（計算數(shù)學專業(yè)論文）三維模型數(shù)字水印技術(shù)研究.pdf

獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文是我本人在導師指導下進行的研究工作及取得 的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含 其他入已經(jīng)發(fā)表和撰寫過的研究成果，也不包含為獲得國防科學技術(shù)大學或其它 教育機構(gòu)的學位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任 何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 學位論文題目：三絲搓型鏊主盔盟蕉盛盈窒 學位論文作者簽名： 盞至i 塹日期：z 彬眸憶月，日 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解國防科學技術(shù)大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定。本人授權(quán) 國防科學技術(shù)大學可以保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和電子 文檔，允許論文被查閱和借閱；可以將學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù) 庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論文。 ( 保密學位論文在解密后適用本授權(quán)書。) 學位論文題目：三維搓型熬主盔望撞盛盟壅 一 學位論文作者簽名：盤墅漁日期：壓叼中年7 z 月夕日 作者指導教師簽名：f ! i l ! 丕日期：2 穢。【年，z 月t ，日 x 7 墾墮型堂墊查盔蘭竺莖竺堡蘭竺笙塞 摘要 數(shù)字化產(chǎn)品的流行為傳播信息、存儲信息提供了極大的方便，同時也為人們 帶來了數(shù)字化產(chǎn)品的版權(quán)保護問題。數(shù)字水印技術(shù)為數(shù)字化產(chǎn)品的版權(quán)保護提供 了一種有效方法。數(shù)字水印技術(shù)得到人們越來越多的關(guān)注和研究。當前數(shù)字水印 技術(shù)的研究主要集中在圖像數(shù)字水印技術(shù)、音頻數(shù)字水印技術(shù)的研究上，對視頻 水印和文本水印技術(shù)也有一定的研究，但是對二維模型數(shù)據(jù)的數(shù)字水印的研究還 很少。o h b u c h i 在1 9 9 7 年首先提出i 維模型的數(shù)字水印技術(shù)后，三維模型的數(shù) 字水印技術(shù)雖然得到了一定的研究，但是【i j 于三維網(wǎng)格模型數(shù)據(jù)的特殊性，三維 模型的數(shù)字水印技術(shù)還不成熟，尤其是二維模型數(shù)據(jù)缺乏像圖像等數(shù)據(jù)的自然頻 域的分解算法，因此三維模型的頻域數(shù)字算法遇到了很大的困難。 本文的主要工作是在分析基于三維模型平面參數(shù)化方法的水印系統(tǒng)模型的 基本設(shè)計思想的基礎(chǔ)上提出了一種基于i 維模型頂點重排的數(shù)字化水印系統(tǒng)模 型。這兩種三維模型的水印系統(tǒng)模型對于三維模型的幾何屬性和外觀屬性都可以 嵌入水印信息。 針對三維模型數(shù)據(jù)缺乏自然的頻域分解算法，鮑虎軍等人建立的三維模型平 面參數(shù)化方法是將三維模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成二維數(shù)據(jù)進行處理，但是算法很復雜。為 此根據(jù)其思想我們建立的三維模型頂點全局重排的數(shù)字化水印系統(tǒng)模型也是將 三維模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成二維數(shù)據(jù)進行處理。在這兩種數(shù)字水印體統(tǒng)模型下，圖像數(shù) 字水印技術(shù)可以應用到三維模型的數(shù)字水印算法中。 根據(jù)三維模型頂點全局重排的數(shù)字化水印系統(tǒng)模型在三維模型的幾何信息 上嵌入水印信息，分析比較d c t 和d w t 等數(shù)字水印算法在三維模型中的應用， 改進三維模型平面參數(shù)化方法的水印系統(tǒng)模型在三維模型幾何信息上嵌入水印 的方法，對比分析兩種三維模型水印系統(tǒng)。 基于三維模型外觀屬性的水印算法研究是比較少的，在本文中我們將這兩種 模型推廣到三維模型的外觀屬性上，分別實現(xiàn)了在模型的顏色，法向量和紋理坐 標中水印信息的嵌入，試驗證明基于三維模型外觀屬性水印算法和基于三維模型 幾何屬性的水印算法一樣都有較好的不可見性和魯棒性。 關(guān)鍵詞：數(shù)字水印，離散余弦變換，離散小波變換，魯棒性 第3 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 a b s t r a c t d i g i t a lp r o d u c t i o n sf a c i l i t a t et h ed i s t r i b u t i o na n ds t o r a g eo fi n f o r m a t i o n b u tt h e c o p y r i g h to fd i g i t a lp r o d u c t i o n sm u s tb ep r o t e c t e d d i g i t a lw a t e r m a r k i n gi saw a yf o r c o p y r i g h tp r o t e c t i n g m o r ea n dm o r er e s e a r c ha b o u tw a t e r m a r k i n ga r ed o i n g c u r r e n t w a t e r m a r k i n gt e c h n o l o g yf o u r so ni m a g e ，a u d i o ，v i d e oa n dt e x t t h ep r o b l e mo f w a t e r m a r k i n g3 dm o d d sr e c e i v e dl e s sa t t e n t i o n f i r s tw a t e r m a r k i n g3 dm o d e li s b r o u g h tb yo b b u e h ii n 】9 9 9 7 ，a n ds o m er e s e a r c hh a db e e nd o n e b u tw a t e r m a r k n g 3 dm o d e lt e c h n o l o g yi sn o tm a t u r eb e c a u s e3 dm o d e ld a t a i sd i s t i n g u i s h i n g l y , e s p e c i a l l y3 dm o d e lc a l ln o tb ed e c o m p o s e dl i k ei m a g e s s ot h er e s e a r c ho f w a t e r m a r k i n g3 dm o d e l si sf a c e dw i t hd i 舔c u l t v e r t e xg l o b a la r r a n g e m e n tw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r , i ti s b a s e do np l a n a rp a r a m e t e r i z a t i o nw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m g e o m e t r ya t t r i b u t ea n d a p p e a r a n c ea t t r i b u t eo f3 dm o d d sc a r lb ee m b e d d e dw a t e r m a r k i n gi nt h et w o a l g o r i t h m s t oo v e r c o m et h ed i 佑c u l to f3 dm o d e l sd e c o m p o s i n gp l a n a rp a r a m e t e r i z a f i o n a l g o r i t h mi sp r o p o s e db yb a oh u n j u n ，3 dd a t aw i l lb et r a n s f o r m e dt o2 dd a t ai nt h i s a l g o r i t h m b u ti ti sd i 銜c u l tt or e a l i z e , s oy e a - r e xg l o b a la r r a n g e m e n tw a t e r m a r k i n g a l g o r i t h mi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r , 3 dd a t ae a r lb et r a n s f o r m e dt o2 dd a t ai nt i f f s a l g o r i t h ma l s o a l lt h ew a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mf o ri m a g e sc a nb eu s e di nt h et w o m o d e l s w a t e r m a r k i n gi se m b e d d e di nt h eg e o m e t r ya t t r i b u t eo f3 dm o d e l si nt h ev e r t e x g l o b a la r r a n g e m e n tw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m ，d c ta n dd w tw i l lb eu s e di n w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m p l a n a rp a r a m e t e r i z a t i o ni si m p r o v e da n dt w ow a t e r m a r k i n g a l g o r i t h m sa r ec o m p a r e di nt h i sp a p e r w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mb a s e do na p p e a r a n c ea t t r i b u t eo f3 dm o d e l si sf e w t h e t w ow a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m sc a nb eu s e di na p p e a r a n c ea t t r i b u t eo f3 dm o d e l s ， w a t e r m a r k i n gi se m b e d d e di nc o l o r , n o r m a lv e c t o r , t e x t u r ev e c t o r e x p e r i m e n t a t i o n r e s u l ts h o wt h a tt h e s ea l g o r i t h m sa r et r a n s p a r e n ta n dr o b u s t k e y w o r d s ：d i g i t a lw a t e r m a r k i n g ，d c t , d w t , r o b u s t 第4 頁 里墮型堂堇查叁竺竺窒塵墮堂垡笙壅 1 1 引言 第一章緒論 隨著數(shù)字媒體技術(shù)和國際互聯(lián)網(wǎng)的1 毛速發(fā)展，數(shù)字化產(chǎn)品的傳播越來越方便 快捷，數(shù)字化產(chǎn)品越來越豐富，如電子出版社，網(wǎng)絡(luò)視頻，電子圖書館電子商務(wù) 等為人們提供了內(nèi)容豐富使用方便的服務(wù)。同時也帶來了數(shù)字化產(chǎn)品所有者版權(quán) 保護的問題。最早人們使用密碼學的方法來實現(xiàn)產(chǎn)品的保護，遺憾的是通過加密 并不能幫助銷售者監(jiān)視合法用戶如何處理解密以后的文件，因此，迫切需要一種 代替技術(shù)或?qū)γ艽a技術(shù)進行補充，使得它能夠在內(nèi)容解密以后繼續(xù)保護內(nèi)容。數(shù) 字水印有能力滿足這些要求，因為它把信息放在內(nèi)容里面，而在一般的使用中它 不會被消除，即使經(jīng)過解密，加密，壓縮，變換等處理，設(shè)計巧妙的水印也仍然 存在。 數(shù)字水印技術(shù)( d i 百t a lw a t e r m a r k i n g ) 作為保護多媒體數(shù)據(jù)版權(quán)的新方法受 到了人們越來越多的關(guān)注。它通過將作者的相關(guān)版權(quán)信息嵌入到目標產(chǎn)品( 如文 本文件，圖像，視頻，音頻，三維模型等) 中去，并且具有隱藏性，使得產(chǎn)品的 使用者對數(shù)字水印是不可見的，不影響產(chǎn)品的使用。然而，當前數(shù)字水印技術(shù)大 都是針對靜止圖像，文本，視頻，音頻等媒體數(shù)據(jù)類型，對三維模型數(shù)據(jù)的數(shù)字 水印研究工作很少。隨著越來越多的三維模型數(shù)據(jù)的使用和傳播，同樣面臨版權(quán) 的保護問題，數(shù)字水印技術(shù)作為信息版權(quán)保護的有效手段，迫切需要擴展到三維 模型數(shù)據(jù)領(lǐng)域中去。 本文主要討論數(shù)字水印技術(shù)在三維模型數(shù)據(jù)中的應用。由于圖像水印算法已 經(jīng)得到了廣泛深入的研究，為此，對于三維模型數(shù)據(jù)我們希望能夠?qū)⒊墒斓臄?shù)字 水印算法應用到其中，本文所作的主要工作就是建立三維模型的數(shù)字水印系統(tǒng)模 型，水印系統(tǒng)模型之下，圖像數(shù)字水印算法能夠針對三維模型數(shù)據(jù)進行應用。在 分析研究數(shù)字水印、三維網(wǎng)格模型數(shù)字水印基本原理和增量式網(wǎng)格理論以及網(wǎng)格 的平面參數(shù)化理論的基礎(chǔ)上對三維模型的水印算法進行了深入的研究，應用經(jīng)典 的圖像水印算法到三維模型數(shù)據(jù)中；并且分別討論在三維模型的幾何屬性和模型 的屬性中嵌入水印。 在論文的第一章，我們將主要介紹信息隱藏技術(shù)、數(shù)字水印技術(shù)的產(chǎn)生背景、 原理、應用以及主要分類等基礎(chǔ)性的知識，主要介紹三維網(wǎng)格數(shù)字水印的基本原 理，技術(shù)特點，并對已有的網(wǎng)格水印算法進行分析總結(jié)。 1 2 數(shù)字水印技術(shù)及其應用 數(shù)字水印( d i s t a lw a t e r m a r k i n g ) 可以定義為不被感知的在作品中嵌入信息 的操作行為。嵌入的水印信息通常是不可見的，但是可以通過數(shù)字水印的檢測系 統(tǒng)檢測到或者提取水印信號。數(shù)字水印與作品中的信息緊密的結(jié)合在一起，使得 在作品經(jīng)過一系列的處理之后仍然熊夠在其中檢測到水印信號。 通常我們所討論的數(shù)字水印系統(tǒng)由嵌入器和檢測器組成( 如圖1 2 所示) ，嵌 入器有兩個輸入：一個是要編碼為水印的信息，另一個是要嵌入水印的載體作品。 第5 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 通常我們所討論的數(shù)字水印系統(tǒng)由嵌入器和檢測器組成( 如圖1 2 所示) ，嵌 入器有兩個輸入：一個是要編碼為水印的信息，另一個是要嵌入水印的載體作品。 水印嵌入器的輸出，即水印作品通常會被傳輸或記錄。然后把嵌入器輸出的作品 ( 或其他一些未經(jīng)過水印嵌入器操作的作品) 輸入到水印檢測器中，檢驗水印信 息的存在性，如果存在則輸出水印編碼的信息。 圖1 2 一般的數(shù)字水印系統(tǒng) 數(shù)字水印與其他技術(shù)的主要區(qū)別在三個方面。第一，水印是不可感知的，不 會破壞原作品的使用和感觀；第二，水印與其嵌入的作品密不可分，當作品被顯 示或者轉(zhuǎn)化成另外的文件格式的時候，水印信息沒有消失；第三，水印與作品經(jīng) 過相同的處理，水印不消失，并且可以根據(jù)水印信息得到相關(guān)處理的信息。 1 2 1 數(shù)字水印的分類 根據(jù)不同的劃分依據(jù)可以將數(shù)字水印系統(tǒng)劃分為不同的類，主要的劃分有以 下幾種。 1 可見數(shù)字水印和不可見數(shù)字水印 根據(jù)水印信息的表示形式，數(shù)字水印系統(tǒng)可以分為可見數(shù)字水印和不可見數(shù) 字水印。通常的數(shù)字水印系統(tǒng)是嵌入不可見的數(shù)字水印，此類水印成為不可見數(shù) 字水印，也有的水印系統(tǒng)要求顯示出嵌入的水印信息，如作者需要明確顯示出作 品的版權(quán)信息，這類水印系統(tǒng)稱之為可見的數(shù)字水印。 2 空域數(shù)字水印和頻域數(shù)字水印 根據(jù)數(shù)字水印信息的嵌入方法可以將數(shù)字水印系統(tǒng)分成空域數(shù)字水印和頻域 數(shù)字水印，空域數(shù)字水印是指通過直接修改載體數(shù)據(jù)進行數(shù)字水印的嵌入：頻域 數(shù)字水印是指先對載體數(shù)據(jù)進行頻域變換，通過修改其頻域系數(shù)嵌入水印信息。 現(xiàn)在的研究工作主要集中在頻域數(shù)字水印算法的研究上。 3 盲數(shù)字水印和非畝數(shù)字水印 根據(jù)數(shù)字水印的檢測算法可以將數(shù)字水印系統(tǒng)劃分成盲數(shù)字水印和非盲數(shù)字 水印。如果在水印信息的檢測過程中需要原始載體數(shù)據(jù)，我們稱之為非盲數(shù)字水 印，如果不需要原始的載體模型我們稱之為盲數(shù)字水印系統(tǒng)。盲數(shù)字水印系統(tǒng)在 提取數(shù)字水印的時候不需要原始模型，因此具有很好的應用價值，但是其算法相 對要復雜的多。 第6 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 4 魯棒水印和脆弱水印 根據(jù)數(shù)字水印系統(tǒng)抵抗攻擊的能力可以將數(shù)字水印系統(tǒng)劃分成魯棒水印和 脆弱水印。魯棒水印是指能過抵抗各種對模型的操作或者惡意攻擊的水印系統(tǒng)， 研究工作大部分是對魯棒水印算法的研究；脆弱水印則是對模型信息極度敏感的 水印系統(tǒng)，原始模型即使改動很小水印信息也將遭到破壞?，F(xiàn)在還有人提出了半 脆弱水印的概念，是指水印系統(tǒng)能夠抵抗對模型進行合理的操作但是對惡意的攻 擊敏感的水印系統(tǒng)。 1 2 2 數(shù)字水印的應用 目前還沒有一種通用的水印系統(tǒng)，為此，針對不同的應用背景我們需要設(shè)計 不同的數(shù)字水印系統(tǒng)。我們在此介紹幾種已經(jīng)提出的或?qū)嶋H應用的數(shù)字水印，并 對其進行簡單的分析。 1 廣播監(jiān)視 廣播的監(jiān)視對于有的人是很重要的，如廣告客戶需要確認廣告的播出時間， 作品的所有者確保作品沒有被電臺非法轉(zhuǎn)播等等。數(shù)字水印系統(tǒng)為此提供了一種 解決的方案。水印嵌入到作品中可以對電臺的廣播進行監(jiān)控，目前的主要缺點是 嵌入算法復雜而且在一定的程度上影響作品的質(zhì)量。 2 版權(quán)保護 數(shù)字水印具有不可見的特性，為此作者可以在其作品中加入自己的水印信 息，作品的使用者如果擁有水印檢測器就可以知道作者的信息，作者也可以證明 自己版權(quán)。但是現(xiàn)在這個系統(tǒng)還不成熟，沒有得到認可，還需要大量的工作去完 善。 3 操作跟蹤 在次應用中，水印記錄了帶水印信息的作品在復制過程中的一步甚至更多步 的操作。在不同的作品副本中放入不同水印信息，如果作品泄漏則可以根據(jù)水印 信息查找泄漏的人員。d i v x 公司實現(xiàn)了一個把水印用于跟蹤操作的實例。 4 內(nèi)容認證 密碼學中通過數(shù)字簽名來實現(xiàn)內(nèi)容認證，本質(zhì)是信息的加密摘要，這種簽名 在作品的傳輸或者變換中容易丟失，更好的方法就是用數(shù)字水印將簽名直接放在 作品中，如果對作品進行修改隨之對水印信息做了修改。在這應用之中不能對作 品嵌入過多的水印以影響作品的質(zhì)量。 5 拷貝控制 拷貝控制應用于防止人們制造有版權(quán)的非法副本。如果應用加密算法一旦被 破解就失去了作用，而水印是嵌入到了作品的內(nèi)容當中去，如果檢測到了水印則 不能進行拷貝工作，因而用數(shù)字水印來實現(xiàn)拷貝控制是很好的方法。 6 設(shè)備控制 設(shè)各控制是指設(shè)備根據(jù)其在內(nèi)容中檢測到的水印信息做出相應的動作，拷貝 控制廣泛來說也是一種設(shè)備控制，兩者又不同，設(shè)備控制是增加內(nèi)容的價值而不 是限制其使用。 第7 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 際應用的需要和水印的應用。下面介紹數(shù)字水印系統(tǒng)的主要特征。 1 嵌入的有效性 嵌入的有效性是指在嵌入水印后緊接著檢測到數(shù)字水印的概率。水印系統(tǒng)的 實際有效性可能低于1 0 0 ，需要經(jīng)過分析來確定。如果要達到1 0 0 的有效可 能會在別的方面犧牲很好的性質(zhì)。 2 不可見性 也可以理解為保真性，即原始作品和嵌入水印后的作品之間的差別應該是不 可察覺的，有時為了提高魯棒性和降低成本，適度的差異也是可以接受的。 3 魯棒性 魯棒性是指在經(jīng)過常規(guī)的信號處理過程后，仍然能夠檢測到水印信號的能力。 這對于數(shù)字水印系統(tǒng)的應用有重要的實際意義。魯棒性也并不是要求對所有的信 號處理操作都具有魯棒性，在實際應用中，水印只需要在介于嵌入和檢測之間可 能的信號操作中有魯棒性即可。對于脆弱水印來講魯棒性是不希望存在的。需要 實際情況來確定。 4 數(shù)據(jù)的有效載荷 數(shù)據(jù)的有效載荷是指在單位時間或者在一個作品中水印編碼的比特數(shù)。也就 是水印容量的問題。 5 盲檢測 盲檢測性對于數(shù)字水印系統(tǒng)有很強的實際應用的要求，達到盲檢測水印有更 大的實踐意義。 6 虛警率 虛警是指在不含水印信息的作品中檢測出水印。虛警率是指在給定的檢測次 數(shù)中發(fā)生虛警的概率。 7 水印系統(tǒng)的安全性 安全性是指水印系統(tǒng)抵御敵手攻擊的能力，主要是抵御未經(jīng)授權(quán)刪除，未經(jīng) 授權(quán)嵌入和未經(jīng)授權(quán)檢測的能力。 8 通用性 水印算法應該對不同的模型都具有一定的應用性，這對于水印算法的研究有 很大好處。 9 于密碼學的結(jié)合 主要是將密鑰控制應用于水印系統(tǒng)中去，發(fā)展公鑰水印系統(tǒng)。 1 0 水印的成本 水印系統(tǒng)要應用的實際的領(lǐng)域中去就必須考慮到水印系統(tǒng)的成本。 1 2 4 水印系統(tǒng)的評估 一個水印系統(tǒng)是如何去評估昵，換句話說就是我們怎么說這個水印系統(tǒng)要比 另一個水印系統(tǒng)要好的問題。在評價水印系統(tǒng)的時候，我們要根據(jù)實際的情況也 就是說我們要根據(jù)水印的那些性質(zhì)進行評價，一般來講對水印系統(tǒng)的一些性質(zhì)的 改進是以犧牲另一些性質(zhì)為代價達到的，這就要求在評價的時候必須抓住感興趣 第8 頁 墾墮型堂墊查奎堂墮壅蘭墮蘭竺堡苧 另一個水印系統(tǒng)要好的問題。在評價水印系統(tǒng)的時候，我們要根據(jù)實際的情況也 就是說我們要根據(jù)水印的那些性質(zhì)進行評價，一般來講對水印系統(tǒng)的一些性質(zhì)的 改進是以犧牲另一些性質(zhì)為代價達到的，這就要求在評價的時候必須抓住感興趣 的部分。另外在評估的時候要進行大量的測試，這些作品所服從的分布要與實際 期望的分布相似。 1 3 三維模型數(shù)字水印算法的研究現(xiàn)狀 隨著三維模型的應用和傳播越來越廣泛，三維模型的版權(quán)保護問題也越來越 受到重視，因而三維模型的數(shù)字水印算法也得到了一定的研究，但是起步很晚， 由于三維模型數(shù)字水印算法很困難，人們雖然取得了一定的研究成果，但是離實 際的應用還差很遠，并且以前人們所得到的圖像數(shù)字水印算法很難推廣到三維模 型之中。 與圖像、音頻等數(shù)字水印算法一樣，三維模型的額數(shù)字水印算法也可以大致 分為空域水印和頻域水印兩大類。1 9 9 7 年當時還在日本m m 東京研究實驗室工 作的o h b u c h i 等在a c mm u l t i m e d i a9 7 國際會議上發(fā)表了篇關(guān)于3 d 網(wǎng)格數(shù)字 水印的文章， 該文被公認為是第一篇在國際上公開發(fā)表的關(guān)于3 d 網(wǎng)格模型數(shù) 字水印技術(shù)的文章，它為3 d 網(wǎng)格模型和數(shù)字水印的研究提供了新的思路和方法， 它的發(fā)表具有里程碑意義。隨后的幾年內(nèi)，日本、韓國、德國、美國和中國等地 的研究人員對網(wǎng)格水印進行了一系列的研究，取得了不少成果。其中，具有代表 性的算法有1 9 9 7 年r o h b u e h i 等人首先提出了三維模型數(shù)字水印算法概念，在 分析了三維模型的數(shù)據(jù)特點基礎(chǔ)上提出了修改三維模型幾何屬性嵌入數(shù)字水印 的方法，具體給出了三角形相似四元組( t f i a n 西e ss i m i l a r i t yq u a d r u p l e ，t s q ) 算法 h l ；四面體體積l t ( r e t r a h e d r mv o l u m er a t i o ，t v r ) 算法【4 l ；剝離的三角形條帶符 號序y u ( t f i a n # es t r i pp e e l i n gs y m b o ls e q u e n c e ，t s p s ) 水印算法一j 。b e n e d e n s 在 o h b u e h i 等工作的啟發(fā)下，提出了調(diào)整網(wǎng)格曲面法向矢量分布的隱秘水印算法 1 3 1 ；頂點束算法和三角形束算法頂點束算法【3 2 1 。2 0 0 0 年美國亞利桑那州立大學 計算機系的w a g n e r 提出了一種用于任意拓撲結(jié)構(gòu)的多邊形網(wǎng)格的魯棒性水印算 法【2 ”。以上水印算法都是空域水印算法，空域水印算法還有加入有效的授權(quán)信 息的t 0 u b 水印算法；i c h i k a w a 等提出的完全置換算法( f u l lp e r m u t a l i o ns c h e m e f p s ) ，和部分置換( p a r t i a lp e r m u t a t i o ns c h e m e ，p p s ) ；通過旋轉(zhuǎn)面中的各頂點嵌入 信息的多邊形頂點旋轉(zhuǎn)算法( p d y g o nv e r t e xr o t a t i o ns c h e m e ，p v r ) 和分組多邊形 頂點旋轉(zhuǎn)算法( p a e k ap v r ) 以及全部多邊形頂點旋轉(zhuǎn)算法( f u n ，f p v r ) f f , i 部分多 邊形頂點旋轉(zhuǎn)算法f p a r t j mp v r ) 等。頻域的三維水印算法重要有k a n a i 和d m e 等 人在1 9 9 8 年第一次應用變換域內(nèi)的信號處理技術(shù)，提出一種基于多分辨率小波 分解的三角形網(wǎng)格的隱秘數(shù)字水印算法 3 3 l 。該算法我們將在第二章進行詳細的 介紹。2 0 0 2 年o h b u c h i 等人在三維模型的頻譜域分解的基礎(chǔ)上提出了基于網(wǎng)格 頻譜分解的數(shù)字水印算法，o h b u c h i 等以上頻譜域內(nèi)的網(wǎng)格水印算法進行了改進 和擴展得到新的水印算法 3 】，不但提高了水印嵌入的速度，還提高了水印對網(wǎng)格簡 化和組合攻擊的魯棒性。h o p p e 在1 9 9 6 年提出了一種三維網(wǎng)格模型的增量式表 示【2 】，也可以看作是近似的多分辨思想，在此基礎(chǔ)上p r a u n 提出了一種基于增量 式網(wǎng)格模型的數(shù)字水印算法【l5 1 ，這是一種較好的魯捧水印。 第9 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 由于三維模型數(shù)據(jù)的特殊性，為三維模型數(shù)字水印算法研究帶來了很大的困 難。三維數(shù)據(jù)模型水印算法主要存在以下難點： 一是三維模型數(shù)據(jù)很不規(guī)則，在嵌入水印的過程中缺乏進行頻域分解的某種 自然的參數(shù)化方法。三維模型中的點、線、面、等幾何信息和頂點法向量、紋理 坐標、顏色屬性等外觀屬性的排列具有不同的方式，沒有固定的排列標準。靜止 圖像我們可以根據(jù)其平面坐標對其進行排列，音頻信息可以根據(jù)時間特性進行排 列，但是對于三維模型的數(shù)據(jù)，找不到固定的排列順序，這樣在算法中要就不能 將各種頻域變換應用到三維模型之中。人們需要一種能夠?qū)⒊墒斓乃∷惴☉?于三維模型的算法，可喜的是現(xiàn)在出現(xiàn)了三維模型的頻域變換的研究，如網(wǎng)格的 多分辨分解已經(jīng)取得了較大的成果，增量式網(wǎng)格的研究等等，為三維模型的分解 提供了很好的方法，也為三維模型的數(shù)字水印算法研究提供了很好的途徑： 二是在水印的提取過程中，三維模型的簡單操作有可能改變模型的兒何信 息，甚至改變了模型的拓撲關(guān)系，外觀屬性等，因而對三維模型的攻擊方式很多， 如平移、旋轉(zhuǎn)、簡化、重排、噪音等等都是攻擊水印算法的有效手段，這為三維 模型的應用帶來了很大的困難； 三是提取水印的時候需要對網(wǎng)格進行對齊和重采樣操作。由于進行了網(wǎng)格模 型的操作，為正確提取水印信息，必須在提取操作之前將嵌入水印的模型變換到 原始模型的坐標系下，該步稱為網(wǎng)格對齊，同時，由于有些操作會改變模型的拓 撲信息，因此在提取水印之前還必須對模型進行重新采樣，此步稱為網(wǎng)格重采樣。 三維網(wǎng)格對齊和網(wǎng)格重采樣都是三維模型數(shù)字水印算法的很大困難，同時，為此 操作需要大量的原有模型的信息，也就是說研究畝水印算法是很困難的，這對三 維模型的數(shù)字水印算法的研究是很不利的； 四是水印可嵌入目標多樣化，三維模型數(shù)據(jù)有幾何屬性如頂點坐標等等，還 有大量的外觀屬性，如法向量、顏色、紋理坐標等等，還有模型的拓撲信息，水 印信息的可嵌入位置很多，如何選取正確的水印嵌入位置，以達到水印算法的不 可見性和魯棒性也是值得研究的問題。 1 4 本文的主要工作 三維模型數(shù)據(jù)的特點使得關(guān)于三維模型的數(shù)字水印算法研究較少，本文主要 工作是依據(jù)網(wǎng)格拓撲交換映射的思想建立基于三維網(wǎng)格模型頂點全局重排的水 印算法模型，使得在這個水印模型下，圖像的數(shù)字水印算法能夠?qū)θS模型應用。 推廣基于三維模型平面參數(shù)化的水印算法到三維模型的外觀屬性上。 第一章全面介紹了數(shù)字水印技術(shù)的概念。介紹了信息隱藏技術(shù)和數(shù)字水印技 術(shù)的基本思想，數(shù)字水印的產(chǎn)生，應用背景等。分別對圖像水印算法和三維模型 的經(jīng)典數(shù)字水印算法做了介紹和分析，分析各種水印算法的產(chǎn)生思想并對各種算 法做比較分析。 第二章首先介紹了三維模型的多分辨分解，有三維模型的多分辨小波分解和 三維模型的增量式網(wǎng)格表示，這兩種三維模型處理方法為水印技術(shù)的研究提供了 很好的途徑。在增量式網(wǎng)格表示的基礎(chǔ)上介紹了三維網(wǎng)格模型的平面參數(shù)化方 法，和基于三維模型平面參數(shù)化方法的水印系統(tǒng)模型。根據(jù)三維網(wǎng)格模型的平面 參數(shù)化方法的基本思想，本文提出了更加簡單的基于三維模型頂點全局重排的映 第 l0 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 射方法，能夠?qū)⑷S模型變換成平面數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立基于三維模型頂點全 局重排的數(shù)字化水印系統(tǒng)模型。 第三章在基于三維模型平面參數(shù)化方法的水印系統(tǒng)模型和基于三維模型頂點 全局重排的數(shù)字化水印系統(tǒng)模型中，圖像的數(shù)字水印算法都可以對三維模型進行 應用。在本章中討論了基于三維模型幾何信息的數(shù)字水印模型算法。應用d c t ， d w t 等到三維模型幾何信息水印算法中，試驗證明這些算法都有較好的不可見 性和魯棒性。 第四章中討論了基于三維網(wǎng)格外觀屬性的數(shù)字水印技術(shù)，在兩種三維模型數(shù) 字水印技術(shù)模型的基礎(chǔ)上應用圖像數(shù)字水印算法將水印信息嵌入在三維模型的 法向量，顏色，紋理坐標等三維模型的外觀屬性上，對三維模型的屬性數(shù)字水印 算法做研究分析，試驗證明這些算法都有較好的不可見性和魯棒性。 第五章總結(jié)了本篇文章的主要工作并提出了三維模型的數(shù)字水印算法的研究 方向。 第 11 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 2 1 引言 第二章三維網(wǎng)格模型的數(shù)字水印系統(tǒng) 隨著三維數(shù)據(jù)模型得到越來越廣泛的應用，人們對三維數(shù)據(jù)模型的研究也越 來越廣泛。三維模型在視頻，娛樂，工業(yè)等領(lǐng)域的應用，特別是在網(wǎng)絡(luò)上的傳播， 和圖像，音頻信息樣有數(shù)字化處理的問題，人們對三維模型的處理進行，和多 的研究，如網(wǎng)格簡化，去噪音，剪切，壓縮等等。但是由于三維網(wǎng)格模型的數(shù)據(jù) 不規(guī)則，給三維網(wǎng)格模型的處理帶來了很大困難，對于圖像，音頻等信息我們u f 以應用頻域變換這一有力的方法對其進行處理，但是對三維網(wǎng)格模型來講蔗找不 到這樣的直接的處理方法的。 三維網(wǎng)格模型的數(shù)字水印技術(shù)也是對三維網(wǎng)格模型信息進行數(shù)字化處理，同 樣存在缺乏頻域變換處理手段的困難，也是研究的難點所在。三維模型數(shù)據(jù)很不 規(guī)則，在嵌入水印的過程中缺乏進行頻域分解的某種自然的參數(shù)化方法。三維模 型中的點、線、面、等幾何信息和頂點法向量、紋理坐標、顏色屬性等外觀屬性 的排列具有不同的方式，沒有固定的排列標準。靜止圖像我們可以根據(jù)其平甬i 坐 標對其進行排列，音頻信息可以根據(jù)時間特性進行排列，但是對于三維模型的數(shù) 據(jù)，找不到固定的排列順序，這樣在算法中要就不能將各種頻域變換應用到一維 模型之中。人們需要一種能夠?qū)⒊墒斓乃∷惴☉糜谌S模型的算法，可喜的 是現(xiàn)在出現(xiàn)了三維模型的頻域變換的研究，如網(wǎng)格的多分辨分解已經(jīng)取得了較大 的成果，增量式網(wǎng)格的研究等等，為三維模型的分解提供了很好的方法，也為三 維模型的數(shù)字水印算法研究提供了很好的途徑；而是在水印的檢測過程中，嵌入 水印信息的三維模型可能經(jīng)過了簡單的幾何操作或者經(jīng)受了其他的水印攻擊，這 樣可能帶來了三維網(wǎng)格的拓撲關(guān)系變化，為此在提取水印信息之前我們必須對嵌 入水印模型進行變換，與原始網(wǎng)格對齊，同時還有對模型進行重采樣，以便能夠 正確的提取出水印信息。 以前人們研究的三維模型水印算法都是直接對三維網(wǎng)格的幾何屬性，外觀屬 性或者拓撲屬性進行操作，嵌入水印信息。我們可以看到圖像數(shù)字水印的算法已 經(jīng)得到了廣泛而深入的研究，如何將圖像水印算法應用到三維模型的數(shù)字水印算 法中去，這給人們提出了新的研究方向，如果能夠圖像水印算法能夠適用三維模 型水印算法，那么三維模型數(shù)據(jù)水印算法的研究將取得很大的進步。 本章將介紹一種可以將三維網(wǎng)格模型映射成平面參數(shù)模型的方法，對應的 三維網(wǎng)格頂點的屬性可以看作是平面參數(shù)模型的取值，如果平面參數(shù)化成為規(guī)則 的圖像信息，那么三維網(wǎng)格頂點的屬性可以看作是平面圖像的灰度取值或者坎度 取值，這樣就將三維模型的數(shù)字水印問題轉(zhuǎn)化成平面圖像嵌入數(shù)字水印的問題， 在此基礎(chǔ)上就可以應用d f t ，d c t 和d w t 這些有力的頻域變換信號處理工具 來對網(wǎng)格信息進行處理。根據(jù)三維網(wǎng)格模型映射成平面參數(shù)模型的方法的基本思 想，同時借鑒o h b u c h i 的三維網(wǎng)格頂點全局重排方法【4 】建立基于三維網(wǎng)格頂點全 局重排的三維模型水印系統(tǒng)，在這個模型處理系統(tǒng)之下，圖像水印算法都是應用 的，水印算法具有通用性。 三維網(wǎng)格模型是缺乏頻域分解的自然參數(shù)化方法的，已有的對三維網(wǎng)格的頻 第1 2 頁 國防科學技術(shù)人學研究生院學位論文 域分解方法對i 維網(wǎng)格都有很高的要求，不能普遍的適用，在上述的兩種水印模 型系統(tǒng)中圖像的各種水印算法均可以進行應用。存此基礎(chǔ)上，我們可以在三維模 型的幾何屬性，外觀屬性等不同的位置卜嵌入水印信息，得到不同的水印算法。 后面的章節(jié)將對這種水印算法做具體的分析討論。 2 2 增量式網(wǎng)格 增量式網(wǎng)格的概念是h o p p e 在1 9 9 6 年提出來得【2 l ，可以說是一種簡便的多 分辨率網(wǎng)格表示方法。同時s t 0 1 n i t z 也提出了二三維網(wǎng)格的多分辨分解方法，這兩 者有何區(qū)別和聯(lián)系，下面我們對此進行分析。 2 2 1 三維網(wǎng)格的小波變換 三維網(wǎng)格的多分辨小波分解是s t o l l n i t z 提出，針對的是三角形網(wǎng)格模型并且 要有嚴格的4 1 拓撲連通結(jié)構(gòu)，其大致的思想與圖像的多分辨小波變換是相似 的，也是通過一系列的分解操作得到網(wǎng)格的低頻信息礦1 ，礦2 ，礦4 和小波信息 矽1 ，2 矽。，可用如下公式表示： f 礦州= 彳+ 1 礦 1 川：眇 - d 其中礦= ，嵋，v ：，r ，其中代表的是在第j 層中頂點坐標矢量。m ，是在第 j 層上頂點的個數(shù)。川= 【w “，叫“，w 餅 ，其中w l “代表在第j + 1 層小波系 數(shù)向量，n 川是在第j + 1 層小波系數(shù)的個數(shù)。h 川= m m 川。 多分辨小波分解可用下圖做直觀上的描述： 圖2 1多分辨小波分解的示意圖 在三維網(wǎng)格進行多分辨小波分解時一般使用l a z y 小波變換，由圖2 1 我們可 以看到。經(jīng)過l a z y 多分辨小波變換后，高分辨率的三維網(wǎng)格分解成的分辨率的 三維網(wǎng)格和由小波系數(shù)所代表的細節(jié)兩部分。 從幾何的角度考慮，這樣的多分辨小波分解有嚴格的幾何變換意義，圖2 2 所示為l a z y 多分辨小波變換所代表的幾何意義。在此變換中第j 層的四個三角形 第1 3 頁 國防科學技術(shù)大學研究生院學1 審論文 網(wǎng)格f 卜t ；，f ；，f j ，通過小波變換后在第j + l 層只片j 一個二角形f i “表示，直 觀上就是由精細的網(wǎng)格表示變換到了粗糙的網(wǎng)格表示，在高分辨率的第j 層中的 v ，v l ，“點經(jīng)過變換以后仍然是在低分辨率第j + 1 層中三角形f ? “的頂點，由 高分辨率到低分辨率的過程中丟掉了一些細節(jié)，這些細節(jié)就保存在小波變換后的 系數(shù)中，在此就是向量w “，以”，叫“。由此可以得m ，對于三維闡格w ，v ；， v 0v ；，v ；，v ：經(jīng)過多分辨小波變換后可以分解成由v j “，v l “，v ；“所代表的 近似網(wǎng)格，也就是網(wǎng)格的低頻信息，和由向量叫”，叫“，叫“所代表的小波系 數(shù)信息，也是網(wǎng)格的細節(jié)信息。 圖2 2l a z y 小波變換的幾何意義 對于上述小波變換，彳川，曰川稱為小波的分解矩陣，圖2 2 所示變換中 m ，：6 州h ：3 ，a j + 1 不是方陣，它要把高分辨率下的四個三角形網(wǎng)格用低分 辨率下的一個三角形網(wǎng)格去刻畫。4 川的定義如下： r 10 0 00 0 1 4 j “= 10100 00 i 10 010 00 i b 川也不是方陣，它是抽取去經(jīng)過，“變換用粗糙網(wǎng)格刻畫細節(jié)網(wǎng)格是丟失 的細節(jié)信息，對圖2 2 說是，口川的定義如下： 第1 4 頁 哿 國防科學技術(shù)大學研究生院學位論文 r 一1 一l0 200 占，“：! j 一1o l0 2o 2 lo l一1o o 2 j 對原始三維網(wǎng)格v o 重復應用公式2 1 ，也就是經(jīng)過一系列的小波交換，知道 得到需要的粗糙網(wǎng)格礦。為止，同時還得到了一系列相應的小波變換系數(shù)，記錄 網(wǎng)格信息的細節(jié)信息。這和圖像的多分辨小波是相似的。用如下公式表示完整的 小波變換過程： , a 爿2 2 a 爿1 l v 礦o 。 ( 2 2 ) 相應的有小波變換的逆變換，也是綜合的過程，公式如下； 礦7 = 尸?！暗V“+ q ”矽川( 2 3 ) 其幾何上可以理解為通過矩陣p 將一個三角形網(wǎng)格分裂成四個，然后通過 q 川處理的細節(jié)信息來調(diào)整頂點的位置，恢復出原有的網(wǎng)格信息。 在數(shù)學上，可以得到矩陣之同的關(guān)系如下 p j + t 1 = 【萬a j + 1 1 1 ( 2 4 ) 如圖2 2 所示的變換，其【p 川lq p l 】的定義為 f p iq 】：_ 1 o ( 2 5 ) 上述的三維網(wǎng)格模型的多分辨小波變換分析為我們研究三維網(wǎng)格模型的處理 和三維網(wǎng)格模型的數(shù)字水印算法提供了很好的工具，同時我們也要看到，這種多 分辨小波變換對三維網(wǎng)格模型的拓撲性有嚴格的要求，并不是所有的三維網(wǎng)格都 是適應的，這也是多分辨小波變換在處理三維網(wǎng)格河題時的局限性。 2 2 2 增量式網(wǎng)格表示 由于多分辨小波變換在處理三維網(wǎng)格模型時困難，我們介紹另一種網(wǎng)格處理 模式。這是h o p p e 等人在1 9 9 6 年提出來的增量式網(wǎng)格表示方法，是種簡單的 網(wǎng)格多分辨表示方法。其主要思想是逐點合并，一步一步的對三維網(wǎng)格進行簡化， 得到一系列的粗糙網(wǎng)格和進行邊合并時的信息。嚴格來說，增量式網(wǎng)格過程只是 模型之間的變換過程，不能像多分辨分析一樣直接提供網(wǎng)格多分辨的功能，可以 第 15 頁 m 攤 鏟巾 鏟。艫 = = 叭 ，、l 里墮型蘭絲壟查堂塹壅圭墮堂垡絲苧 認為只是一種簡便的網(wǎng)格多分辨分析方法。 增量式網(wǎng)格是通過一系列的邊的合并操作，得到粗糙的網(wǎng)格信息，其逆變換 就是通過相應的點的分裂操作，由粗糙的得到精細的原始網(wǎng)格。首先要定義網(wǎng)格 的邊合并操作( e d g ec o l l a p s e ) 。如圖2 3 所示。邊合并e c o l ( v ，q ，) 將點q ，v 合弗 成一點，并將面 k ，葉，v ， 和掀，q ，q ) 刪除。合并以后的點屹的位置是根據(jù)原來 的網(wǎng)格中的點v 。，v ，得到，可以與原始點相同也可以不同。這樣的操作對任意的三 維網(wǎng)格都是適應的，沒有網(wǎng)格的拓撲連通條件的要求，同時，邊合并操作也是可 逆的，通過點的分裂操作可以由簡化后的網(wǎng)格得到原始的網(wǎng)格。根據(jù)圖2 3 定義 點的 西s 晦 圖2 3 邊合并操作和點分裂操作 分裂( v e r t e xs p l i t ) 操作，記為m 驢n 柏“其含義為：將低精度網(wǎng)格上的點t 分 割成兩點v ：，v ，同時增加兩個面億，u ，v r ) 和札，v t ，崎) ，點y ，v ，以及兩個面 饑，h ，葉 和以，q ，畸) 的幾何和外觀信息包含在屬性a 中。 設(shè)原始網(wǎng)格m = m ”，經(jīng)過n 次邊合并操作，可以得到原始網(wǎng)格。m 4 的粗糙 模型表示m o 。其簡化的過程可由下面公式表示 ( = m 4 ) 一罌l “_ + m “一型“一一苧虬_ m o ( 2 6 ) 其逆操作，可以由原始網(wǎng)格的粗糙模型表示m o 經(jīng)過n 次點分裂操作得到原 始網(wǎng)格m = ”。分裂的過程可由下面公式表示； mo 竺監(jiān)_ m 1 瑪竺b ( m = m “) ( 2 7 ) 其中v s p l i tf 為v s p l i tf ( t ，f ，l ，t f ，a i ) 網(wǎng)格m 的增量式表示為( 塒。， v s p l i to v s p l i t 。) ) ，簡稱p m 表示。 在網(wǎng)格的增量式表式來代替原來的網(wǎng)格的時候，邊合并的順序是很熏要的， 不同的合并順序會帶來不同的結(jié)果。h o p p e 在提出網(wǎng)格的增量式表示的時候同時 第16 頁 里墮型蘭莖查查堂竺壅生墮蘭垡絲苧 也根據(jù)網(wǎng)格最優(yōu)化理論利用能量函數(shù)的概念，綜合考慮網(wǎng)格的幾何位置，邊界曲 率信息和網(wǎng)格的外觀屬性信息，提出了一種邊合并的順序，在此情況下，能夠達 到合并后的網(wǎng)格大致上保持原來網(wǎng)格的屬性。這種情況下進行網(wǎng)格增量式表示的 計算量是比較大的，如果對網(wǎng)格信息保持一致的要求放松，可以找到運算速度更 快的方法，如果只是隨即取點合并無疑是最快的方法，但是此情況下網(wǎng)格信息的 保持不好，因此需要綜合考慮，比如可以只考慮網(wǎng)格邊界長度的變化等，既照顧 了網(wǎng)格的一致性問題又簡化了算法。 增量式網(wǎng)格表示對于很多的網(wǎng)格信息處理都是有效的，如網(wǎng)格的幾何變換， 網(wǎng)格壓縮，網(wǎng)格簡化等等。相對于網(wǎng)格的多分辨分析，網(wǎng)格的增量式表示有這它 的優(yōu)勢，其中最大的優(yōu)勢就是網(wǎng)格的增量式表示對網(wǎng)格的拓撲結(jié)構(gòu)沒有要求，適 應于任意的三維網(wǎng)格，而三維網(wǎng)格的多分辨分析則只能適應于4 一l 連通性網(wǎng)格； 另外網(wǎng)格的增量式表示計算也較多分辨分析表示要簡單；而且在增量式表示中可 以在其粗糙表示符合要求的情況下停止。當然和網(wǎng)格的多分辨分析相比，網(wǎng)格的 增量式表示也有缺點，網(wǎng)格的多分辨小波變換是嚴格意義下的網(wǎng)格多分辨分解， 而網(wǎng)格的增量式表示只是各個模型之間的過渡，不能說是直接對應的網(wǎng)格頻域上 的變換。 2 3 三維網(wǎng)格模型的平面參數(shù)化 人們已經(jīng)對三維信號的處理進行了一定的研究，并且取得了相當?shù)难芯砍晒?如上述我們介紹的三維網(wǎng)格的多分辨分解，增量式網(wǎng)格方法，還有其他的一些方 法，如t a u b i n 等人提出的將傅立葉變換推廣的網(wǎng)格光滑的處理中去，k o b b e l t 等 人采用累進式和半均勻離散拉普拉斯算子對不規(guī)則網(wǎng)格進行分析還有 l o u n s b e r y ，z o r i n ，s c h r o d e r 等人都在三維網(wǎng)格模型的處理上做出了新的貢獻。在 數(shù)字水印方面，基于多分辨小波變換的數(shù)字水印算法，基于增量式網(wǎng)格的數(shù)字水 印算法等等也陸續(xù)提出，但是上述的方法都是針對三維網(wǎng)格的算法，人們對圖像 數(shù)字水印算法的研究比對三維網(wǎng)格的水印算法要廣泛深入的多，為此我們希望找 到一種方法使得能夠?qū)D像水印的算法推廣到三維模型的數(shù)字水印算法中去。浙 江大學鮑虎軍教授等人提出的三維模型的平面參數(shù)化為此提供了一種有效的途 徑。如果我們能夠?qū)⑷S網(wǎng)格經(jīng)過拓撲映射映射到平面上，在平面上對其幾何屬 性或外觀屬性進行處理，那么圖像的數(shù)字水印算法將可以直接進行應用。下面討 論將三維網(wǎng)格映射成平面網(wǎng)格的問題。 最常見的三維網(wǎng)格模型就是三角形網(wǎng)格模型，在此我們也是采用三角形網(wǎng)格 模型進行討論。首先我們將任意的網(wǎng)格 礦表示成m = 礦k 。只， 的形 式，其中表示三維網(wǎng)格所有頂點的集合，“= 1 ，2 ，3 ，lmi ，k 。表示 所有的拓撲連接信息，一共包含三種基本的信息