（理論物理專業(yè)論文）介觀物理量子漲落的研究.pdf

摘要 從二十世紀(jì)未開始，在短短的二十年內(nèi)，凝聚態(tài)物理的一門新興學(xué)科一介觀物理 迅速形成并發(fā)展成為凝聚態(tài)物理研究的一個(gè)新的熱點(diǎn)隨著半導(dǎo)體行業(yè)的快速發(fā)展， 電路元件的尺寸平均每?jī)赡昕s小一半，這樣電路元件尺寸必將進(jìn)入介觀領(lǐng)域，這時(shí)就 必需考慮電路器件的量子效應(yīng)由于介觀器件在微電子技術(shù)和集成電路等方面具有 重要的應(yīng)用，因此對(duì)介觀器件的研究越來越受到各國(guó)的重視本文分別提出兩個(gè)介觀 電路模型，此介觀電路模型與前人的研究工作相比，更接近實(shí)際電路，更具有廣泛 的意義，運(yùn)用幺正變換和玻戈留波夫變換并結(jié)合高量中的表象轉(zhuǎn)換，求出系統(tǒng)的哈密 頓量并進(jìn)行對(duì)角化，這樣就能得出介觀電路中電荷的電流的量子漲落，通過本模型的 簡(jiǎn)化能和以前他人在這方面的數(shù)據(jù)相符合，這說明我們?nèi)〉昧艘恍┯幸饬x的成果我 認(rèn)為通過對(duì)這方面的研究會(huì)對(duì)2 1 世紀(jì)新型材料的制備以及新一代微電子器件的研制 具有重要的科學(xué)指導(dǎo)意義，本文的主要工作包括如下內(nèi)容 1 介紹介觀物理發(fā)展的歷史及目前國(guó)內(nèi)外的研究狀況，分析了介觀體系與宏觀 體系不同之處，如介觀中沒有自平均效應(yīng)：力學(xué)量計(jì)算依賴具體的系綜并簡(jiǎn)單的描 述了介觀電路的波函數(shù)和量子漲落 2 作為研究介觀電路的基礎(chǔ)，對(duì)哈密頓量的對(duì)角化進(jìn)行討論 3 研究了耗散介觀電容耦合電路處于任意本征態(tài)的波函數(shù)和量子漲落，運(yùn)用雙 波理論對(duì)串并聯(lián)r l c 介觀電路的量子漲落進(jìn)行計(jì)算結(jié)果表明，無論體系處于何種本 征態(tài)，每個(gè)回路中的電荷、電流都存在著量子漲落，且兩回路中電荷、電流的量子漲 落是關(guān)聯(lián)的 本文的創(chuàng)新之處在于提出了一個(gè)耗散介觀電容耦合電路的模型，運(yùn)用幺正變換 和玻戈留波犬變換并結(jié)合高量中的表象轉(zhuǎn)換，求出了介觀電路系統(tǒng)的量了漲落另外 運(yùn)用量子雙波函數(shù)理論研究了一個(gè)介觀耗散r l c 關(guān)聯(lián)電路的量子漲落 關(guān)鍵詞：介觀耗散電路：量子漲落；雙波函數(shù)；玻戈留波夫變換 a b s t r a c t o n l yi n2 0y e a r ss i n c et h el a t el9 8 0 s , m e s o s c o p i cp h y s i c s ，o n eb u r g e o n i n gs u b j e c t o f c o n d e n s e ds t a t e sp h y s i c s q u i c k l yc o m e si n t ob e i n ga n db e c o m e san e wh o t p o to f t h e s t u d i e si nc o n d e n s e ds t a t e sp h y s i c s w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft 1 1 es e m i c o n d u c t o r i n d u s t r y ，t h ea v e r a g es i z eo fc i r c u i tc o m p o n e n t st or e d u c eb yh a l fe v e r yt w oy e a r s ，t h i s c i r c u i tc o m p o n e n t so nt h ef i e l d s i z e w i l le n t e rm e s o s c o p i c w es h o u l dc o n s i d e rt h e q u a n t u me f f e c to fc i r c u i td e v i c e s b e c a u s eo ft h ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o n so fm e s o s c o p i c d e v i c e si nm i c r o e l e c t r o n i c st e c h n o l o g ya n di n t e g r a t ec i r c u i ta n ds oo n ，m o r ea n dm o r e a t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h er e s e a r c ho ft h o s ei nm a n yc o u n t r i e s i nt h i sp a p c r ，w e p r o p o s e st w om e s o s c o p i cc i r c u i tm o d e l ss e p a r a t e l y , t h i sc i r c u i tm o d e lc o r o p a r e sw i t hf o r e f a t h e r s 。 r e s e a r c hw o r k , c l o s e rt ot h er e a lc i r c u i t ，i th a v ee x t e n s i v em e a n i n g se v e nm o r e ，w ea p p l i c a t e m c t h o do fu n i t a r yt r a n s f c i r m a t i o na n db o g l i u b o vt r a n s f o r m a t i o n ，t h eh a m i l t o n i a no f s y s t e mi sd e r i v e ds y n d r o m e d t h eq u a n t u mf l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n ti ns o m e m e s o s c o p i cc i r c u i t sa r ei n v e s t i g a t e db a s e do nt h eq u a n t i z a t i o nm e t h o do ft h ec l a s s i c a l h a r m o n i co s c i l l a t o r t h r o u g hs i m p l i f y i n g ，t h em o d e lc o n s i s t e n t w i t ht h ep r e v i o u sm o d e l ， t h ec o r r e s p o n d i n gd a t aa r ec o n s i s t e n tw i t hp r e v i o u sr e s u l t s t h i ss h o w st h a tw eh a v e m a d e s o m em e a n i n g f u lr e s u l t s it h i n kt h a tt h r o u g ht h i sk i n do fr e s e a r c hj th a v ep r o m o t e s n e wm a t e r i a l sp r o d u c e d2 lc e n t u r yn e wg e n e r a t i o no fm i c r o e l e e t r o n i c sd e v i c e sa n dt h e d e v e l o p m e n to f v i t a ls c i e n t i f i cg u i d a n c e t h i sp a p e rr e s u l t sa ss h o w nb e l o w ： 1 i n t r o d u c eh i s t o r ya n dp r e s e n td o m e s t i ca n di n t e m a t i o n a lr e s e a r c hs t a t eo f m e s o s c o p i cp h y s i c sd e v e l o p m e n t h a v ea n a l y s e d t h e m e s o s c o p i cs y s t e m a n d m a c r o s c o p i c a ls v s t e md i f i e r e n c e ，w i t h o u to fa v e r a g ee f f e c t i n gi nm e s o s c o p i cs y s t e m ， c a l c u l a t ea n dr e l yo nac o n c r e t eo n et ob ec o m p r e h e n s i v ei nm e c h a n i c sa m o u n t w ch a v e s i m p l yd e s c r i b e dt h ew a v ef u n c t i o no f t h em e s o s c o p i cc i r c u i ta n dq u a n t u mf l u c t u a t i o n s 2 r e g a r d e da st h ef o u n d a t i o no fs t u d y i n gm e s o s c o p i cc i r c u i t ，w ed i s c u s s e dt h e h a m i l t o n i a nd i a g o n a l i z a t i o n 3 f o rad i s s i p a t i v em e s o s c o p i ci n d u c t a n c ec o u p l i n gc i r c u i t ，t h eq u a n t u m f l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n ti ua l la r b i t r a r ye i g e n s t a t eo f t h es y s t e m ，a n d t h eq u a n t u mw a v e f u n c t i o n si so b t a i n e dd o u b l e w a v ef u n c t i o nq u a n t u mt h e o r yi sa p p l yt o d e s c r i p t i o no f m e s o s c o p i cd i s s i p a t i v e r l cc i r c u i t i ti ss h o w e dt h a tt h e r ee x i s tq u a n t u m f l u c t u a t i o n so ft h ec h a r g ea n dc u r r e n ti nt h ea r b i t r a r ye i g e n s t a t eo ft h es y s t e m ， t h ef l u c t u a t i o n si ne a c hc o m p o n e n tc i r c u i ta r em u t u a l l yc o n n e c t o u ri n n o v a t i o ni n t h i sm o d e l ：i tb r i n gf o r w a r dm o d e lo fd i s s i p a t i v em e s o s c o p i c c a p a c i t a n c ec o u p l e dc i r c u i t ，w ea p p l i c a t e m c t l l o do t u n i t a r yt r a n s t o r m a t i o n a n d b o g l i u b o vt r a n s f o r m a t i o n ，t h eq u a n t u m f l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n ti n m e s o s c o p i cc i r c u i t sa r ei n v e s t i g a t e d a n dq u a n t u me f f e c to fm e s o s c o p i cd i s s i p a t i v e p a r a l l e lr l cc i r c u i tw a sr e s e a r c h e db yd o u b l e w a v ef u n c t i o n k e yw o r d s ：m e s o s c o p i cd i s s i p a t i v e c i r c u i t ；q u a n t u mf l u c t u a t i o n ；d o u b l e - w a v e f u n c t i o n ：b o g t i u b o vt r a n s l a t i o n 第一章介觀物理的發(fā)展及本文的工作 1 1 引言 在2 0 世紀(jì)8 0 年代以前，人們對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)的研究可分為宏觀和微觀兩個(gè)層次宏 觀層次研究的對(duì)象在尺度上沒有上限，但有一下限即人的裸眼能夠看見的最小物體： 微觀層次研究的對(duì)象在尺度上的上限是分子和原子，其下限為最小的基本粒子即夸 克我們可以用牛頓力學(xué)和愛因斯坦的相對(duì)論來描述宏觀體系，而用原子( 粒子) 物 理、量子力學(xué)來描述微觀體系然而，人們對(duì)介于宏觀下限與微觀上限這個(gè)過渡區(qū) 間細(xì)小體系的認(rèn)識(shí)，卻遠(yuǎn)不及對(duì)宏觀體系和微觀體系的認(rèn)識(shí)近十幾年來人們發(fā)現(xiàn)， 在宏觀世界與微觀世界之間，存在著一個(gè)比微米更小，但又比原予、分子更大的物質(zhì) 世界，而且它們表現(xiàn)出一些既不同于宏觀世界，又區(qū)別于微觀世界的很特殊的物理性 質(zhì)，這就是所謂的介觀物質(zhì)系統(tǒng)在這種細(xì)小體系中，出現(xiàn)了既不同于宏觀體系也不 同于微觀體系的奇異現(xiàn)象早在1 9 5 9 年，a h a r o n o v 和b o h m 就預(yù)言了在微米和亞微米 體系中，由一束分開而成的兩束位相不同的電子再次相遇時(shí)會(huì)產(chǎn)生稱之為a b 效應(yīng) 的相干現(xiàn)象：1 9 8 2 年t o n o m u r a 等人給出了a b 效應(yīng)”的嚴(yán)格實(shí)驗(yàn)論證這些顯示出 了十分誘人的應(yīng)用前景，因此引起了各國(guó)物理學(xué)家和科技工作者的極大興趣“介觀” 的英語名為m e s o s c o p i c ，是1 9 8 1 年v a nk a m p e n 首先提出的通常文獻(xiàn)中把尺度相 當(dāng)于或小于粒子的相位相干長(zhǎng)度l 的小尺度體系稱為介觀體系( m e s o s c o p i c s y s t e m ) 由于材料科學(xué)技術(shù)和微加工技術(shù)的進(jìn)步，以介觀體系的物理性質(zhì)為研究 對(duì)象的介觀物理也就成為當(dāng)代物理學(xué)中的一個(gè)十分活躍的前沿領(lǐng)域，介觀概念的提 出，填補(bǔ)了宏觀體系與微觀體系之間的空白由于介觀體系一方面可以作為理解宏 觀物體性質(zhì)的一個(gè)中介途徑，另一方面，其本身表現(xiàn)出的一些特殊現(xiàn)象，有助于對(duì) 量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一些基本原理進(jìn)行理論上的澄清和實(shí)驗(yàn)上的檢驗(yàn)，因此， 對(duì)介觀體系的研究不僅已成為當(dāng)今凝聚態(tài)物理學(xué)以及材料科學(xué)等領(lǐng)域的前沿課題， 它是介觀物理中的一個(gè)重要分支隨著集成電路集成度的不斷提高，電路和器件尺 寸會(huì)不斷縮小和微型化，眾所周知，半個(gè)多世紀(jì)以來，由于半導(dǎo)體工業(yè)的崛起，電 子計(jì)算機(jī)的研制和生產(chǎn)飛速發(fā)展，其計(jì)算速度平均每?jī)赡攴环娐吩某?寸平均每十八個(gè)月縮小一半：電子計(jì)算機(jī)在過去三十余年中每個(gè)芯片的晶體管數(shù)目 隨著時(shí)間按指數(shù)增長(zhǎng)，這個(gè)所謂的莫爾( m o o r e ) 定律預(yù)示著，計(jì)算機(jī)進(jìn)一步集成化與 小型化將要求其基本元件進(jìn)入介觀尺寸，十多年之后計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)單元也許將會(huì)是 單個(gè)原予，因此在這種計(jì)算機(jī)的硬件設(shè)計(jì)中必須考慮電路及器件的量子效應(yīng)；以介 觀元件為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)將是一種半經(jīng)典計(jì)算機(jī)，它基本上是宏觀的，但考慮了介觀 元件中的量子效應(yīng)0 1 因此介觀電路的研究對(duì)以后以介觀電子線路為基礎(chǔ)的量子信 息科學(xué)研究與開發(fā)具有極其重要的意義而且對(duì)它們的基礎(chǔ)性研究將對(duì)2 l 世紀(jì)新型 材料的制備以及新一代微電子器件的研制具有重要的科學(xué)指導(dǎo)意義 1 2 介觀體系的發(fā)展歷史和目前研究狀況 近些年來，隨著納米技術(shù)和納米電子學(xué)的飛速發(fā)展“”，在電子器件中電路及 器件的小型化和高集程度的趨勢(shì)越來越顯著，近年來己達(dá)到了原子尺寸的量級(jí)”1 ； 當(dāng)電路的尺寸小到與電子的相干長(zhǎng)度可以比擬時(shí)，電路本身的量子相干效應(yīng)就會(huì)出 現(xiàn)，原來在研究電路時(shí)所采用的一系列經(jīng)典基本原理和方法就不再成立，例如在這范 圍內(nèi)的輸運(yùn)現(xiàn)象，很多在經(jīng)典輸運(yùn)中的原理不再有效，比如串連的電阻不滿足相加原 理和并聯(lián)電導(dǎo)也不再滿足相加原理等近年來，大量有關(guān)納米尺寸電路以及單電荷器 件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已充分地證明了這一點(diǎn)”1 另外，如今光刻技術(shù)已使刻線的分辨率達(dá) 到了亞微米量級(jí)，超微細(xì)加工技術(shù)現(xiàn)已能制備出大小僅有幾個(gè)納米的金屬微粒或含 有幾十個(gè)電子的半導(dǎo)體微粒，在這些涉及微觀電磁現(xiàn)象及在光頻下工作的電路問題 中，作為微電子技術(shù)發(fā)展的原理性基礎(chǔ)，必須考慮電路及器件的量子力學(xué)效應(yīng) 關(guān)于電予器件及電路的量子力學(xué)效應(yīng)，早在2 0 世紀(jì)5 0 年代就引起了l a n d a u e r 、 l o u i s e l l 等物理學(xué)家的重視，并用量子力學(xué)方法研究了宏觀電路問題最近幾年 來，由于介觀物理的興起及其研究的不斷深入，特別是有關(guān)納米電子器件作為量子 計(jì)算機(jī)中量了位或量予邏輯門和量了線路的討論，使得這宏觀量了力學(xué)效應(yīng)越來 越被人們所重視，并使對(duì)這類問題的研究再次成為熱點(diǎn)問題”1 ；對(duì)它們的系統(tǒng)研究 必將從原理上為微小電路的設(shè)計(jì)奠定物理學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)然，最為簡(jiǎn)單然而又十分重要 的工作是如何將在電路學(xué)中最為基本的l c 電路量了化，這一工作早在1 9 7 3 年首先由 l o u i s e l l 通過與經(jīng)典諧振子量子化的方法做類比而得以完成( 其中諧振子的坐標(biāo)相 當(dāng)于電路中的電荷) ，同時(shí)并給出了真空態(tài)下這一電路的量子噪聲然而，在這之后 的2 0 年的時(shí)間里，人們對(duì)于介觀電路量子力學(xué)效應(yīng)的研究幾乎無多少進(jìn)展 首先打開介觀電路量子效應(yīng)研究新局面的是我國(guó)物理學(xué)工作者陳斌博士、李有 泉教授1 ”及其合作者們，他們于2 0 世紀(jì)9 0 年代中期，在國(guó)內(nèi)外率先分別研究了有 源介觀r l c 電路的能量漲落及處于真空態(tài)時(shí)該電路中電荷和電流的量子漲落、介觀電 容耦合電路處于基態(tài)時(shí)各回路中電荷和電流的量子漲落、以及基于介觀電路中電荷 是量子化的這一基本事實(shí)，建立了介觀l c 電路的量子理論、進(jìn)而討論了在介觀l c 電 路中電流的量子漲落問題等他們的上述這些工作問世后，進(jìn)一步激發(fā)了人們對(duì)介 觀電路量子力學(xué)效應(yīng)研究的熱忱；之后，包括國(guó)內(nèi)的一些物理學(xué)工作者掀起了研究 介觀電路量子力學(xué)效應(yīng)的熱潮1 ：1 9 9 7 年，王繼鎖博士考察了在壓縮真空態(tài)下介觀 l c 電路中電荷、電流的量子漲落，于肇賢博士“”等人分別研究了在壓縮真空態(tài)下介 觀含源電容耦合電路以及非耗散介觀含源電路中電荷、電流的量子漲落；1 9 9 8 年， 張智明教授”9 “等人給出了熱庫中有源l c 電路的量子理論和有源r l c 電路的量子理 論，范洪義先生等人給出了在存在互感情況下雙l c 耦合電路的量子化方案及其壓縮 態(tài)”“，2 0 0 0 年王繼鎖博士進(jìn)一步分別考察了在壓縮真空態(tài)下介觀r l c 電路中電荷和電 流的量予效應(yīng)以及介觀電容耦合電路在其任意的本征態(tài)下和在壓縮真空態(tài)下各回路 中電荷和電流的量予漲落”2 ”，黃春佳等研究了雙波量子理論中的守恒定律”，汪 仲清給出q 一變形相干態(tài)的高階壓縮效應(yīng)“，于肇賢博士等人給出了無耗散介觀電 容耦合電路的庫侖阻塞，并研究了在壓縮真空態(tài)下非耗散介觀含源電感耦合電路的 量子力學(xué)效應(yīng)，崔元順先生研究了在真空態(tài)、壓縮真空態(tài)下介觀l c 電路中電壓和電 流的量子漲落o ，2 0 0 2 年嵇英華等人又發(fā)表了三網(wǎng)孔介觀電容耦合電路的量子漲落 1 3 4 - “1 ，這幾年我校的龍超云老師也在介觀電路方面作了不少研究工作”，作者本人 也在借鑒前人的基礎(chǔ)上做了一點(diǎn)工作“1 ，等等在上述這些研究工作的基礎(chǔ)上，最 近幾年來，人們又從不同的角度先后研究了介觀l c 電路、介觀r l c 電路以及介觀耦合 電路分別處于不同的某些特定狀態(tài)下的量子力學(xué)效應(yīng)。3 4 1 ，得到了一些具有一定學(xué) 術(shù)價(jià)值和意義的結(jié)果，這里不再一一贅述 歸納起來，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)介觀電路的量子力學(xué)處理通常是采用與經(jīng)典簡(jiǎn)諧振子量 子化的方法做類比，然后將介觀電路量子化( 其中諧振子的坐標(biāo)相當(dāng)于電路中的電 荷) ；當(dāng)然也可以在引入復(fù)正則電荷與電流的基礎(chǔ)上，采用產(chǎn)生、湮沒算符將介觀電 路量子化：或者在直接考慮電荷不連續(xù)的前提下，將介觀電路量子化進(jìn)而研究當(dāng) 體系處于不同的某些特定狀態(tài)( 特別是處于真空態(tài)、壓縮真空態(tài)或相干態(tài)等) 下的量 子力學(xué)效應(yīng)最近，我們研究了介觀r l c 電路以及介觀耦合電路的量子漲落 1 3 本文的研究工作和面臨的問題 本文在總結(jié)前人的研究基礎(chǔ)上進(jìn)行探索，提出了自己的模型，求出模型中的系 統(tǒng)哈密頓量通過運(yùn)用幺正變換和玻戈留波夫變換并結(jié)合高量中的表象轉(zhuǎn)換，利用數(shù) 學(xué)變換將非對(duì)角化的哈密頓量對(duì)角化，這樣就使得系統(tǒng)簡(jiǎn)化成類似簡(jiǎn)諧振子的動(dòng)力 學(xué)行為，這樣就能方便求出系統(tǒng)中電流和電荷的量子漲落，進(jìn)而就使節(jié)問題得到解決 我們提出來的模型是在前人的基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步改進(jìn)，比原來的要復(fù)雜為了驗(yàn)證我 們計(jì)算結(jié)果，這時(shí)可將計(jì)算結(jié)論中某些參數(shù)取特殊數(shù)值時(shí)，這時(shí)我們提出的模型會(huì)蛻 變成前人已做過的模型，當(dāng)然相應(yīng)的結(jié)果也會(huì)和以前得出的結(jié)論相一致，因此我們相 信我們的計(jì)算結(jié)果有一定的理論參考價(jià)值，希望能對(duì)以后介觀電子線路為基礎(chǔ)的量 子信息科學(xué)研究有所借鑒 本文擬采用四部分來進(jìn)行論述，第一部份首先介紹介觀物理學(xué)作為凝聚態(tài)物理 的一個(gè)新興學(xué)科它的發(fā)展歷吏，著重從國(guó)外和國(guó)內(nèi)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行考察：然后接下來 在第二部分說明介觀系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理特征，突出介觀系統(tǒng)不同宏觀的獨(dú)特性質(zhì)，最后 介紹了處理介觀電路的基本原則，即首先找出介觀電路的哈密頓量，然后設(shè)法對(duì)哈密 頓量進(jìn)行對(duì)角化，最后采用類似諧振子的方法來計(jì)算出簡(jiǎn)化后的介觀電路量子漲落， 根據(jù)對(duì)角化過程的變換公式就能求得原系統(tǒng)的量子漲落第三部分作為基礎(chǔ)知識(shí)也 是在介觀電路研究中很關(guān)鍵的組成部分，著重介紹一般哈密頓量的對(duì)角化的方法在 最后的第四部分我們自己提出兩個(gè)介觀電路的模型，求出介觀電路的量子漲落，為了 驗(yàn)證推導(dǎo)的結(jié)果，對(duì)原有介觀電路的個(gè)別參數(shù)取特殊值時(shí)，這時(shí)模型就會(huì)退化成前人 已完成研究的模型，相應(yīng)的結(jié)論也和原有的結(jié)論相一致，這說明我們所做研究工作有 一定參考價(jià)值 在現(xiàn)有研究介觀電路量子力學(xué)效應(yīng)的文獻(xiàn)中，大多都是將電荷作為連續(xù)變量來 處理的，而未考慮電荷應(yīng)是量子化的這一基本事實(shí)：事實(shí)上，介觀電路的量子漲落 不僅來源于電子的波動(dòng)性，而且還與電荷的量子化性質(zhì)密切相關(guān)，庫侖阻塞就是一 個(gè)明顯的例子因此，在考慮電荷量子化的前提下如何將有關(guān)的介觀電路量子化， 進(jìn)而再去研究它們的量子力學(xué)效應(yīng)，就成了十分重要的問題了我們認(rèn)為，在研究 有關(guān)的介觀電路的量子力學(xué)效應(yīng)時(shí)，必須注意到電荷的不連續(xù)性這一量子效應(yīng)，只 有這樣才是關(guān)于介觀電路的全量子理論另外考慮在兩塊超導(dǎo)體之間有一個(gè)絕緣薄 層，兩個(gè)導(dǎo)體與一個(gè)外接電路相聯(lián)結(jié)，當(dāng)絕緣薄層足夠薄時(shí)，這時(shí)超導(dǎo)體中的”電子 對(duì)”會(huì)以一定的幾率跨過此絕緣層，就會(huì)出現(xiàn)b d j o s e p h o n 結(jié)效應(yīng)，即兩超體之間有 交變電流以上應(yīng)該說都是介觀物理的發(fā)展新方向，限于時(shí)間和作者本人水平和課題 較復(fù)雜等原因，本文未做研究 第二章介觀電路簡(jiǎn)介 前言 在本章中我們首先介紹介觀物理體系的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)特征，說明了介觀物理一些 基本特點(diǎn)：比如說介觀體系中沒有自平均效應(yīng)，力學(xué)量的計(jì)算依賴具體的系綜然后 說明了對(duì)一般介觀電路的基本處理方法，為方便理解把介觀電路與力學(xué)振子加以對(duì) 比來進(jìn)行說明計(jì)算了簡(jiǎn)單的l c 介觀的量子漲落 2 1 介觀體系統(tǒng)計(jì)物理特征 2 1 _ 1 介觀體系沒有自平均效應(yīng) 統(tǒng)計(jì)物理對(duì)象是處理“大”系統(tǒng)，一般說來這類系統(tǒng)是“大尺寸”( l a r g es i z e ) ， “大的自由度”( 也包括“大”的粒子數(shù)目) ，而且系統(tǒng)又處于較長(zhǎng)時(shí)間間隔之中接 受測(cè)量。當(dāng)然怎樣標(biāo)示“大”是很難嚴(yán)格定義的，但一般經(jīng)驗(yàn)上是可理解的，就是比 較系統(tǒng)的某特征線度是大的，比之某特征時(shí)間是夠大的，在宏觀尺度下很短的時(shí)間， 在微觀尺度下是足夠長(zhǎng)的時(shí)間，等等。如果不用系統(tǒng)的大尺度假設(shè)于計(jì)算中，就不可 以證明系統(tǒng)的力學(xué)量起伏是足夠地小，使能測(cè)量到在容許誤差下確定的量值。這樣理 論計(jì)算的平均值可與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值作有意義的比較。一般0 f 用“大尺寸”有兩個(gè)辦法。 一是從有限大小尺寸的系統(tǒng)出發(fā)，線度為l ，然后最后取熱力學(xué)極限，j o c ，又當(dāng) _ * ，v o c ，i 1 = n v 為恒值時(shí)的極限。另一辦法是一開始就從無窮大系統(tǒng)出 發(fā)。對(duì)于平衡態(tài)系統(tǒng)，需要另個(gè)“大”的值，就是足夠長(zhǎng)的測(cè)量時(shí)間。 對(duì)于“大”系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理來說，一條基本的假定是假設(shè)存在有“自平均” ( s e l f a v e r a g e ) 效應(yīng)，令q ( l ) 表線度為l 的物理系統(tǒng)一個(gè)力學(xué)量，對(duì)某一系統(tǒng)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 ( ( q 0 ) ) 2 ) = ( q 乜) 2 ) 一( q 乜) ) 2 慟班陬 ( 2 1 1 ) 如果，當(dāng)三j * 時(shí)，q 犯) 7 - 0 ，即 i m q ( l ) = ! i m ( q 旺) ) ( 2 卜2 ) q 在這系綜中對(duì)一切可能系統(tǒng)的平均值，就是這個(gè)“大”系統(tǒng)化哼o c ) 的宏觀測(cè)量的 平均值。這極限的存在，就是說不同系綜力學(xué)量q 在三一* 趨于同一平均值。這個(gè) 三一* 的極限過程稱為自平均。 在平衡態(tài)還有一個(gè)極限，就是f 一* 導(dǎo)致的平均效應(yīng)，這稱為熱力學(xué)平均。平衡 態(tài)統(tǒng)計(jì)物理測(cè)量的宏觀量力學(xué)是自平均和熱力學(xué)平均，三哼* ，t _ 的極限值。熱力 學(xué)平均是依賴系綜的，對(duì)不同系綜取熱力學(xué)平均得不同的結(jié)果。只有在自平均后才是 不依賴系綜的結(jié)果。 對(duì)于介觀尺度的物理系統(tǒng)，它的線度要口 三 l 。，即遠(yuǎn)大于原子尺寸a ，小于電 子波在該介質(zhì)中的相位相干長(zhǎng)度三，無序介質(zhì)中的相干長(zhǎng)度是依賴于溫度的， l 仃) 隨溫度上升，而迅速減少。按統(tǒng)計(jì)物理，尺寸線度為l ! 的l d 維體積的宏觀物理 量口 坐墮f 糾4f 2 1 州 ( q ) 2 llj 是體系中的特征長(zhǎng)度?？梢姰?dāng)l l ，l o c ： q 一0 ( 2 卜4 ) 即自平均自然地出現(xiàn)。但對(duì)于介觀系統(tǒng)l t ，q 不趨于。不存在自平均效應(yīng)。 這是介觀體系與宏觀體系最根本不同之處。最初把a(bǔ) 三 l ，稱為介觀尺寸，更準(zhǔn)確 地應(yīng)把自平均不存在作為介觀系統(tǒng)的必要條件。 由此可見，在處理存在自平均效應(yīng)的宏觀系統(tǒng)與不存在自平均效應(yīng)的介觀系統(tǒng)， 在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)物理理論方法時(shí)，應(yīng)該特別注意之處 2 1 2 介觀體系力學(xué)量的計(jì)算 量子力學(xué)系統(tǒng)波函數(shù)y ( x ，f ) 描述了系統(tǒng)的狀態(tài)。力學(xué)量是用厄米算子來表示， 力學(xué)量q 的期待值( q ) 是實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得的物理量值。 ( q ) = i q v , a x ( 2 卜5 ) a ( z ，f ) 的演化遵從薛定諤方程：i h 導(dǎo)= h v ( 2 卜6 ) o t h 是量子系統(tǒng)的哈密頓量，設(shè)可規(guī)一化為1 。 量子系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)物理量驢的測(cè)量值實(shí)際上是p 在統(tǒng)計(jì)系綜的平均值。在一定宏觀 環(huán)境條件下運(yùn)作的的量子系統(tǒng)可能存在許多個(gè)微觀狀態(tài)。這些不同微觀狀態(tài)各個(gè)系 統(tǒng)的集合構(gòu)成系綜。力學(xué)的期待值是對(duì)系綜平均，但是，在宏觀平衡的測(cè)量要有足夠 長(zhǎng)的時(shí)間。因此系綜平均是量子的熱力學(xué)平均。在足夠長(zhǎng)時(shí)間下，各態(tài)歷經(jīng)的系統(tǒng)遍 歷到了一切可能的微觀態(tài)。但選擇系綜的條件不同時(shí)，即不同的系綜平均的結(jié)果平均 值并不一樣，只有在熱力學(xué)極限下，各種標(biāo)準(zhǔn)系綜達(dá)到同一平均值。這就是上文所說 的自平均。我們已知道介觀系統(tǒng)不存在自平均，因此我們此處并不引入熱力學(xué)極限。 當(dāng)談到物理量的統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)，指的是在某一特定系綜的熱力學(xué)平均，它們的值依不 同系綜選取而不同。通常采用的是三種標(biāo)準(zhǔn)的系綜即正則系綜，巨正則系綜和微正則 系綜。在講及介觀系統(tǒng)的理論計(jì)算平均值時(shí)，需要指明計(jì)算根據(jù)的系綜。 量子系統(tǒng)的波函數(shù)( x ，t ) 可以用一組正交歸一完備的函數(shù)集中n ，7 = 1 ，2 ， 展開 g ，f ) = c 。o 硫g ) ( 2 1 7 ) 。g ) 可以是一組完全堆集力學(xué)量的共同本征函數(shù)。n 代表這組力學(xué)量的一套量子數(shù)。 力學(xué)量a 的矩陣表示元素為 o 。，= i 尤q 丸出 ( 互卜8 ) a 的期待值( 爿) 寫成( q ) = q cc ： 6 統(tǒng)計(jì)物理的平均值就是上式對(duì)系綜的平均為：a e ，= o cc ： ( 2 卜9 ) 對(duì)系綜的平均c 。c ：記為：p 。，= c 。c ：q 。= a 。p 。 矩陣p = ) 稱為密度矩陣( d e n s i t ym a t r i x ) 。又記= - t r p ，、 q 。= 護(hù)扣( 2 卜l o ) x 表象中有：q g ，x ) = 九g ) q 。以g ) x 表示三維位標(biāo)矢 p ( x ，x ) = 丸g 掃。虻g ) = ( g ，咖x ，r ) ) ( q ) 。= q g ，x 如g ，x ) 出出 ( 2 卜1 1 ) 描述密度矩陣為p 的統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)演化可由薛定諤方程寫出p 所滿足的量z j i o u v i l i e 方程 a p 知= 舊，p 】 阻，b _ ( a b b a ) f h( 2 1 1 2 ) 當(dāng)p 是恒穩(wěn)時(shí)，等= o ，即l d ，h i = o ，p 是能量函數(shù)。反之當(dāng)p 是能量函數(shù)，即 p = ，) ，l d ，h 】= o ，此時(shí)娑= o ，系綜是恒穩(wěn)的( s t a t i o n a r y ) ，根據(jù)l i o u v i l l e 定 理。對(duì)于恒穩(wěn)系綜，在h 表象有： p n 。= w ，6 。?w ，= c ： 可以把p 寫成：p = h 耽( 一l 在x 表象，i p l x ) = z x l ”豫如i x ) = 屯g 妒0 梯g ) ( 2 1 一1 3 ) 現(xiàn)在我們討論統(tǒng)計(jì)物理力學(xué)量的計(jì)算。以q ( x ) 表示物理系統(tǒng)的力學(xué)量，統(tǒng)計(jì)物 理力學(xué)量宏觀測(cè)量量是系綜的平均 q 0 ) 。= f q g l d ，g k( 2 1 1 4 ) 在經(jīng)典系統(tǒng)p ，g ) 是在時(shí)間t 相空間的點(diǎn)密度，它在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)可以i i l i o u v 訂l e 方程和t = 0 的初條件獲得。r 是相空間體積。 平衡態(tài)時(shí)物理上有興趣的量是q 的平衡態(tài)值就是( q ) ，的時(shí)間平均 2 r l i + r a 。二7 1jq f 打 ( 2 1 一1 5 ) 現(xiàn)在知道這極限，! 鯉( q ) ，如果存在，它就是( q ) 。，是可與實(shí)驗(yàn)比較之統(tǒng)計(jì) 1r 物理量a ，l i r a 二7 1jq ，出21 i r a ( q ) ，這個(gè)量是熱力學(xué)平均( t h e r m o a v e r a g i n g ) 。系綜 平均值( q ) ，視取不同系綜而不同，只有當(dāng)假定l o 。存在有自平均時(shí)，對(duì)于幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 系綜才是單一的值。我們從上節(jié)討論知道，宏觀系統(tǒng)自然出現(xiàn)自平均，介觀系統(tǒng)不存 在自平均。 對(duì)于宏觀系統(tǒng)，取熱力學(xué)極限時(shí)，包括，斗。c ，三一。c 自動(dòng)假定了自平均效應(yīng)，幾 種標(biāo)準(zhǔn)的系綜無需指明達(dá)到同一值與實(shí)驗(yàn)值比較。 介觀系統(tǒng)必定是量子體系，因?yàn)樗幕A(chǔ)是量子力學(xué)。系統(tǒng)內(nèi)的粒子遵從量子規(guī) 律。因而我們要面對(duì)的不是經(jīng)典相空間的點(diǎn)密度，需要代之以量子系統(tǒng)本征態(tài)的態(tài)密 度( d e n s i t yo fs t a t e ) ：上面講過量子力學(xué)的統(tǒng)計(jì)物理平均，用密度矩陣p 表達(dá)。 ( q ) ，。= 驢 q p ( 2 卜1 6 ) 將態(tài)密度以q 怛) 表示，對(duì)于能量一定的守恒系統(tǒng)，它的微觀組分的態(tài)對(duì)力學(xué)量的貢 獻(xiàn)為q ( e ) ，q 的平均值 q = i q ( e ) n ( e ) a e ( 2 卜1 7 ) q ( e ) 為規(guī)一化的，即l q 伍姬= 1 2 2 簡(jiǎn)單介觀l c 軍h r l c 電路的波函數(shù)及量子漲落 2 2ll c 介觀電路 由純電感、電容組成的l c 電路如圖2 一l 所示按照經(jīng)典電磁學(xué)理論，該電路的諧 振電流是無噪聲的，或者說它所產(chǎn)生的場(chǎng)是無噪聲的經(jīng)典場(chǎng)其動(dòng)力學(xué)行為等價(jià)于 一個(gè)經(jīng)典諧振子它們的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程及主要結(jié)論對(duì)比如下 c 圖2 1l c 電路 力學(xué)振子與介觀諧振電路對(duì)比圖 力學(xué)振子介觀諧振電路備注 1 ) 運(yùn)動(dòng)微分方程： 一d 2 x + 主：0 粵+上g：od ( 2 2 1 ) d r 2 + 一m 。2t 2 l c 1 出 州魯 ( 2 2 - 2 ) 以2 ”瓦 2 ) 諧振頻率 ：恤 f1 vm牡1 瓦 ( 2 2 - 3 ) 3 ) 能量 e ：去以2 + ；婦z e ：! + 土里二 2 肌52 2 上2c ( 2 2 - 4 ) 當(dāng)用量子物理的方法來處理飩路時(shí)，其動(dòng)力學(xué)行為則等效為一個(gè)量子諧振子 可選用電荷q 以及與之共軛的廣義電流p = 塒作為正則變量，并將它們看作為一 對(duì)滿足正則對(duì)易關(guān)系的線性厄米算符： 瞄，p 】- i h ( 2 2 - 5 ) 根據(jù)量子力學(xué)中的不確定關(guān)系，我們不能以任意的精確度同時(shí)確定不對(duì)易的電 磁場(chǎng)量，這種測(cè)量中的不確定性與電路的噪聲相聯(lián)系按照量子力學(xué)的處理辦法，對(duì) f 電路進(jìn)行量子化處理，即經(jīng)典物理力學(xué)量用相應(yīng)的算符代替，并借助熟知的量子 線性諧振子的結(jié)論，即可得量子化l c 電路的一系列結(jié)論 力學(xué)振子介觀諧振電路 備注 1 ) 哈密頓算符 膏= 去+ 三2 肢2 療：! + 上 2 2c ( 2 2 - 6 ) 2 ) 對(duì)易關(guān)系 瞄，p ；】- i h 瞄，多】- i h ( 2 2 - 7 ) 3 ) 不確定關(guān)系 研+ 珊z 譬麗+ 研等 ( 2 2 8 ) 4 ) 能量本征值和波 e = 一( ”+ 吉) 虬= m e _ 2 l a 2 ，2 以( 口。) ( 2 2 - 9 ) 函數(shù)為 ( 月= o , 1 ，2 ，j 3 ) 等中帆= 廄一癢一壓膩那靠，向?qū)?。等?形式上的對(duì)應(yīng)就不難理解上述結(jié)果顯然，l c 電路的能量是量子化的，其最小能量 為； m ，稱之為零點(diǎn)能零點(diǎn)能的存在是不確定性的必然結(jié)果 2 2 2 介觀r l c 電路的量子化與量子漲落 對(duì)于一個(gè)與電壓源5 0 ) 串聯(lián)的r l c 電路( 見圖2 2 ) ，它的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程可以寫成為 r 害+ r 魯+ 吾= s ( f ) 式中l(wèi) 是電感，r 是電阻，c 是電容，s ( r ) 是電源從式中可以看出，在電荷隨時(shí)間的 變換過程中回路中有四種能量的變化：電源引起的回路中能量的增加巨= 一g 占( r ) ： 電容儲(chǔ)能e ：= 而q 2 ：電感儲(chǔ)能易= 互1 ( 魯 2 ，電阻的能量損耗 e = 月魯g = 吉r 卜害+ 魯g ) 故電路中總能量的變化覿 e = 矗+ 鑫油+ 卵) + 嘉一。s ( f ) ( z z - 9 ) 這里電荷g ( f ) 代替了通常的“坐標(biāo)”，它的共軛變量p ( r ) = 工魯代替了通常的“動(dòng) 量”與經(jīng)典簡(jiǎn)振子的量子化方法相類似，按照通常的量子化方法，一對(duì)可觀測(cè)量p 和 q 寫成一對(duì)線性厄米算符p 和辱，并且它們之間滿足對(duì)易關(guān)系瞄，別= i h 這樣我們就 實(shí)現(xiàn)了有源r l c 電路的量子化量子化后該體系的哈密頓量可以寫成為 療= 瓦2 + 會(huì)( 講；) + 而q - 一秘( r ) ( 2 2 _ 1 0 ) 顯然將( 2 2 2 ) 式代入到推廣哈密頓正則運(yùn)動(dòng)方程譬；一罷中，就能得到 ( 2 2 - 9 ) 式 當(dāng)未接電源時(shí)即o ) = 0 ，由( 2 2 一l o ) 式可得到這時(shí)體系的哈密頓量為： 威= 爰+ 轟+ ) + 面2 ( 2 2 - 1 1 ) 算符h o 的本征方程鼠j 虬) = e 。1 妒。) 可以精確求解為此引入幺正變換 5 ) = e x p ( ，去2 ) 利用量子力學(xué)公式。西舵一面：雪+ 旯陋，臺(tái) + 丟陋，盼，豆l + 則( 2 2 1 1 ) 式可化簡(jiǎn)為： 膏；= 洶。d = 等+ 1 ，l e 0 2 0 2 ( 2 2 1 2 ) 式中國(guó)= l r 2 c 三，2 夕幺萬為無耗散即電阻為零時(shí)。c 電路的共振頻 率( 2 2 1 2 ) 式正是一線性簡(jiǎn)振子的哈密頓量，因此哈密頓量療：的本征方程不難求 得，能量和波函數(shù)也能一并求出，這樣就能得到未接電源時(shí)r l c 介觀電路系統(tǒng)的能級(jí) 為 恥卜凈。= 2 ，3 ) ( 2 2 - 1 3 ) 與此相應(yīng)的體系的定態(tài)歸一化波函數(shù)為： 啪) 打圳= ( 高e x ( 一，轟。2 e 坤h 2 9 2 一( 叼) 其中”：o ，1 ，2 ，3 ，口= 、竽，h 。( g ) 為厄密多項(xiàng)式，由( 2 2 1 3 ) 式可見，這體系 的零點(diǎn)動(dòng)能為日= 蘭a 以從此可以看出，介觀r l c 電路的量子特征來源于低溫下電路 系統(tǒng)的零點(diǎn)振動(dòng)，即使在絕對(duì)零度，熱力學(xué)漲落完全消失時(shí)，系統(tǒng)仍有零點(diǎn)振動(dòng) 繹過量子力學(xué)的求力學(xué)量平均值公式計(jì)算可以得出，在體系處于任意本征態(tài) 虬( g ) 時(shí)，電路中電荷、電流的平均值和方均值。 一厲 q ：09 2 ：蘭1 = ：竺一( 2 n + 1 ) ( 2 2 - 1 4 ) 2 一r2 c 石= op 22 三去殺裔( 2 川) o = o ，l ，2 ，3 ) 所以在體系的任意本征態(tài)兒( 可) 下，則有： 厲 ( g ) 2 = q 2 一0 2 = 詈下些壽+ 1 ) l r c ( 卸) 22 p 2 _ ( p ) 22 蘭老型裔( 2 川)o ：o ，l ，2 3 。) ( 9 ) 2 + ) 2 = 等f 蘭吾( 2 一+ 1 ) 2 ( 2 2 - 1 5 ) 葉l r c 由此可見，在量子化后的介觀有源r l c 電路中，未接電源時(shí)，在體系的任意本征 態(tài)下，回路中的電荷、電流都存在量子漲落，其漲落的大小依賴于回路參量r 、l 、 和c 的取值以及體系所處的狀態(tài)( 即n 的取值) 特別，當(dāng)體系處于基態(tài)= 0 ) 時(shí)，這時(shí) 回路中電流和電荷的量子漲落從( 2 2 一1 5 ) 式變?yōu)椋?陽) 2 ) 22 等亡舞等 ( 2 2 - 1 6 ) 在電阻為零，即r = 0 ，”= 0 時(shí)( g ) 2 + ) 2 = 冬，這關(guān)系就是通常所說的不準(zhǔn) 關(guān)系( 不確定性原理) 2 3 小結(jié) 綜上所述：我們從經(jīng)典的l c l i r l c 電路的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，按照通常的正則量子化 方案并通過幺正變換，求得了體系的定態(tài)波函數(shù)和相應(yīng)的本征能量，給出了體系處于 任意本征態(tài)時(shí)電路中電荷、電流的量子漲落以及兩者之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。結(jié)果表明： 介觀電路中電荷和電流存在量子漲落，這種量子效應(yīng)是由于系統(tǒng)零點(diǎn)振動(dòng)的漲落而 引起的。這種漲落在其它介觀電路中將普遍存在，研究這些介觀電路的量子效應(yīng)， 對(duì)于進(jìn)一步設(shè)計(jì)微小電路、降低噪聲有一定的實(shí)際意義。 本章在簡(jiǎn)述了介觀物理的發(fā)展背景之后，主要介紹了自2 0 世紀(jì)9 0 年代以來，介觀 電路量子力學(xué)效應(yīng)研究的一些新進(jìn)展這里需要指出的是，研究一些介觀電路的宏 觀量子力學(xué)效應(yīng)，對(duì)于人們進(jìn)一步設(shè)計(jì)微小電路、壓低噪聲影響，將會(huì)具有一定的 實(shí)踐意義誠(chéng)然，在介觀電路中除了考慮電路的量子效應(yīng)外，還應(yīng)考慮電路元件本 身的量子效應(yīng)，然而作為研究工作的初期，首先考慮電路的量子力學(xué)效應(yīng)( 其中包括 如何將介觀電路量子化) ，也是會(huì)具有十分重要的實(shí)踐意義的我們認(rèn)為，量子力學(xué) 效應(yīng)在介觀電路中將會(huì)普遍存在，值得人們?nèi)ド钊爰?xì)致的研究另外，就量子力學(xué) 本身的發(fā)展而言，人們需要更加關(guān)心經(jīng)典世界和量子世界交流和溝通的基本問題， 這方面包括半經(jīng)典物理和介觀物理等領(lǐng)域的研究，它們可能孕育著2 1 世紀(jì)重大的科 學(xué)突破 e h 于其尺寸的微小，介觀電路有別于常規(guī)電路而表現(xiàn)出明顯特征對(duì)介觀電路 的研究方法，一般是把介觀電路的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程與“嫩標(biāo)”是電荷的諧振子做類比， 然后將其正則量子化用此方法人們已經(jīng)研究了不同情形下的介觀電路的量予特性 從一般無耗散的介觀電路研究到有耗散的介觀電路，從無源的介觀電路到有源的介 觀電路另外，還研究了多個(gè)耦合電路的量子效應(yīng) 第三章哈密頓量對(duì)角化 前言 我們知道，對(duì)于物理學(xué)的很多體系來說，求出體系的哈密頓量一般不那么容易， 即使求出系統(tǒng)的哈密頓量也是比較復(fù)雜，為了問題的得到解決，就需要對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn) 常用的方法就是要對(duì)哈密頓量對(duì)角化，同樣的哈密頓量的化簡(jiǎn)在介觀電路中也占有 很重要的地位本章就介紹一般形式哈密頓量的對(duì)角化，作為基礎(chǔ)知識(shí)這里介紹二種 方法：玻戈留波夫變換與耦合的線性諧振子的對(duì)角化和運(yùn)用幺正變換進(jìn)行哈密頓量 對(duì)角化 3 1 玻戈留波夫變換與耦合的線性諧振子的對(duì)角化 玻戈留波夫變換是用來在占有數(shù)表象中解除耦合的一種方便方法，為便于理解， 我們不妨對(duì)在坐標(biāo)表象中哈密頓量的對(duì)角化進(jìn)行分析 1 坐標(biāo)表象的對(duì)角化 以兩個(gè)一維諧振子禍臺(tái)為例，設(shè)更哈密頓量由f 式給出： = 去( p ? + p ；) + 丟耐k + x ；) 一椰z 其中旯為耦合參數(shù)為將上式對(duì)角化，其實(shí)質(zhì)就是把( 3 此，( 3 i - i ) 式改寫為 日= 如如捌+ 扣：乏，- 五i i x , ： ：1 p + p + 三爿+ e a 2 m2 聊= 小斟e(cuò) - ( 要： ( 3 i - 1 ) 卜1 ) 式化為標(biāo)