高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)材料--幾何變換

北京清北學(xué)堂 1 高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)材料 幾何變換 一、 平移變換 1定義 設(shè) PQ 是一條給定的有向線段， T 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F上任一點(diǎn) X 變到 X ，使得 PQXX ，則 T 叫做沿有向線段 PQ 的平移變換。記為)( XX PQT ，圖形 )( FF PQT 。 2主要性質(zhì) 在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切?，圓變?yōu)閳A。兩對應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。 二、 軸對稱變換 1定義 設(shè) l 是一條給定的直線， S 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F 上任一點(diǎn)X 變到 X ，使得 X 與 X 關(guān)于直線 l 對稱，則 S 叫做以 l 為對稱軸的軸對稱變換。記為 )( XX lS ，圖形 )( FF lS 。 2主要性質(zhì) 在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。 三、 旋轉(zhuǎn)變換 1定義 設(shè) 是一個定角， O 是一個定點(diǎn)， R 是平面上的一個變換，它把點(diǎn) O 仍變到O（不動點(diǎn)），而把平面圖形 F 上任一點(diǎn) X 變到 X ，使得 OXOX ，且 XOX ，則 R 叫做繞中心 O，旋轉(zhuǎn)角為 的旋轉(zhuǎn)變換。記為 ),( XX OR ，圖形),( FF OR 。 其中 0 時，表示 XOX 的始邊 OX 到終邊 XO 的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向； 0時，為逆時針方向。 2主要性質(zhì) 在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角 。 北京清北學(xué)堂 2 四、 位似變換 1定義 設(shè) O 是一個定點(diǎn)， H 是平面上的一個變換，它把平面圖形 F 上任一點(diǎn) X 變到 X ，使得 OXkOX ，則 H 叫做以 O 為位似中心， k 為位似比的位似變換。記為 ),( XX kOH ，圖形 ),( FF kOH 。 其中 0k 時， X 在射線 OX 上，此時的位似變換叫做外位似； 0k 時 , X 在射線OX 的反向延長線上，此時的位似變換叫做內(nèi)位似。 2主要性質(zhì) 在位似變換下，一對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一 直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點(diǎn)；兩對應(yīng)圓相切時切點(diǎn)為位似中心。 例題講解 1 P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且 PCBPAB 。 求證： PDAPBA 2 “風(fēng)平三角形 ”中， 60,2 B O CA O BCCBBAA ，求證： 3 在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。 3 C O AB O CA O B SSS北京清北學(xué)堂 3 的周長最??；，使得 、上各求一點(diǎn)、及射線內(nèi)一個定圓，試在圓是給定銳角圓 P Q RR QPCBCAoA C Bo :5 。；求證于交 ，連接于交，連接、的兩弦點(diǎn)引圓的中點(diǎn)，過的弦圓 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :.4ADRPQRPQ P Q RDBCADAA B C 290.6 求證： ，是它的任一內(nèi)接三角形，于，中，；.7 MQMPMQMP BCMA Q CA P BACABA B C ，的中點(diǎn)，求證： 是，、直角三角形為斜邊分別向外作等腰、的邊以)(； ,1 2 0.8 為費(fèi)馬點(diǎn)求證： 內(nèi)任意一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，是已知 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三線也相交于一點(diǎn)；、求證：，三線交于一點(diǎn)、，設(shè)、垂線六個點(diǎn)分別作所在邊的，過上述、分別交于點(diǎn)、的三邊與圓212121212121212121.9cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCABCO ONOMNMACABPO PBCODOA B CAD ，求證：、于、分別交 ，連接并延長于的切線交作圓的直徑，過的外接圓是.10北京清北學(xué)堂 4 例題答案 【例 1】 P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且 PCBPAB 。 求證： PDAPBA 【例 2】 “ 風(fēng)平三角形 ” 中， 60,2 B O CA O BCCBBAA 求證： 【例 3】在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。 4376；85,21；74,82,；63,51,)( ，即四點(diǎn)共圓。故、得由已知知都是平行四邊形，、由則【分析】作變換CPDPCBPPA DP PBCADPPDC PABPDC PABP ADT3 C O AB O CA O B SSS三角形為等邊共線，、共線，、共線，、記為重合，和，則【分析】作變換O P QPBOQAOQRPRRRRRPRBB O CA Q ROCA BBTAAT ；, )()(3 C O AB O CA O B SSS北京清北學(xué)堂 5 形時，周長最?。还十?dāng)四邊形為平行四邊同理可得的中點(diǎn)；、分別為、，的中點(diǎn)且是；交于、平行四邊形；延長是一個符合條件的，則，令、的中點(diǎn)、【分析】取DCBADCABBCDABCBCBGBCADCGAGCFECFCCCEFACEGCCAFDBCACAACFEBDAC EFT 2,/)( 【評注】當(dāng)已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。 PMPNMPFPFNPENP D EMPFFDMPE D FEFFE D FFPNM D FPMFABFFGHABGHFFPFPFPMFFPNPBPAPFPFPFPFGHPoFFFPGHGHSGHSGHS 1 8 0/,)()()(四點(diǎn)共圓、；，又，；又圓顯然的直徑，為過【分析】設(shè) )(,2|11|,22 曲線系知識解析法證明：利用二次則中點(diǎn)的距離為到，已知、于交、，連接、作兩條相交弦，過上的一點(diǎn)內(nèi)一弦的圓已知半徑【評注】一般結(jié)論為：rRaPNPMaABPrOPNMABEDCFEFCDPPABoR 的周長最??；，使得 、上各求一點(diǎn)、及射線內(nèi)一個定圓，試在圓是給定銳角】圓【例 P Q RR QPCBCAoA C Bo 5 。；求證于交 ，連接于交，連接、的兩弦點(diǎn)引圓的中點(diǎn)，過的弦圓】【例 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :4北京清北學(xué)堂 6 頂點(diǎn)。為所求的三角形的三個、則、于、分別交，連接，令，交圓周于連接做法：的周長為最小，于是有為最小，從而取最小值時，當(dāng)理，是該圓直徑，由正弦定四點(diǎn)共圓，、，則于交，于交設(shè)角形；的情況下周長最小的三是在取定，顯然、于、分別交，連接，令上任取一點(diǎn)【分析】在圓RQPRQCBCAPPPPPPPOCRQPEFCPE C FCPEFCPPFCEEFPPPRRQQPFCBPPECAPPPRQPRQCBCAPPPPPPPoCBSCASCBSCAS212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,；si n2, 【 評注 】 如果題設(shè)中有角平分線、垂線，或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形，可以將圖形或其部分進(jìn)行軸對稱變換。此外，也可以適當(dāng)選擇對稱軸將一些線段的位置變更，以便于比較它們之間的大小。 ADRPQRPQ P Q RDBCADAABC 2906 求證： ，是它的任一內(nèi)接三角形，于，中，】【例AD RP QR PQ AD AP AP AP RP QR Q P RQP P P P A A AP P AP P A RP QR Q P RP QR PQ AP AP AP Q P PQ RP RP P P P P AC S AB S 2 2 2 , 180 2 , 90 , , , , ) ( ) ( 的內(nèi)部； 上或在凸四邊形 點(diǎn)在線段 又 則 【分析】設(shè) 北京清北學(xué)堂 7 ；7 MQMPMQMP BCMA Q CAPBACABABC ，的中點(diǎn)，求證： 是，、直角三角形為斜邊分別向外作等腰、的邊】以【例OCOBOAPCPBPACOOOAOACCPPPAPCOOAOBOB OCCBOB P CCBPB OCCBOPBPPOBOOB P PB OOPPOOPPOOCCBRBRBR 即：四點(diǎn)共線，、；由于，顯然，都是正三角形、則；、連接【分析】將1 8 01 2 0,)60,()60,()60,( )(； ,1 2 08 為費(fèi)馬點(diǎn)求證： 內(nèi)任意一點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，是】已知【例 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三線也相交于一點(diǎn)；、求證：，三線交于一點(diǎn)、，設(shè)、垂線六個點(diǎn)分別作所在邊的，過上述、分別交于點(diǎn)、的三邊與】圓【例2121212121212121219cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCA B CO ； 且 而 顯然： 都是等腰三角形， 、 則 ， ，使 到 ，延長 ，使 到 【分析】延長 MQ MP MQ MP BF MQ EC PM BF EC BF EC F C B E CAF BAE CQ QF F CQ BP PE E BP A R A R , 2 1 / , 2 1 / ； , , , ) 90 , ( ) 90 , ( 北京清北學(xué)堂 8 三線也相交于一點(diǎn)、即：的公共點(diǎn)、也是像下的像在變換的公共點(diǎn)、，同理：成中心對稱，關(guān)于圓心、【分析】2122121212)180,(12)180,(12)180,(121)1 8 0,0(cbacbaDRDcbaccbbaaOaaOROROR ONOMNOBOBNOBCGACGOA C BGBOA C BDBODBOGBOFDBOBGOODGBGOO