（理論物理專業(yè)論文）量子系統(tǒng)中的熵與糾纏.pdf

o 1中文摘要 近年來，量子熵理論在量子物理特別是在量子光學和量子信息學領域中 的廣泛應用，受到人們的極大關注它是理解和研究量子計算、量子通信、 量子隱形傳態(tài)、量子測量、量子糾纏等熱點課題的理論基礎和有力工具。光場 和原子的壓縮以其具有重要的應用價值引起了人們的廣泛研究最近文獻 1 6 i 提出的信息熵測不準關系為高靈敏量度光場與原子的壓縮效應提供了新的理 論根據 本文運用量子熵理論著重研究了量子系統(tǒng)中的糾纏，此外還探討了量子 力學通道、二粒子隱形傳態(tài)的熵描述及原子信息熵壓縮等問題，具體內容如 下： 第一章簡要地介紹了有關量子熵與糾纏的基本概念和理論第二、四、五 章運用量子熵理論研究了量子系統(tǒng)中的熵動力學性質與量子糾纏性質其中 第二章研究了雙模壓縮真空態(tài)在特定環(huán)境( 原子) 下的退相干和糾纏這里不 但討論了原子和雙模壓縮真空態(tài)的糾纏，而且討論了雙?？s真空態(tài)在與原子 作用過程中兩個模間的糾纏通過討論模i 目7 4 纏和保真度，發(fā)現(xiàn)了雙模壓縮真 空態(tài)在原子作用過程中仍保持較高的糾纏度和保真度本章的工作對量子計 算和量子通訊有重要的意義；第四章研究了兩維囚禁離子系統(tǒng)中量子糾纏，提 出了兩束激光和囚禁離子相互作用的理論摸型，利用該模型的晗密頓量既討 論了系統(tǒng)內外自由度( 離子和振動聲子) 間的糾纏性質，又創(chuàng)新地用量子相對 熵研究了振動聲子兩個自由度間的糾纏研究發(fā)現(xiàn)：盡管振動聲子兩個自由 度間沒有發(fā)生相互作用，但由于離子和振動聲子的作用，從而導致了兩個自由 度i h - j 2 q 纏的改變，并且首次從理論上揭示了離子一振動聲子糾纏與振動聲子兩 個自由度間糾纏的關系此外還討論了系統(tǒng)的初態(tài)對糾纏的影響；第五章研究 了在雙光子非線性j - c 模型中非線性作用對原子一雙模場及場模間糾纏的影 響，探討了原子崩塌回復和糾纏之間的關系。研究結果顯示；當類k e r r 介 i i i 質不存在時，結果類似第四章的結果，原子和光場的糾纏及雙模場之間的糾纏 沒有周期性然而當類k e r r 介質存在時糾纏呈現(xiàn)出周期性本章中的另一個 新發(fā)現(xiàn)是：在原子崩塌和回復時間區(qū)域內對應著特定的糾纏第三章將0 h y a 的互熵理論引入到原子和雙模壓縮態(tài)光場的雙光子相互作用過程的研究，給 出了原子互熵的表達式，發(fā)現(xiàn)原子量子力學通道具有周期開關特性，并討論了 壓縮因子對量子力學通道的影響第六章提出了實現(xiàn)量子信息熵壓縮的一種 新方案該方案容易在實驗上實現(xiàn)，是實現(xiàn)原子壓縮的一條有效途徑第七章 給出了如何對兩個二能級粒子的任意純態(tài)進行量子隱形傳送，并用熵理論對 此作了解釋第八章是本文的總結和對有關問題的展望 關鍵詞：量子熵理論，量子糾纏 干，量子隱形傳態(tài)，量子信息熵壓縮 c u m m i n g 模型 囚禁離子，雙模壓縮真空態(tài)，量子退相 量子力學通道，雙光子非線性j a y n e s o 2 英文摘要 a b s t r a c t e n t r o p ya n de n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u ms y s t e m w a n gc h e n g z h i d i r e c t e db yp r o f e s s o rf a n gm a o - f a d e p a r t m e n to fp h y s i c s 、h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ，c h a a g s h a ，4 1 0 0 8 1 ，c h i n a l n r e c e n t l y c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h ea p p l i c a t i o no fq u a n t u m e n t r o p yt h e o l yi nq u a u t n mp h y s i t s s p e c i a l l y i nq u a n t u mo p t i c sa n dq u a n t u mi l l f o r m a t i o n q u a n t u me m r o t wt h e o l yi s t h ei b m l d a t i o na n dp o w e r f u lt o o li nu n d e l s t a n d i n ga n ds t u d y i n gs u c b p r o b l e m sa sq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u m c o m m u n i c a t i o n ，q u a u t u mt e l e p o r t a t i o n q n a n t n u lm e a s u r e m e n ta n dq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h es q u e e z i n go ft h ef i e l da n da t o mi n t e n s i v e l ys t u d i e dd u et oi t sp r a c t i c a la p p l i c a 。 q o n 、t h er e f e r e n c e 1 8 p r e s e n t e dt i ms q u e e z i n gt ! m o r yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o nf o ra h i g hs e n s i t i v em e a s u r e m e n to ft h es q u e e z i n ge f f e c t so ft h ef i e l da n da t o m i nt h i st h e s i s q u a n t u me n t r o p yt h e o r i e sa r ea p p l i e dt os t u d yq u a n t u m e n t a n - g l e m e n ta n do t h e rp r o b l e m s ：q u a n t u mc h a n n e l 、t w o p a r t i c l et e l e p o r t a t i o na n d i t s i n t e r p r e t a t i o ni nt e r m so fe n t r o p y 、q u a n t u mi n f o r m a t i o ns q u e e z i n go fa t o ma n d s oo i li nq u a l l t u l ns y s t e m s t i l et h e s i si ss t r u c t u r e d “f o l l o w s ： l nt h ef i r s t c h a p t e r q u a n t u me n t r o p yb a s a lc o n c e p t i o na n dr e l a t e dt h e o r i e s “ec o n c i s e l yi n t r o d u c e d i nt h ec h a p t e r2 4a n d5 t i l ee n t r o p i cd y n a m i c sa n d t i mp r o p e r t i e so fe n t a n g l e m e n ta r ei n v e s t i g a t e di nq u a n t u ms y s t e m i nt h e2o f t h e s ec h a p t e r s ，t h ed e e o h e r e n c ea n de u t a a t g l e m e n to ft h et w o m o d es q u e e z i n gv a c 。 u u ms t a t ea x es t u d i e du n d e rt h ei n f l u e n c eo ft h es p e c i a le n v i r o n m e n t ( a t o m ) ，n o t i v o n l yt h eq u a n t u me n t a n g l e n i e n tb e t w e e nt i ma t o l na n dt w o - m o d es q u e e z i n gv a e u u l n s t a t ei ss t u d i e d b u ta l s ot h eq u a n t u n ie n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w om o d e so ft h et w o m o d e l i g h tf i e l ds t a t ei ss t u d i e db y t h es t u d y i n go f q u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e n t w om o d e so ft h et w o - m o d e l i g h tf i e l ds t a t ea n df i d e l i t yo ft h et w o m o d el i g h tf e l d s t a t e ，w ef i n dt h a t i ft h ei n i t i a lc o n d i t i o n so ft h es y s t e ma r ep r o p e r l ys e l e c t e d ，t h e t w o m o d es q u e e z i n gv a c u u l ns t a t eu s e di nq u a u t u n lc o n m m n i c a t i o ns t i l lk e e p sh i g h d e g r e eo fe n t a n g l e m e n td u r i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o ma n dl i g h tf i e l d w h i c h i ss i g n i f i c a t i v et oq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ；i nt h ec h a p t e r 4 q u a n t u me n t a n g l e m e n t i nat w o d i m e n s i o n a li o nt r a pi s i n v e s t i g a t e d h it h i sc h a p t e r t h em o d e lo fb e t w e e n t w ol e a s e r sa n dat r a p p e di o ni s p r e s e n t e d t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e s o ff r e e d o mi si n i t i a l l yi n v e s t i g a t e db yu s i n gq u a n t u mr e l a t i v ee n t r o p y i na d d i t i o nt o t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e so ff r e e d o m ( i o na n dp h o n o n ) t h ef i n d i n g s g i v et h a te n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e so ff r e e d o mo ft h ep h o n o nv a r i e sw i t h t i m e ，a l t h o u g ht i m r ei s n oi n t e r a c t i o nb e t w e e nt h et w od e g r e e so ff r e e d o m ，a n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h et w oe n t a n g l e m e n t si sd i s c o v e r e df o rt i mf i r s tt i m e m o r e o v e r ， t h ef i n d i n g sa l s os h o w st h a ts y s t e mi n i t i a ls t a t e e n t a n g l e m e n th a sv a s ti n f l u e n c e o nt i l et w oe n t a n g l e m e n t s ；i nc h a p t e r5 ，t h ei n f i u e n e eo fn o l i n e a ri n t e r a c t i o no ne l i t a n g l e m e n ta n dt h er e l a t i o nb e t w e e na t o m i cc o l l a p s e - r e v i v ea n de n t a n g l e m e n ta r e d i s c u s s e di nt w o m o d en o l i n e a rj - cm o d e l t h ef i r s tr e s u l t g i v e st h a tw h e nt h e k e r ri n e d i u n id o e sn o te x i s t ，t h ef i n d i n g si st i l es a m e 培t h e s ei nt h ec h a p t e r4 b u t w h e nt h ek e r rm e d i u me x i s t s ，e v o l u t i o n so fe n t a n g l e m e n t sa r ep e r i o d i c a n o t h e r n e wr e s u l ti st h a tt i m ew h e na t o l ni s c o l l a p s i n ga a dr e v i v i n gc o r r e s p o n d st ot i m s p e c i a le n t a n g l e m e n t o h y am u t u a le n t ! o p i ct h e o l - yi si n t r o d u c e di n t ot h es t u d yo n t h et w o - p h o t o np r o c e s so fa t o ma n dt w o - m o d es q u e e z i n gv a c u u ms t a t ei n c h a p t e r 3 t h ee x p r e s s i o no fa t o m i cm u t u a le n t r o p yi s d e r i v e d p e r i o d i c i t yo f t h eq u a n t u m m e c h a n i c a lc h a n n e li sd i s p l a y e d ，a n dt h ei n f l u e n c eo f s q u e e z i n gc o e f f i c i e n to n a t o m i c m u t u a le n t r o p yi s i n v e s t i g a t e d ；c h a p t e r6g i v e sas c h e m ef o rr e a l i z i n gt h es q u e e z i n g v i o fa t o m i ci n f o r m a t i o ne n t r o p yi s b r o u g h tf o r w a r d t h i ss c h e m ei se a s i t ye x d e r i m e n t a l l yp e r f o r m e da n di sae f f e c t i v ea v e n u et or e a l i z et h ea t o m i cs q u e e z i n g ；i n c h a p t e r 7 ，as c l m m et b rq u a n t u l nt e l e p o r t a t i o no ft w o p a r t i c l ea r b i t r a r yp u r et w o 1 e v e l s t a t e s i sp r o p o s e d ，w h o s ei n t e r p r e t a t i o ni nt e r m so f q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sg i v e nb yu s i n g q u a n t u me n t r o p yt h e o r y ；i nt h el a s tc h a p t e r s u m m a r yo ft h et h e s i sa n d p r o s p e c to f m yw o r k su eg i v e ni nb r i e f k e yw o r d s ：q u a n t u me n t r o p yt h e o r y q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t r a p p e di o n t w o 。m o d es q u e e z i i f g v a c u u n l s t a t e q u a l l t i u l l d e e o h e r e n c e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n e n t r o p i cs q u e e z i n g ，( u a n t u n lm e c h a n i c a lc h a n n e l 致謝 2 我非常感謝方卯發(fā)教授對本文的悉心指導和三年來對我的傾心教導! 在 湖南師范大學理學院三年的學習和研究中，我被導師方卯發(fā)先生對我高度負 責的態(tài)度所感動在學習上，他要求我精益求精，遇到難理解的東西一定搞明 白；在論文寫作上，導師嚴格要求，任何疏忽，即使是很小很小的疏忽也不要 放過。對我的每一篇論文，他閱讀多遍，然后提出一些好的建議，修改多次， 直到滿意為止，我想作為院領導的他，在繁忙的工作中能作到這一點，確實使 我很感動；在生活上，導師熱心地關心我我很幸運成為方教授的學生，他突 出的科研能力、淵博的學識、踏實的工作作風、豐富的創(chuàng)新精神永遠為我景仰 和追求，在此，我對我的老師一方卯發(fā)教授致以最衷心的感謝和誠摯的敬意! 在理學院學習期間，我還得到顏家任、海文華、匡樂滿等教授的指導，在 此一并表示深深的感謝! 最后，我非常感謝我的父親和我的母親，感謝他們對我的養(yǎng)育之恩和對我 學習的支持特別是我的母親，在父親生病生活無法自理的情況下，她一如既 往地支持我的學習在此，我向我的母親表示深深的歉意和感謝! 王成志 二零零二年三月 湖南師范大學理學畦 第一章量子熵與糾纏的基本概念和理論 物理概念及理論都是逐步深入的，量子熵的概念和理論也不例外它的發(fā) 展大致經歷了以下幾個階段 一九三二年， c o nn e u m a m l 首先將玻爾茲曼經典熵推廣到量子熵一九 八九年，p h o e n i x 和k n i g h t ( p k ) 首先用v o nn e u m a n n 量子熵研究了光場與 原子相互作用時兩者之間糾纏的動力學性質，深刻地揭示了雙量子系統(tǒng)量子 糾纏的動力學本質；一九八三年至一九九八年0 h y a 等提出的量子互熵理論是 量子通訊領域研究量子力學通道傳遞信息能力的有用工具，它是把經典通訊 理論推廣到量子領域的重要嘗試；隨著量子信息學的飛速發(fā)展，于一九九六 至一九九七年期間c e r f 和a d a m i 等人把經典通信熵理論成功地推廣到量子領 域，提出了量子信息熵理論( 內容包括量子條件熵、量子互熵等) ，從而實現(xiàn) 了熵理論從經典領域到量子領域的巨大飛躍，為理解和解決量子計算、量子通 信、量子隱形傳態(tài)、量子測量等問題提供了理論基礎，大大促進了量子物理特 別是量子信息學的發(fā)展；量子熵另一個重要的應用是度量各子系間的糾纏程 度，雖然量子約化熵理論能很好地度量兩體純態(tài)系統(tǒng)中子系間的量子糾纏，但 對于兩體混合態(tài)系統(tǒng)子系間的糾纏不能用它來度量一九九七年左右，v e d r a l 和p l e n i o 等提出了量子相對熵糾纏理論量子相對熵糾纏度不僅可以用來度 量兩體混合態(tài)系統(tǒng)兩子系間的量子糾纏，而且在量子測量和量子信息處理領 域起著很重要的作用；光場和原子的壓縮是量子光學研究的重要內容之一 通常人們從海森堡測不準關系來研究光場和原子的壓縮，但在一些特殊的情 況下，海森堡測不準關系是平庸的，不能提供任何壓縮信息最近，文獻f 1 6 1 提出的信息熵測不準關系為高靈敏量度光場與原子的壓縮效應提供了新的理 論根據目前，量子熵理論在量子信息研究領域正在發(fā)揮越來越重要的作用 在本章中，我們簡要回顧量子熵與糾纏的有關概念和基本理論 一、v o nn e u m a n n 熵和v o nn e u m a n n 約化熵 在量子信息理論中，量子信道不僅可以用來傳輸經典信息。而且可以傳輸 量子熵與糾纏的基本概念和理論 2 量子信息因此在量子信息中，有兩個問題需要解決：一是如何有效地傳輸經 典信息；二是如何有效地傳輸量子信息，這兩個問題都與v o nn e u m a n n 熵有 關v o nn e u m a n n 熵是量子通訊領域中最基本也是最重要的概念，其地位與 經典信息理論中的s h a n n o n 熵的地位相當基于密度矩陣，以量子態(tài)為研究對 象，v o nn e u m a n n 熵( 以后簡稱熵) 的定義為 1 】 s ( p ) = - t r p l 0 9 2p ) ，( 1 1 ) p 是量子系統(tǒng)的密度矩陣如果九是p 的本征值， c o nn e u m a n n 熵可表示為 s ( p ) = 一i ：, 1 i l 0 9 2 k ( 1 2 ) t 對于兩體系統(tǒng)，一子系a 的約化v o nn e u m a n n 熵( 簡稱約化熵) 用子系的矩陣 p 定義為 s ( p a ) = - t r a 缸 l 0 9 2p a ，( 1 3 ) t r 表示對a 的自由度求跡，如果p 在對角基中表示為p a = 。p ( q ) l a ) ( ql ， v o nn e u m a r m 熵等于經典熵： h ( a ) = 一芝：p ( o ) l 0 9 2 n ( 1 4 ) o 對a 作幺正變換，其v o nn e u m a n n 熵保持不變，類似經典熱力學中，b o l t z m a n 熵在可逆變換時保持為常數的情形由于在量子力學中只允許幺正演化，所以 孤立系統(tǒng)的v o nn e u m a n n 熵保持不變在量子信息理論中， c o nn e u m a n n 熵 有以下兩點重要應用，一是定量地表示了量子信源的性質，描述了通過信道忠 實地傳送每個信源號編碼所需碼的平均最小量子位數目；二是 c o nn e u m a n n 約化熵是兩體純態(tài)系統(tǒng)子系間的糾纏程度的量度，揭示了子系統(tǒng)之間相互作 用中表現(xiàn)出的量子特性一量子糾纏 v o n n e u n m n n 熵的性質 ( 1 ) 非負性，s ( p ) 0 當且僅當系統(tǒng)是純態(tài)時，熵為零 從性質( 1 ) 看出v o nn e u m a n n 熵量度了對純態(tài)的偏離一個有幺正算符 支配的量子系統(tǒng)，密度算符的本征值不變，系統(tǒng)仍保持原先的純態(tài)或混合態(tài) 從物理意義上講，盡管子系間存在相互作用，但整個系統(tǒng)是封閉的，因此系統(tǒng) 的熵不改變；但子系的熵隨時間變化從操作上看，求跡操作是非幺正操作， 量擅墨型繽鰒差查煎塞塑壟迨 3 從物理上看，子系不是封閉的，熵變化是必然的對于兩體純態(tài)系統(tǒng)，子系a 或b 的熵演化反映了a 和b 之間的糾纏情況，這意味著量子態(tài)在完全隨機的 情況下，信息量最大 ( 2 ) 在d 維希爾伯特空間中，熵的最大值為1 0 9 2 d ，當且僅當所有本征值 相等時取得 ( 3 ) 凹性 s ( k 以) 。s ( 砒 ( 1 5 ) lt 式中b 0 ，：a i = 1 上式表明混合態(tài)的不確定性不小于各分態(tài)的平均不確 定性，態(tài)的混合引起熵的增加 ( 4 ) ，次加性 兩個子系組成的復合系統(tǒng)a b 處于密度矩陣p 描述的態(tài)，a 和b 的密 度矩陣分別為p 。和p b ，當p 4 口= p 。o p 且時， s ( p 4 日) = s ( p 1 ) + s ( p b ) 一 ( 1 6 ) ( 5 ) 三角不等式 a ，b 兩個子系統(tǒng)構成的符合系統(tǒng)，它們的熵滿足下面三角不等式【2 i s ( p 4 ) 一s ( p b ) l s ( p a b ) s ( p a ) + s ( p b ) ( 1 7 ) 上式當且僅當a 和b 退糾纏時取等號若兩個子系是糾纏的，則s ( p ) s ( 肌) + s ( p s ) ，這是因為信息被編碼( 隱藏) 在兩部分的糾纏中，即非定域的量子關聯(lián) 中，任何局部操作都不能提取出編碼在其中的信息，這是量子信息不同于經典 信息的一個顯著特征之如果兩體系統(tǒng)是純態(tài)，子系的熵相等，即s ( p a ) = s ( p s ) 如果將全系統(tǒng)a b 制備在一個純態(tài)，從上面的討論可知：s ( p a b 】= 0 ， 但是s ( p r ) 0 ，( i = a ，b ) ，其結果一般地有s s ( p a ) + s ( p s ) 不同于熱力學 中熵的可加性原因是子系統(tǒng)的約化熵s ( p f ) 產生于在對子系統(tǒng)變量進行求跡 操作時忽略了子系統(tǒng)a 與b 之間的關聯(lián)由于當構造s ( j d ，) 時丟失了信息， 不能從子系統(tǒng)熵的知識重新構造s ( p a s ) ( 6 ) 假定p = ，p i p i ， p d 是概率分布，p i 是密度算符集，定義日( p ；) e 4 。p l 0 9 2 弘，則 s ( p ) 月( p i ) + p ；s ( 擾) ( 1 8 ) 1 ( 7 ) 聯(lián)合熵定理 3 協(xié)) 是概率分布，( 1i ) ) 是系統(tǒng)的正交態(tài)，m ) 是系統(tǒng)的任意密度算符 集，則 s ( p ii i ) “l(fā)o 肌) = h ( p i ) + p s ( p ：) ( 1 9 ) il 測量和v o nn u m a n n 熵 對一個量子系統(tǒng)測量時，這個系統(tǒng)熵的行為如何呢? 顯然依賴測量的方 式設 p ) 是投影算符的完全集，測量以后系統(tǒng)算符p 只p 最的熵滿足 s ( p ) s ( p )( 1 1 0 ) 這說明測量后系統(tǒng)的熵不會減少，即信息不會丟失 二、量子條件熵和量子互熵 用密度矩陣( 量子信息論) 代替概率( 經典信息論) ，兩體系統(tǒng)的量子互熵 定義為 4 】： s ( p a ：b ) i t 7 c o a b i n p a ：b i s ( a ) + s ( b ) 一s ( a b )( 1 1 1 ) 式中p a ：b 為互振幅算符： 肌且= ，旦 ( 肌。p b ) 1 p 們- 1 “】“ ( 1 1 2 ) 量子條件熵定義為 4 ： s ( a b ) ；一t r a b p a bl 0 9 2p a i b 】 j s ( a ，b ) 一s ( b ) ， 表示以b 為條件，a 的v o nn e m n a n n 熵式中， 。p a l b = 撬陋始( 1 a 。p 口) 。1 7 “ ” 是條件密度矩陣，是從經典信息論中條件概率p 。1 6 在子系統(tǒng)a 的希爾伯特空間的單位矩陣 量子互熵和量子條件熵的基本性質 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 j 錯類比而來，1 a 是 量塑里型堡塑薹查塑叁塑堡途 5 ( 1 ) 物理意義：量子互熵s ( a ：b ) 表示系統(tǒng)a 、b 共有的信息；量子條 件熵s ( aib ) 表示收到b 后a 的不確定性 ( 2 ) 系統(tǒng)的密度矩陣為對角矩陣時，量子條件熵和量子互熵回到經典情 況 ( 3 ) 量子條件熵( alb ) 和( bla ) 、量子互熵s ( a ：b ) 、v o n n e u m a n n 熵s ( a ) 、s ( b ) 及s ( a b ) 的關系( v e n 熵圖) s ( a )s ( b ) ( 媯ab r i i i ) 圖1 1 ：( a ) i z t - 子系統(tǒng)的v e n 熵圖( b ) 雙自旋i l ，二量子比特粒子在三種情形 下的v e n 熵圖( i ) ，兩粒子獨立；( i i ) ，兩粒子經典關聯(lián)；( 1 l i ) ，兩粒子量子纏 繞 考慮2 個量子位的復合系統(tǒng)a b 處于糾纏態(tài)e p r 態(tài)j 西+ ) = 去( 10 0 ) + i 1 1 ，s ( a ，b ) = 0 ，s ( a ) + s ( b ) = l b i t s ( aib ) = s ( a ，b ) 一s ( b ) = 一l b i t ( v e n 熵圖如圖1 1 ( b ) ( i i i ) ) 在經典通信理論中條件熵不能取負值，這是量子信息區(qū)別于經典信息的 另一個顯著的特征量子量子條件熵和經典條件熵的這種差異與量子糾纏和 量子態(tài)潛在的非正交性有關?？梢宰C明：量子條件熵取負值是兩個系統(tǒng)a 、 b 相互糾纏的充分條件，即量子條件熵為負值，系統(tǒng)一定是糾纏的：這個突出 的特征實現(xiàn)了經典關聯(lián)與量子糾纏的統(tǒng)一描述并且在密度矩陣為對角矩陣 的條件下，量子條件熵過渡到經典條件熵 量子熵與糾纏的基本概念和理論 6 多體系量子互熵和量子條件熵 作為兩體系統(tǒng)的推廣，三體系統(tǒng)量子互熵和量子條件熵為： ( 1 ) 1 條件熵：s ( aj b c ) = s ( a b c ) 一s ( b c ) 意義：知道b 、c 后，a 尚留的不確定性 s ( b1a c ) = s ( a b c ) 一s ( a c ) 和s ( cjb a ) = s ( a b c ) 一s ( b a ) 的表達式和意 義類似得出 ( 2 ) 互熵ts ( a ：b ：c ) = s ( a ：b ) 一s ( a ：ble ) 意義：a 、b 、c 共有的信息量 ( 3 ) 條件互熵：s ( a ：bfc ) = s ( aig ) 一s ( afb c ) 意義：知道c 后a b 尚留的不確定性 與s ( a ：b c ) 類比可得出s ( a ：c b ) 、s ( b ：cla ) 的表示式和意義 ( 4 ) 更一般地，多體系統(tǒng)的熵關系可以寫成量子熵的“鏈條”形式t s ( a 1 a 2 a 3 a 。) = s ( a t ) + s ( a 2ia t ) + s ( a 3la 1 a 2 ) + ( 1 1 5 ) s ( a l a 2 a 3 afb )= s ( 1jb ) + s ( a 2 ：b a 1 )( 11 6 ) + s ( a 3 ：b | 4 i a 2 ) + ( 1 1 7 ) ( 5 ) 多體系統(tǒng)中量子熵的不等式 5 】： s ( a ，b ，c ) + s ( b ) ss ( a ，b ) + s ( b ，c ) s ( a ) + s ( b ) s ( a ，c ) + s ( b ，c ) s ( aa ，a 2jb l b 2 ) ss ( a i 日1 ) + s ( a 2i 口2 ) s ( a l ，a 2 ，b t ，b 2 ) + s ( b 1 ) s ( a l ，b 1 ) + s ( a 2 ，b 1 ，b 2 )( 1 1 8 ) 三、量子相對熵 相對熵在經典信息論中描述兩個概率分布的可分辨性用密度矩陣代替 概率分布，可把相對熵推廣到量子的情況設a 和p 是兩個密度算符，定義p 相對一的量子相對熵為【3 8 】： s ( p | i 口) t r i p ( 1 0 9 2 p l 0 9 2 d ) 】 ( 1 1 9 ) 量子相對熵有很多有用的性質首先，量子相對熵滿足一些有用的不等式， 這些不等式為其它不等式的推導提供了基礎，為量子信息處理提供了理論基 量圣煎蘭型堡塑薹查墊叁至! 理迨 7 礎；量子相對熵對量子態(tài)統(tǒng)計可區(qū)分性有很自然的解釋；量子相對熵在量子信 息中有重要的應用 量子相對熵的性質 量子相對熵有下列性質f 5 ( 1 ) s ( pi l 0 當且僅當p = 0 - 時等號成立 ( 2 ) s ( pl lc r ) 0 ，p k = 1 ，p k 和口是密度算符，p = k p k p k ， 貝0s ( p 口) = e 女p k s ( p e | | 口) 一女p k s ( p k | | p ) ( 6 ) s ( ：p i p p i 。p i p p i ) = ：( a ?。?p i z p l ) 這里，脅是正交投影算子 集，即p l p j = d i i p i ( 7 ) s ( p o p 。) i l 口o p 。) = d ( pi i 口) ，p 。是任意投影算子 從以上的定義和性質可以看出，量子相對熵有著鮮明的物理意義，它表示 態(tài)p 和a 態(tài)之間的“距離”在經典信息論中，兩個概率分布經過n 次獨立的取 樣后，不能把這兩個概率區(qū)分開來的可能性與相對熵有關，與之有關的定理稱 為s a n o v 定理【6 】例如，拋一個有缺陷的硬幣，多次實驗得到硬幣向上，向下的 概率為p = 3 1 0 ，7 l o ) ，對于一個完好的硬幣應該有q = 1 2 ，1 2 由s a n o v 定理，1 3 次實驗后仍不能區(qū)分有缺陷和完好硬幣的概率是p = 2 - - ( p ， & ( pi iq ) = ：p , ( 1 0 9 2 只一l 0 9 2q i ) 是經典相對熵推廣到量子情況，就是量子 系統(tǒng)q 可能的兩個態(tài)p 和z 假定有n 個相同的q 系統(tǒng)，對每個q 進行測 量以確定系統(tǒng)是否處于態(tài)p ，經過n 次測量后( - 。) 仍不能區(qū)分開態(tài)p 和口的概率為p n 2 - n s ( p t l “量子s a n o v 定理告訴我們量子相對熵刻畫了 測量漸近的區(qū)分性這進一步支持了把量子相對熵看作是“距離”的觀點，如 量子熵與糾纏的基本概念和理論8 果兩個態(tài)很難區(qū)分，則它們之間的測量“距離”就近；反之，如果兩個態(tài)很容 易區(qū)分，則它們的測量“距離”遠 四、熵和糾纏度 量子糾纏是對多個體系而言的自從愛因斯坦等人提出e p r 佯謬以來， 量子糾纏一直是物理學中引人注目的領域一方面，量子糾纏體現(xiàn)了量子態(tài)的 非定域性，導致了b e l l 不等式的違背；另一方面，量子糾纏作為一種物理資源 廣泛應用于量子隱形傳態(tài)、量子編碼、量子密鑰分布和量子計算等量子信息處 理中量子糾纏的重要性使得對量子糾纏的定性和定量描述顯得尤為重要 最近幾年在糾纏態(tài)的度量方面取得了一些進展，但除了對于兩體系純態(tài)糾纏 得到了些肯定的結果外，對于混合糾纏態(tài)以及多體系統(tǒng)糾纏態(tài)的糾纏度量 仍在探討 分離態(tài)和糾纏態(tài) 假定通信雙方a l i c e 和b o b 共享一個處于態(tài)p o 日的量子系統(tǒng)如果p 邶 能寫成下面的形式； p 加= p k p # o p p ( p k = 1 ) ( 1 2 0 ) k 則p 8 是可分離態(tài)，系統(tǒng)是可分離系統(tǒng)可分離態(tài)有以下性質： ( 1 ) 可分離態(tài)展現(xiàn)普通的經典統(tǒng)計關聯(lián)性質，不展現(xiàn)量子關聯(lián)性，也就是 它們不違背b e l l 不等式 ( 2 ) a 和b 的可分離態(tài)可以通過a l i c e 和b o b 各自的局部量子操作和經 典信息的交換產生 如果p 蛔不能寫成如上的形式，則由p 惦描述的態(tài)是就是糾纏態(tài)例如， “0 a 0 8 ) + l1 a 1 8 ) ) ( ( 0 4 0 8 + ( 1 。1 8 ) 和 【l0 d 0 8 ) ( o “0 8l + ( 1 , 4 1 8 ) ( 1 a 1 8l 都是 糾纏態(tài)，只不過前者是純態(tài)糾纏態(tài)，后者是混合糾纏態(tài)量子糾纏態(tài)具有如下 性質： ( 1 ) 量子糾纏態(tài)不能通過局部的量子操作和經典信息的交換產生，換句 話說，它們的產生需要a l i c e 和b o b 之間量子信息的交換 ( 2 ) 量子糾纏體現(xiàn)了系統(tǒng)之間的最子關聯(lián)，從而導致了b e l l 不等式的違 量子熵與糾纏的基本概念和理論 9 背 仿照兩體糾纏態(tài)的定義，可以糾纏態(tài)推廣到多體系統(tǒng)例如m 體可分離 態(tài)可寫成 p 4 。= 肛p ? o p 尸9 圓p ? 7 ( 戤20 ，p ：= 1 ) ( 1 2 1 ) li 不能寫成上面形式的態(tài)就是糾纏態(tài) 兩體純態(tài)糾纏程度的度量 作為對糾纏程度度量的糾纏度須滿足以下幾個條件【3 8 】： ( 1 ) 可分離態(tài)的糾纏度為零 ( 2 ) 局部幺正操作不改變糾纏度 ( 3 ) 在局部量子操作和經典通訊下平均糾纏度不應增加因為局部量子 操作和經典通訊不會引起量子關聯(lián) ( 4 ) 可加性設備態(tài)la - b ) 、la z b 2 ) 、l 如b 。) 可能是糾纏態(tài)，【a b ) = l a i b l o 4 2 島) o ola ，。b 。) ，則la b ) 的糾纏度e ( 1a b ) ) 為e ( 1a b ) ) = f ( i l b l ) ) + e ( a 2 8 2 ) ) 十+ e ( ia ，。b 。) ) 設兩體純態(tài)系統(tǒng)a b 處于量子態(tài)i 皿加) ，子系a ，b 的約化密度矩陣分 另0 是p 4 = t r s ( 皿。) ( 。i ) ，p 。= t r 4 ( i 皿。b ) ( 母。i ) a 和b 之間的糾 纏程度可以用a 或b 的v o nn e l l n l a n n 約化熵s ( p a ) 或s p b ) 度量s ( p a ) 取 最小值0 對應于a 、b 間退糾纏，態(tài)p 邶是可分離態(tài)；s ( p ) 取最大值l 對 應于a 、b 間糾纏最大，態(tài)一8 是最大糾纏態(tài) 用約化熵度量兩體純態(tài)的糾纏程度是否合理呢? 為了證明其合理性。量 子信息學的權威b e n n e t t 引進了形成糾纏( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 和蒸餾 糾纏( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) 的概念 6 】 態(tài)的形成是指在n 。9 c 的情況下，僅通過局域操作和經典通訊從c n 個 b e l l 態(tài)制備出n 個態(tài)a b ) 的過程形成糾纏就是態(tài)的蒸餾所需c 的最大值。 與態(tài)的形成相反的過程是態(tài)的蒸餾，它指在n o q 的情況下，僅通過局域操 作和經典通訊從n 個態(tài)1a b ) 制備出n c 個b e l l 態(tài)的過程蒸餾糾纏度就是所 需c 的最大值根據以上概念和熵的性質易知用約化熵度量兩體純態(tài)的糾纏 量子熵與糾纏的基本概念和理論 1 0 程度是合理的。假定b o b 和a l i c e 有n 份量子態(tài) 4 b ) ，通過局域操作和經典 通訊把這1 1 份量子態(tài)ia b ) 轉換為n s ( a ) 份b e l l 態(tài)設b 。為b e l l 態(tài)的糾纏 度由糾纏度的連續(xù)性和可加性知n e ( a b ) n s ( a ) b 。；通過局域操作和經典 通訊把n s ( a ) 份b e l l 態(tài)轉換成n 份la b ) 同樣地，有n s ( a ) b 。芝n e ( a b ) 7 2 _ 。時得到e ( a b ) = s ( a ) b 。b 。是b e l l 態(tài)的糾纏度。是常數，令其等 于1 則純態(tài)ia b ) 的糾纏度為e ( a b ) = s ( a ) 由此可見用v o nn u l l i l 1 1 1 1 約化熵度量兩體純態(tài)的糾纏是合理的，子系的 v o nn u l l l a i l l l 約化熵定量地描述了兩個子系同的糾纏程度在量子光學中通過 計算原子或光場的熵可知原子和光場之間的糾纏程度 兩體混合態(tài)糾纏程度的度量 怎樣度量混合態(tài)的糾纏程度是非常棘手的閣題對于兩體混合態(tài)的糾纏 度到目前為止已提出了多種定義其中包括上面提到的形成糾纏和蒸餾糾纏 如果把態(tài)的形成和蒸餾中的局域操作和經典通訊看作是把糾纏態(tài)從非糾纏態(tài) 區(qū)分開來的“測量過程”，糾纏度就和測量數次后仍不能區(qū)分開糾纏態(tài)和非糾