4 )a ( a ( a ，6 ) ，c ) = a ( a ，a ( b ，力) ； 三角范數(shù)有很多種取法，下面的三個(gè)是常用到的而且是最簡(jiǎn)單的t 一范數(shù)： a l ：a i ( 口，6 ) = m a x a + b l ，o a 2 ：2 ( 口，6 ) = a - 抗 a 3 ：色( 口，b ) = m i n a ，6 ) 定義1 3 5 【6 lm e n g e r 概率度量空間( 簡(jiǎn)稱為m p m 空間) 是一三元組 ( e ，f ，a ) ，其中( e ，f ) 是一個(gè)p m 空間，是卜范數(shù)，而且滿足下面的m e n g e r 廣 義三角不等式： 第一章引論 ( p m - 5 ) e ，( + ，2 ) 4 ( e ，y ( ，1 ) ，：( r 2 ) ) ，v x ，y ，：e ，v t i ，f 2 r + b s c h w e i z e r 與a s l d a r 在m p m 空間中目i i a t 拓?fù)鋞 ，并研究了其中的拓 撲性質(zhì) 設(shè)( e ，f ，) 是具有連續(xù)f 一范數(shù)的m p m 空間，則( e ，f ，) 是由鄰域系 q ( 晶五) ：y e ，e 0 ，g 0 ( 1 3 1 ) 所導(dǎo)出的拓?fù)鋞 的h a u s d o m 空間，其中q ( 占，五) = x e ：e ，( 占) l a 按照這一拓?fù)洌梢栽? e ，4 ) 中引入以下概念： 定義1 3 6 設(shè)( e ，f ，) 是具連續(xù)卜范數(shù)的m - p m 空間， 是e 中的 任一點(diǎn)列，稱純 t - 收斂于葛e ( 記為矗與t ) ，如果對(duì)v s 0 ，v 旯 o ，存 在正整數(shù)= ( e ，旯) ，當(dāng)n n 時(shí)，都有& 。p ) 1 一a 定義1 3 7 7 1 設(shè)( e ，f ，) 是具連續(xù)，一范數(shù)的m p m 空間，億 稱為是e 中的t c a u c h y 列，如果對(duì)v s o ，v 旯 0 ，存在正整數(shù)n = ( s ，五) ，當(dāng)朋，療n 時(shí)，都有 ( 卜a - 定義1 3 8 i ”m p m 空間( e ，) 稱為是t 一完備的，如果e 中的每一個(gè) t - c a u c h y 列都t 一收斂于e 中的某一點(diǎn) 定義l - 3 9 u im e n g e r 概率賦范線性空間( m e n g e rp r o b a b i l i s t i cn o r m e d s p a c e s ，簡(jiǎn)稱為m p n 空間) 是一三元組( e ，) ，其中e 是一實(shí)線性空間，f 是e 到d 的映象( 記分布函數(shù)f ( x ) 為z ，又f a t ) 表示z 在t r 的值) ，并假定 z ，x e 滿足下面的條件： ( p n 1 ) 正( 0 ) = 0 ； ( p n - 2 ) 正( f ) = 日( r ) ，v t e r ，當(dāng)且僅當(dāng)工= 曰( 其中口表示e 中的零元) ； 6 第一章引論 ( p n 一3 ) 對(duì)任一實(shí)數(shù)口。，f o , o ) = 只( f ) ； ( p n 一4 ) 對(duì)比y e ，t i , t 2 r ，若正( ) = 1 ，( f 2 ) = 1 ，則： 正+ ，“+ f 2 ) = 1 ( p n 一5 ) 對(duì)v x ，y e 及v f l ，f 2 r + ，有下式成立： 六+ ，( ，1 + r 2 ) ( ) ，f a t 1 9 8 9 年，文獻(xiàn)【8 】建立了概率賦范線性空間中緊連續(xù)算子的l c m y - s c h a u d c r 拓?fù)涠龋@種拓?fù)涠壤碚摻柚诟怕识攘烤陀衅渥陨淼奶厣?，這是一般的局部凸 空間上的拓?fù)涠壤碚撍荒苋〈桶?定義1 3 1 0 i s 設(shè)( e ，) 是m p n 空間，w 是e 的非空子集，算子 a ：w _ e 稱為是緊的，如果“( 阡，) 是e 中的緊集 引理1 3 1 【l 】 設(shè)( e ，f ，) 是一個(gè)m p n 空間，其中，一范數(shù)a 滿足 a ( t ，f ) t ，v t 【0 ，l 】設(shè)q c e ，t ：q e 是緊連續(xù)算子，則對(duì)零點(diǎn)占的任一鄰 u ( e ，a ) ，占 0 ，五 0 ，存在有限維的緊連續(xù)算子- ，使得 2 x 一正4 x u ( 占，a ) ，x o 引理1 3 2f l 】設(shè)( e ，f ，) 是m p h l 空間，其中t 一范數(shù)滿足 a ( t ，t ) t ，v t 【0 ，1 】令q 為e 中的非空開(kāi)子集，t ：q j e 為緊連續(xù)算子，則 s = 一t 為閉算子 定義1 3 1 0 s l 設(shè)( e ，f ，) 是m p n 空間，t 一范數(shù)滿足 a ( t ，t ) - t ，v t 【o ，l 】設(shè)礦是e 的開(kāi)集，t ：w e 是緊連續(xù)算子，令s = i - t ，設(shè) p 正e s ( o w ) ，則s 是閉算子，故s ( o w ) 是e 中的閉集從而存在0 的任一鄰域 u ( e ，a ) ，占 0 ，五 0 使得 ( p + u ( 占，a ) ) n s ( a 礦) = 彩 7 第一章引論 故由引理1 3 1 知，存在e 的有限維子空間e ”。p f “以及緊連續(xù)算子 瓦：礦一e ，使得厶一恥( s ) 1 - a ，v x e w 令= w n e ”，最= 一，易得 p 仨最( a 嘸) 又因?yàn)? ，一( j 一瓦) ) ( 嘸) 為緊集，故有限維空間e ( ”中的拓?fù)涠?d e g 。( 最，p ) 有意義定義s 的l e r a y - s c h a u d c r 拓?fù)涠葹?d e g ( s ，w ，p ) = d e g 。( 最，睨，力 ( 1 3 2 ) 定理1 3 1 【s 】( 1 3 2 ) 式所定義的l e r a y - s c h a u d e r 度具有如下性質(zhì)： ( 1 ) ( 正規(guī)性) d e g ( 1 ，w ，p ) = 1 ，坳w ( 2 ) ( 可解性) d e g ( s ，w ，p ) o ，則s ( 力= p 在形中有解 ( 3 ) ( 同倫不變性) 若h ( t ，x ) ：【o ，1 x w e 是緊連續(xù)算子，且 p 仨( ，一h ( t ，) x a 礦) ，v t 【o ，1 】，則d e g ( 1 一日( ，) ，礦，p ) 與t 無(wú)關(guān) ( 4 ) ( 可加性) 設(shè)，是肜的開(kāi)子集，k p 諾s ( 、( u ) ) ，則 d e g ( s ，w ，力= d e g ( s ，彤，p ) + d e g ( s ，p ) ( 5 ) ( 切除性) 設(shè)是形的開(kāi)子集，且p 舞s ( 礦、) ，則 d e g ( 8 ，w ，p ) = d e g ( s ，p ) 概率度量空間簡(jiǎn)稱為p m 空間m e n g e rp m - 空間和m e n g e rp n - 空間分別簡(jiǎn) 稱為m - p m 空間和m p n 空間它們都是p m - 空間的子空間 在本文中，表示連續(xù)的t 一范數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn) 7 知具有連續(xù)r 一范數(shù)的每一個(gè) m - p m 空間都有t 一完備化空間，而且在等距同構(gòu)意義下是唯一的因此，不失一般 性，對(duì)具有連續(xù)t 一范數(shù)的m p m 空間都可以認(rèn)為它是t 一完備的 8 第二章z - p - s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 第二章z p s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 本章利用概率度量空間中拓?fù)涠鹊姆椒ㄑ芯苛藌 - p s 空間中非線性算子的 不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，得到了若干新的不動(dòng)點(diǎn)存在性定理同時(shí)，推廣了一些重要結(jié)論 2 1 預(yù)備知識(shí) z - p - s 空間是由朱傳喜教授于2 0 0 6 年在【5 】中提出的本節(jié)給出這一章所需 要的一些基本概念和引理 定義2 1 1 【5 1 如果m p n 空間( e ，f ，) 滿足下列條件：e 是實(shí)數(shù)集r 上的 代數(shù)，且有 1 ) e 對(duì)乘法封閉，即垤，y e ，有x y e ； 2 ) v a e r ，v x , ye ，( a x ) y = x ( 緲) = 口( x 力； 3 ) e 中沒(méi)有冪零元，即v x e ， x ”= 0 營(yíng)x = 口 則稱( e ，f ，) 為z - p - s 空間 在z - p s 空間中，記x y 為砂，記凹= ，于是 ，十 4 ) v a ，a r ，v x ，y e e ，有( 甜) ( 彳歲) = ( 口五) ( 砂) 因此，對(duì)v a e r ，垤e ，均有a ”r e 以及。，d 定義2 1 2 【9 】設(shè)e 為線性空間，稱集合m c e 為平衡集，如果對(duì)于任何 a e k ( 其中足為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域) ，f a l ，埔p ( ，) ，垤o w ，而礦，t o , n - 0 ( 2 2 1 ) 則r 在w 中有不動(dòng)點(diǎn) 證明r h ( 2 2 1 ) 式可知，r 在o w 上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即 t x x v o w 事實(shí)上，假設(shè)j 五o w ，使得甄= ，代入( 2 2 1 ) 式得 缸悔w ( f ) = 毛啕w ( ，) 。蠅k _ ( f ) ， 矛盾 令吃( x ) = x + 而一j ( 鞏+ ) ，v s 【o ，1 】，v x w 下面證明：v s e 【o ，l 】，口疊吃( a ) 事實(shí)上，假設(shè)曰噍( a 礦) ，即j 【o ，1 】，j 而c o w ，使得 o = x 2 + x o 一( + 而) ， 貝l | s o o ( 否則由= o 可得p = 如+ x o ，即- x o - = j r 2 o w ，這與- x o 礦矛盾) ，又 1 ( 否則由s o = l 可得口= 而+ x o 一( 啦+ 確) ，從而可得鞏= 而，這與 t x x ，垤酣矛盾) ，s o ( o ，1 ) f l j o = x 2 + x o s o ( t x 2 + 而) 可得： t x 2 = ( 屯+ x o ) 一x o ， ( 2 2 2 ) 把( 2 2 2 ) 式代入( 2 2 1 ) 式可得： 篁毛嗝h + 。阿( ，) 而協(xié)w ( t ) ， 1 0 第二章z - p s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 即 屯+ w ( 吖) 瓦+ 。w ( t ) ( 2 2 3 ) r h t w 為開(kāi)集，x 2 a ，o e w ，從而屯口又( e ，f ，a ) 是一個(gè)z - p s 空間， 于是屯”口，同時(shí)屯+ x o 口( 因?yàn)閤 2 a 矽，而一形) ，且( 而+ x o ) x 2 ”口( 否 則由( x 2 + x o ) x 2 ”= 占，結(jié)合( p n - 2 ) 有七嗝塒( ，) = 瓦+ 而阿( ，) = 日( ，) ，這與 ( 2 2 - 3 ) 矛盾) ，又由于 鈾w d ，則由分布函數(shù)的非減性可知 f ，即 l ， 這與而e ( o , 1 ) 矛盾，i 故v s e 0 ，1 】，口疊吃( a 礦) 由文 8 中拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院驼?guī)性知： d e g ( 1 一t ，口) = d e g ( i ，形，強(qiáng)) = l ， 再由 8 中拓?fù)涠鹊目山庑灾? ，一r ) x - - e 在t v 中有解，即3 x 形，使得 毛一t x = 0 ，于是= t x ，故r 在形中有不動(dòng)點(diǎn) 定理2 2 2 設(shè)矽是z - p - s 空間( e ，f ，) 中的一個(gè)非空平衡開(kāi)子 集，( f ，f ) ，v t 0 ，1 】又設(shè)r ：形_ e 為緊連續(xù)算子，同時(shí)滿足下列條件： 五。+ 矽( f ) 。一，礦( ，) ，v x o w ，x o 礦，t o , n o ( 2 2 4 ) 則r 在礦中有不動(dòng)點(diǎn) 證明由( 2 2 4 ) 式可知，丁在a 上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。即 a x v x o w 事實(shí)上，假設(shè)j 而a 礦，使得觀= 五，代入( 2 2 4 ) 式得 q 協(xié)w ( f ) 碣一。w ( ，) = 五，1 w ( r ) = 石( f ) ， 由( p n 一2 ) 知 氐+ 。w ( f ) 石( r ) = 1 ， 這與s u p f ( t 1 = 1 矛盾 第二章z p s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 令以( x ) = x + 一j ( a + 而) ，v s e 0 ，1 】，v x 礦 下面證明：v s “o ，l 】，口仨吃( a 礦) 事實(shí)上，假設(shè)口吃( a ) ，b p 3 s o 【o ，1 】，j 而o w ，使得 o = x 2 + 而一( t x 2 + 而) ， 貝l j s o 0 ( 否則由= 0 可得目= 而+ x o ，即- x o = 屯o w ，這與一x o w 矛盾) ，又 s o l ( 否則由s o = l 可得口= 而+ 而一( 啦+ 而) ，從而可得t x 2 = 而，這與 a x ，v x a 礦矛盾) ，放知( o 1 ) 由o = x 2 + x o - s o ( 鞏+ 而) 可得： 鞏2 去( 屯+ ) 晰 ( 2 2 5 ) 把( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 4 ) 式可得： 水+ 而h + k - ( ) 各而+ 。h ，弦( 7 ) ， 即 允喝k - ( r ) 億+ ，塒( 嗇f ) ( 2 2 6 ) 由于礦為開(kāi)集，屯c o w ，0 w ，3 a 而x 2 口又( e ，f ，a ) 是- - p z - p - s 空間， 于是屯“口，同時(shí)屯+ x o p ( 因?yàn)槎鴄 w 而- x oe w ) ，且( + ) 而”口( 否則 由( 屯+ 而) 恐”= 0 ，結(jié)合( p n 2 ) 有屯蝎( 蹦) = 而協(xié)w ( f ) = 日o ) ，i 塞- q ( 2 2 6 ) 式矛盾) ，又由于毛喝we d ，則由分布函數(shù)的非減性可知 渺擊， ( 2 2 7 ) 又因?yàn)閠 o ，s o ( o ，i ) ，由( 2 2 7 ) 式可得s o - t ，v t 0 ，1 1 又設(shè)r ：諺一e 為緊連續(xù)算子，同時(shí)滿足下列條件： 靠p ( r ) 缸i ，( r ) ，v x e o w ，x o 礦，t o ，療o(wú) ( 2 2 8 ) 則r 在形中有不動(dòng)點(diǎn) 證明由( 2 2 8 ) 式可知，丁在a 形上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即 t x 工慨8 w 事實(shí)上，假若3 x t o w ，使得啦= ，代入( 2 2 8 ) 式得 碼嶼w ( f ) = 瓦喝w ( f ) 瓦啕w ( f ) ， 矛盾 令以( x ) = x + 而一s ( 戤+ ) ，v s e o ，1 】，魄形 下面證明：v s 【o ，l 】，0 薯吃( a ) 事實(shí)上，假設(shè)口吃( a ) ，即j 島【o ，1 】，3 x 2 a 形，使得 口= x 2 + x o - s o ( t x 2 + 而) ， 則譬0 ( 否則由s o = o 可得口= x 2 + x o ，u p - x o = x 2 a 礦，這與- x o 緲矛盾) ，又 s o 1 ( 否則由s o = l 可得0 = 屯+ 而一( + 而) ，從而可得鞏= 屯，這與 t x c x ，壇a 形矛盾) ，故e ( o , 1 ) 由0 = x 2 + ( + ) 可得： = 專( 而+ 而) ( 2 2 9 ) 把( 2 2 9 ) 式代入( 2 2 8 ) 式可得： 亂而弦( ) 七刊f ( f ) ， 第二章z p s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 即 七+ 。6 f ( & f ) 執(zhí)i i f ( f ) ( 2 2 1 0 ) 由于礦為開(kāi)集，而a 形，口w ，從而屯口y - c e ，f ，) 是一個(gè)z - p - s 空間， 于是p ，同時(shí)毪+ x o 口( 因?yàn)閤 2 a 礦，而嗡w ) ，且l l x 2 + x o l l 恐”口( 否 則由l k + 0 f = 口，結(jié)合( p n 一2 ) 有托+ ， ( 即) = 七+ 而( f ) = 日( ，) ，這與 ( 2 2 l o ) 矛盾) ，x 由- t - 名+ 卻w d ，則由分布函數(shù)的非減性可知 s o t t ， 即 1 ，這與e ( o ，1 ) 矛盾，i 墳v s e 【o ，l 】，口芒吃( a 形) 由文 8 中拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院驼?guī)性知： d e g ( 1 - t ，w ，矽) = d e g ( 1 ，w ，- x o ) = l ， 再由 8 中拓?fù)涠鹊目山庑灾? 1 - t ) x = 8 在形中有解，即了e w ，使得 蕾一i x = 0 ，于是薯= t x ，故丁在肜中有不動(dòng)點(diǎn) 定理2 2 4 設(shè)形是z - p - s 空間( e ，f ，a ) 中的一個(gè)非空平衡開(kāi)子 集，a ( t ，r ) f ，v t o ，l 】又設(shè)r ：礦一e 為緊連續(xù)算予，同時(shí)滿足下列條件： 蠡+ i ，( f ) 靠一4 ，( f ) ，垤e a ，而矽，t o ，玎o ( 2 2 1 1 ) 則r 在礦中有不動(dòng)點(diǎn) 證明由( 2 2 1 1 ) 式可知，r 在( g w 上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即 t x 石v 譬o w 事實(shí)上，假設(shè)j a 形，使得鞏- - - - x i ，代入( 2 2 1 1 ) 式得 矗+ 。w ( f ) 缸，h _ ( f ) 2 名，h _ ( f ) = 石( f ) ， 由( p n 一2 ) 知 五啦蠅h _ ( ，) 石( r ) = 1 ， 1 4 第二章z - p s 空間中若干新的不動(dòng)點(diǎn) 這與s u p f ( t 1 = l 矛盾 s e r 令瞳( 工) = 工+ 而一s ( a + ) ，v s 0 ，l 】，x 礦 下面證明：v s e 0 ，l 】，曰正吃p 礦) 事實(shí)上，假設(shè)口吃( a 形) ，r p 3 s o 【o ，l 】，| 而o w ，使得 o = x 2 + 而- s o ( t x 2 + ) ， 貝, l s o o ( 否則由s o = o 可得o = x 2 + x o ，即- x o = 屯c o w ，這與一而w 矛盾) ，又 s o 1 ( 否則由s o = l 可得p = 而+ 一( + 而) ，從而可得t x 2 = x z ，這與 戥x ，垤a 形矛盾) ，& s o ( o ，1 ) 由口= 屯+ 而- s o ( t x 2 + 而) 可得： 啦2 丟( 而+ 而) 啼 把( 2 2 1 2 ) 式代入( 2 2 1 1 ) 式可得： 低毛+ h + 。p ( ) 儡。+ ，h l p ( ) ， 即 最+ 。 ( r ) 七+ ，陌( 擊f ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 由于為開(kāi)集。而c o w ，o c w ，y d 面x 2 p 又( e ，f ，a ) 是一個(gè)舯s 空間， 于是而