第6章地下水的非穩(wěn)定滲流運(yùn)動(dòng)隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的不斷發(fā)展,

第 6章地下水的非穩(wěn)定滲流運(yùn)動(dòng) 隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的不斷發(fā)展，以及人口數(shù)量的不斷增加，工業(yè)、農(nóng)業(yè)及生活用水的需求量的不斷增大，地下水作為重要的供水水源其開采量及開采規(guī)模迅速擴(kuò)大，大多數(shù)地區(qū)普遍出現(xiàn)區(qū)域地下水的持續(xù)下降，而作為地下水運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間發(fā)生變化的穩(wěn)定流理論及其裘布依（ Dupuit）水量計(jì)算公式，無(wú)法解決和預(yù)測(cè)這一現(xiàn)象，以及未來地下水動(dòng)態(tài)的變化趨勢(shì)。 本章主要討論由于抽水而產(chǎn)生的非穩(wěn)定滲流。 非穩(wěn)定滲流理論所解決的主要問題 1.評(píng)價(jià)地下水的開采量 2.預(yù)報(bào)地下水位下降值 3.確定含水層的水文地質(zhì)參數(shù) 泰斯以達(dá)西定律為基礎(chǔ)，利用熱傳導(dǎo)理論提出了地下水非穩(wěn)定井流的計(jì)算公式，稱為泰斯公式。 泰斯非穩(wěn)定流理論認(rèn)為在抽水過程中地下水的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是 隨時(shí)間而變化的，即動(dòng)水位不斷下降，降落漏斗不斷擴(kuò)大， 直至含水層的邊緣或補(bǔ)給水體，而且距抽水井越遠(yuǎn)，漏斗的 曲率越小，擴(kuò)展速度越來越緩慢。 6.1 非穩(wěn)定滲流基本概念及其基本微分方程 側(cè)向邊界離井很遠(yuǎn)，可不考慮其影響時(shí)，按無(wú)越流補(bǔ)給時(shí)處理， 此時(shí)越流補(bǔ)給強(qiáng)度 e =0。 6.1.1軸對(duì)稱二維不穩(wěn)定潛水井流基本微分方程 本節(jié)所要研究的問題是：在均質(zhì)、各向同性、隔水底板水平的 無(wú)限含水層中，單個(gè)完整井進(jìn)行抽水的情況（考慮為二維流動(dòng)）。 滲流遵守達(dá)西線性定律，滲入強(qiáng)度為 e。 取一以井軸為中心的單元環(huán)柱體 作為均衡地段，以 dt為均衡時(shí)段。 設(shè)斷面 r的流量為 Q，斷面 r+dr的 流量為 Q+dQ，則均衡方程為： H hrQh+ d QQdrdrre- ( Q + Q ) + 2 + Q = 2d d t r d r d t d t r d r d h鬃鬃 ? meQ = - 2 h r h k r鬃 根據(jù)達(dá)西定律 V=kJ可得 上式的負(fù)號(hào)，是表示 Q與 h/r的方向相反，有： QQ = - 2 ( ) hhd d r = k r h h d rr r r r抖抖 +2 ( ) 2h h h k r h h d r r d r r d rr r r t m抖抖 + 鬃 ?e =1 ( ) h h hk h hr r r r t抖抖 + + ? me =簡(jiǎn)化為 將上式代入式（ 6.1） : （ 6.2） （ 6.1） 使式（ 6.2）線性化的方法，常用的有下列兩種。 第一種線性化的方法，是將式（ 6.2）左端部分中作為乘數(shù)的 h 用平均值 hm代替，并視為常量，則式（ 6.2）可改寫為 221mkh h h hr r r t抖 ?+抖 ?e =當(dāng)無(wú)滲入時(shí)（ e =0），方程可寫為 221mkh h h hr r r t抖 ?+抖 ? =對(duì)于水平二維無(wú)壓流動(dòng)，令 mkha =則式（ 6.3）和（ 6.4）可寫成為 （ 6.3） （ 6.4） 221h h har r r t抖 ?+抖 ?e =221h h har r r t抖 ?+抖 ?=式中 a為水位傳導(dǎo)系數(shù)， m2/d； （ 6.5） 第二種線性化的方法，是在式（ 6.2）的兩端均乘以 h，并令勢(shì)函數(shù) 22()()H h sHs- =- =221k h hr r r t抖 ?+ - ?抖 ? m e =得： 再以平均值 hm代替 h，并將式（ 6.5）代入上式，得 221 mhar r r t抖 ?+-抖 ?e =當(dāng) e =0時(shí)： 221ar r r t抖 ?+抖 ? =令： T =kh 導(dǎo)水系數(shù)，表示含水層的導(dǎo)水性能； 將 T、 a代入上式則得潛水完整井非穩(wěn)定流的微分方程： rTrrr = 122或 rarrr = 1122 6.1.2不穩(wěn)定承壓井流基本概念及其基本微分方程 1.承壓含水層的彈性水量 首先分析：在承壓含水層中抽水（假定含水層的頂?shù)装迨遣煌杆模?而且抽水時(shí)保持承壓狀態(tài)），抽出的水是哪里來的？ 從潛水含水層中抽水，它導(dǎo)致含水層的疏干，表現(xiàn)為地下水位 自由液面 的下降，抽出的水量正是含水層被疏干部分的水量 （當(dāng) e =0時(shí)）。 psph=p測(cè)壓水頭php=但是，從承壓含水層中抽水，周圍 形成的降落漏斗并不是對(duì)含水層的 疏干，而只是構(gòu)成水頭（壓力）的 降低。 壓力降低為什么能釋放出水來？ 物體均具有可壓縮性，只是程度不同 而已。當(dāng)作用在物體上的壓力增大時(shí)， 物體的體積縮小，密度增大；反之， 當(dāng)壓力減小時(shí)，其體積增大，密度減小。 對(duì)于承壓含水層（取一處于平衡狀態(tài)的地層柱體來研究，見圖 6.2），含水層上覆巖體外部荷載的重量和大氣壓力由兩部分力與其平衡，一是含水層多孔介質(zhì)對(duì)它的反力 ps，另一是承壓水作用在隔水頂板上的浮托力 p（ p=hp， 其中 hp是承壓含水層頂面的測(cè)壓高度； 是水的重率）。 這是抽水前的平衡狀態(tài)。 如果發(fā)生水頭降低。也即含水層中每點(diǎn)地下水的壓力 p減小，它將引起下列作用：（ 1）由于水壓的降低，地下水的體積發(fā)生膨脹，從而釋放出部分地下水；（ 2）水的壓力 p的降低，即地下水對(duì)上覆巖體的浮托力降低，為了維持平衡，這部分力將轉(zhuǎn)嫁到含水層多孔介質(zhì)上，從而壓縮含水層，其結(jié)果使含水層的空隙率 n變小和含水層厚度變薄，這兩個(gè)因素均使得從含水層中釋放出部分地下水；（ 3）由于壓力的降低，組成含水層骨架的固體部分將會(huì)膨脹，而這又引起含水層厚度和空隙率的變化，其關(guān)系比較復(fù)雜?？紤]到含水層固體部分的壓縮性一般比水和含水層要小得多，因此，建立微分方程時(shí)可以忽略固體部分的壓縮性，將它視為剛體。 如果承壓含水層測(cè)壓水頭上升，則發(fā)生相反的過程。 上述分析說明：假如水頭降低，承壓含水層會(huì)釋放出部分地下水；如果水頭升高，承壓含水層也會(huì)儲(chǔ)存部分地下水，這就是通常所說的“彈性儲(chǔ)量”。 彈性儲(chǔ)量提供承壓抽水井水量的概念，是與齊姆穩(wěn)定井流的設(shè)想不相同的。后者假設(shè)，承壓抽水井全靠“水平補(bǔ)給”?？梢韵胂?，如果沒有彈性儲(chǔ)量，依據(jù)水流連續(xù)性原理，則在抽水開始的一剎那，各斷面 (包括 r) 的流量均等于抽水井的流量 Q?；蛘邽榱税衙鼙┞兜酶怀鲂?，考慮承壓含水層中溝流的情況，則在剛抽水的一瞬間，各斷面 (包括 r) 的流速均相等。這顯然不符合實(shí)際情況。因此，彈性儲(chǔ)量必須加以考慮。 承壓含水層由于水的來源是含水層的彈性壓縮與水的彈性膨脹，因此其基本微分方程的建立除根據(jù)水均衡原理和滲流基本定律外，還應(yīng)與水及含水層的狀態(tài)方程（體積與壓力間的關(guān)系）有關(guān)。 2.水的狀態(tài)方程 假定水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有 因?yàn)?V隨 p的增大而減小，即 dV/dp0，而 bw規(guī)定為正值，所以上兩式右側(cè)有一負(fù)號(hào)。 bw的物理意義是：當(dāng)壓力改變一個(gè)單位時(shí)，單位體積水的增量。 bw的單位：壓力的單位通常采用 kg/cm2（大氣壓），故 bw的單位采用 cm2/ kg。 對(duì)方程（ 6.12）進(jìn)行積分 1wdVdpV= - ?b1 ipVwdVdpV-=蝌b( ) l n iwi Vpp V-=b依照馬克勞林級(jí)數(shù) : () 2 2 3 3111 + ( ) + ( ) + ( ) +2 ! 3 !wi ppw i w i w ie p p p p p p- = - - - 鬃 ?b b b b在壓力變化不大時(shí)上式可近似取頭兩項(xiàng) , ()wipp iVeV- =b （ 6.13） 式（ 6.13）可寫成 1 + ( - ) i w iV V p p= b ()i w i wVVV p p pVV -D = = - = - Dbb（ 6.14） （ 6.12） 壓力 p的變化引起水的體積 V的變化，但是水的質(zhì)量 m和重量 G是不變的。由 Vr =m和 V =G的關(guān)系可知：若體積 V增大，則密度 r和重度 相應(yīng)減小，有 ()Gdd V dGV= = - 由式（ 6.12）得 1wddp =? b3.巖層（多孔介質(zhì)）的狀態(tài)方程 ( 1 + )isM M p=Db H hhQr drM Qrr + d ( Q r )e ( r )t, 4.軸對(duì)稱二維不穩(wěn)定承壓井流基本微分方程 這里討論均質(zhì)、各向同性、等厚的 承壓含水層中完整井的抽水情況。 考慮含水層底板（或頂板）為弱透水 層，抽水時(shí)通過它有越層滲透，其越 流強(qiáng)度為 e。 設(shè)斷面 r的重量流量為 Qr，斷面 r+dr的重量流量為 Qr+d（ Qr） ， 單元環(huán)柱體中水的重量為 G，則其均衡方程為 - Q ( Q ) 2 Qr r rd d t r d r d t d t d G+ 鬃 ?= e H hhQr drM Q r r + d ( Q r )e ( r )t,按達(dá)西定律 Q2rh r M Kr=- 鬃則 22( Q ) ( Q ) 2 ( )rrhhd d r M K r d rr r r抖 ?=? 鬃 +抖 ? 均衡段內(nèi)地下水的重量為 2G r d r M n= 鬃 式中 n 空隙率， 1EnE= + 2 ()1GEr d r Mt t E抖= 鬃抖 + 1+ 1+sassVM M M MVVEVVV= = =Q 2 ( ) = 2 ( )1 1 +G M M Er d r E r d r Et E t E t t抖抖 = ? 抖 ?221()( ) ( )w s w sk M h h hM n r r r M n t抖 ?+ ? =+ 抖 +?e b b b b可推得： 此式與潛水井微分方程式（ 6.3）對(duì)比，從形式上看，承壓含水層 中的 M (nbw+bs)起著潛水含水層的給水度 的作用。 自己看 P84P86，可推出： （ 6.32） 當(dāng)無(wú)越流時(shí) e =0時(shí) （ 6.33） 221()*h h har r r t抖 ?+ ? =抖 ?e221()h h har r r t抖 ?+?抖 ?上兩式就是軸對(duì)稱二維非穩(wěn)定承壓井流的基本微分方程。 對(duì)比式（ 6.33）和（ 6.10），如果令 =M(H h)=Ms （ 6.34） 則式（ 6.33）可寫成 （ 6.35） 2 2 1()a r r r t抖 ?+?抖 ? 式 （ 6.35）和（ 6.10）的形式完全相同，只是其中的勢(shì)函數(shù) 不同。 對(duì)非完整井，可推導(dǎo)出均質(zhì)各向異性介質(zhì)中地下水三維流動(dòng)的 微分方程為： tayx = 1z 222222 或 tarrr = 1z12222 6.2無(wú)越流含水層中的單個(gè)定流量完整井流 因?yàn)闊o(wú)越流故無(wú)垂向滲流所以： e =0。 6.2.1無(wú)限承壓含水層中單個(gè)定流量完整井流 含水層均是有限的。如果含水層是如此之大，以致邊界對(duì)于含水層研究區(qū)段的水頭分布沒有明顯的影響，則可稱它為無(wú)限含水層。對(duì)于壓力傳導(dǎo)系數(shù)小的含水層進(jìn)行短時(shí)間抽水的情況，可視為無(wú)限的含水層。 1.承壓含水層定流量抽水時(shí)的 Theis（泰斯）公式。 承壓含水層中單個(gè)井定流量抽水的數(shù)學(xué)模型是在下列假設(shè)條件下建立的： （ 1）含水層為均質(zhì)各向同性、等厚、側(cè)向無(wú)限延伸，產(chǎn)狀水平、導(dǎo)水系數(shù) T為常數(shù)； （ 2）抽水前地下水的水頭面水平； （ 3）定流量抽水井，井徑無(wú)限??； （ 4）含 水層中水流服從達(dá)西定律； （ 5）抽水后，水頭下降引起地下水從貯存量中的釋放是瞬時(shí)完成的，儲(chǔ)水系數(shù) *為常數(shù) 儲(chǔ)水系數(shù)是常數(shù)，故承壓含水層的壓力傳導(dǎo)系數(shù) a=T/*是常數(shù)，其中 *是釋水系數(shù)。所以：導(dǎo)水系數(shù)T=kM，式中 M為含水層的厚度。 （ 6）承壓井流要保持承壓狀態(tài)，則水位降深 s不得大于（ H-M）。 （ 7） 承壓井按泰斯理論，抽出的水來自含水層儲(chǔ)存量的彈性釋放，并且是瞬時(shí)完成，所以 T=kM為常數(shù)。 抽水井抽水時(shí)，抽水量完全是來自含水層中的儲(chǔ)存量，隨著抽水時(shí)間的延續(xù)，以井軸為對(duì)稱的下降漏斗不斷的擴(kuò)展，水流始終是非穩(wěn)定滲流狀態(tài)。 在上述假設(shè)條件下，將坐標(biāo)原 點(diǎn)放在含水層底板抽水井的井 軸處，井軸為 z軸，如右圖所示。 tHQ時(shí)水面線MZohsr r 0根據(jù)上述假設(shè)條件 (1)和 (5)可以應(yīng)用 不穩(wěn)定承壓井流基本微分方程（ 6.6） ,(2)是初始條件 ,(3)和含水層側(cè)向無(wú)限 延伸是內(nèi)外邊界條件。令 =kMH+C=M1(H h)=M1s 因此，該定解問題可寫成為： 221ar r r te =抖 ?+抖 ?j j j0( , 0 )r r t 221ar r r t=抖 ?+抖 ?j j j （ e =0時(shí)） ( , 0 ) 0r = 0()rr ( , ) 0t = ( 0 )t 0l i m 2 Qrrk r-?jp （常數(shù)） ( 0 )t 該定解問題可用積分變換法，分離變量法或博爾茲門變換法求解， 它的解是 Q4uue dukup-= 其中 22*44rruT t a t=m令 ( )uue d u W uu-= =M(H h)=Ms ( ) ( )QQ44s W u W uk M Tpp = =4Q()TsWup=)Q4(4 12TsaWrt= 式（ 6.45）、 式（ 6.46）和 式（ 6.47）稱為泰斯公式。 W（ u）稱為承壓水定流量的井函數(shù)。 右端為指數(shù)積分，將其展成冪級(jí)數(shù)并逐項(xiàng)積分。 W（ u）可 表示為下列無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式 因?yàn)?0.577216=ln1.78107， 當(dāng)抽水時(shí)間 t 較長(zhǎng)、抽水井 u0.01 或觀測(cè)井 u0.05時(shí)， 式（ 6.48）第二項(xiàng)以后（不包括第二項(xiàng)）可忽略不計(jì)，則 式（ 6.45）、式（ 6.46）和式（ 6.47）可簡(jiǎn)化為 見 P89表 6.1、 P91例 6.1 。 2.對(duì)泰斯公式的簡(jiǎn)要分析見 P91,屬于了解的范疇。 duueuWuu =)(= 11!)1(ln577216.0)( nnnnnuuuW225.2ln4QratTs 225.2ln4QratTs= Q42445.0Tseart = 6.2.2無(wú)限潛水含水層中單個(gè)定流量完整井流 在潛水含水層中抽水時(shí)，潛水面是隨時(shí)間不斷變化的上界面。 1.地下水向潛水井的非穩(wěn)定滲流的主要表現(xiàn)以及與承壓井的非穩(wěn)定滲流的比較： （ 1）潛水井的導(dǎo)水系數(shù) T=kh是隨時(shí)間和距離而變化的，而承壓井的 T=kM為常數(shù)； （ 2）潛水井降深較大時(shí)，垂直分速度不可忽略，在井附近為三維流。水平含水層中的承壓井可作為二維流處理； （ 3）潛水井中抽出的水量主要來自含水層的重力疏干?？紤]疏干的滯后性時(shí)，雖然潛水面下降了，而潛水面以上新形成的飽和帶中仍有水繼續(xù)向下排水，補(bǔ)給潛水層。這時(shí)，潛水層的給水度是變化的，故潛水含水層的水位傳導(dǎo)系數(shù) a=T/是變化的。 給水度 是隨著抽水時(shí)間的增加而逐漸趨向于穩(wěn)定的最大值，一般提供的給水度值，便是這個(gè)最終值。導(dǎo)水系數(shù) ，式中： 。 HkT =2)( m a xsHHH =從實(shí)測(cè)的水頭降深 s和 t時(shí)間的關(guān)系曲線分析，潛水含水層存在滯 后疏干的現(xiàn)象， s t曲線反映出抽水過程三階段： 抽水初期 s t曲線與承壓井的泰斯曲線一致。這時(shí)主要為彈性釋 放，可以儲(chǔ)水系數(shù)表示。潛水位下降了，重力疏干因滯后反應(yīng) 所引起的作用還很小。所以，含水層的作用相當(dāng)于貯水系數(shù)小 的承壓含水層。這階段的時(shí)間很短，也許只有幾分鐘。 抽水中期 s t曲線的變化很象有越流補(bǔ)給時(shí)半承壓含水層的情況， 明顯偏離泰斯曲線，曲線斜率變小，甚至出現(xiàn)短時(shí)間的假穩(wěn)定。此 時(shí)，重力疏干的作用逐漸明顯，貯存的重力水逐步釋放出來，起到 連續(xù)再補(bǔ)給的作用。彈性釋放的作用依然存在，但所占比例已逐漸 減弱。此時(shí)給水度的數(shù)值逐級(jí)增大而趨向潛水含水層的最大值。這 個(gè)階段，由于潛水層性質(zhì)的不同，可能是幾分鐘，也可能是幾天。 抽水后期 s t曲線又與泰斯曲線相一致，水頭下降速度增大，降 落漏斗擴(kuò)展，這時(shí)主要為重力疏干作用，由于抽水時(shí)間的增長(zhǎng)，重 力排水已跟得上水位的下降，滯后作用可忽略不計(jì)，此時(shí)的給水度 達(dá)到最大值。 （ 4）當(dāng)降深不大時(shí)，含水層為無(wú)限含水層時(shí)潛水完整井單井抽 水非穩(wěn)定流運(yùn)算模型參照承壓水完整井的方式進(jìn)行一系列代換導(dǎo)出 時(shí)，將式（ 6.5）代入式（ 6.43），則得計(jì)算潛水井流的基本方程 ： 上三式也稱為泰斯公式。 )(2 Q2 uWkHHs =)()2(2Q 00uWssHk = Q)2(24 12ssHkaWrt= 所以泰斯公式有 6個(gè)式子，即：公式（ 6.45）、 式（ 6.46）、 式（ 6.47）、 式（ 6.58）、式（ 6.59）和式（ 5.60）。 式中 W（ u）的求解與承壓水完整井非穩(wěn)定流時(shí)相同。 當(dāng)抽水時(shí)間 t較長(zhǎng)、抽水井 u0.01或觀測(cè)井 u0.05時(shí)，式（ 6.48）第二項(xiàng)（不包括第二項(xiàng)）以后可忽略不計(jì)，則式（ 6.58）、式（ 6.59）和式（ 6.60）可簡(jiǎn)化為 22 25.2ln2QratkHHs 20025.2ln)2(2QratssHk = Q)2(22445.0ssHkeart = 2.博爾頓法數(shù)學(xué)模型及其解 * ),( DruW yaaa uDruW 1),( 井函數(shù) 的數(shù)值解在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上繪得曲線簇 , 曲線，適用于 抽水初期； 它包括兩組曲線， 左邊為 A組 右邊為 B組 曲線，適用于抽水后期。因式 （ 6.63）的條件是 h ，兩組曲線的中間部分為一水平線，可用式（ 6.65）表示。當(dāng) h 100時(shí)，曲線中間部分仍趨近于一水平線，如 h 100時(shí)，曲線中間部分就不是水平線了，而是一條比抽水初期和后期的斜率小得多的曲線，可用兩組曲線間它們的共同切線連接。 曲線簇說明：抽水初期以彈性釋放為主，水頭降深與左邊的泰斯曲線吻合；中期滯后重力排水的影響曲線簇偏離泰斯曲線，水頭下降速度變小，并隨不同的 r/D，以不同方式向水平線趨近；后期滯后重力排水影響逐漸減弱，水頭下降速度又由小變大。滯后重力排水影響基本結(jié)束時(shí)，曲線簇與右邊的泰斯曲線趨近。 yy uDruW 1),( Ttruy 42 =Ttrua 4*2 = ； 6.3有越流補(bǔ)給時(shí)承壓含水層中的單個(gè)定流量完整井流 如果抽水層的頂板或底板不是隔水層，而是弱透水層或弱含水層，那么當(dāng)抽水層抽水時(shí)，水位下降，抽出的水除了抽水層本身的彈性釋放之外，還得到弱透水層的彈性釋放補(bǔ)給和相鄰含水層通過弱透水層的補(bǔ)給。這種含水層系統(tǒng)稱為越流系統(tǒng)。它包括抽水含水層和相鄰含水層。見下圖。 越流系統(tǒng)可分為三種類型： （ 1）弱透水層的彈性儲(chǔ)量很小，可忽略不計(jì)，而且在抽水含水層抽水期間，相鄰含水層的水位不變。 hsh k/k/相鄰含水層抽水含水層弱透水層MMH （ 2）弱透水層中釋放出來的水量相當(dāng)大，甚至是越流補(bǔ)給的主要來源，相鄰含水層的水位保持不變；所以應(yīng)考慮弱透水層的彈性儲(chǔ)量。 （ 3）補(bǔ)給層的水頭隨主含水層的抽水情況而變化，這種類型的計(jì)算很復(fù)雜，本書不討論此類問題。 本書只介紹第一類及第二類特定條件下的計(jì)算公式。 越流系統(tǒng)中常用的三個(gè)系數(shù) （ 1）弱透水層越流系數(shù) b：其含義為，水頭降低一個(gè)單位時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)，單位水平面積上，相鄰含水層通過弱透水層補(bǔ)給抽水含水層的水量。 Mkb=（ 2）阻越流系數(shù) B kMTB=阻越流系數(shù) B表示越流補(bǔ)給量大小， B愈大則滲透系數(shù) 就愈小，故垂直補(bǔ)給量愈小。 k （ 3）越流補(bǔ)給強(qiáng)度 e 越流補(bǔ)給強(qiáng)度是單位時(shí)間通過單位水平面積補(bǔ)給抽水含水層的水量，（ m/d） （ 6.68） 式中 s 抽水含水層水頭降深。 sMk =e一、第一類越流系統(tǒng)地下水流向承壓完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng) 1.漢土斯假設(shè)： （ 1）越流系統(tǒng)中每層都均質(zhì)各向同性、產(chǎn)狀水平、 等厚、側(cè)向無(wú)限延伸； （ 2）抽水含水層和相鄰含水層初始水位水平且相等，抽水后，抽水 層中水流為平面徑向流； （ 3）抽水后相鄰含水層越流補(bǔ)給抽水層，但其中水位保持不變； （ 4）抽水層中水流服從達(dá)西定律； （ 5）水和含水層均為彈性體，儲(chǔ)水量的釋放是瞬時(shí)完成的； （ 6）抽水井以定流量抽水為井徑無(wú)限小的完整井； （ 7）弱透水層的彈性釋放水量可忽略不計(jì)，通過其中的水流為垂向 一維流。 在上述水文地質(zhì)條件下抽水時(shí)，井的抽水量 Q由二部分組成：一是由于水位降低，抽水含水層本身的彈性釋放量；二是在抽水含水層與相鄰含水層之間的水位差作用下，來自相鄰含水層的越流補(bǔ)給量。隨著抽水時(shí)間的延續(xù)，水位差增大，降落漏斗擴(kuò)展，使越流補(bǔ)給量在井的抽水量中所占比重也逐漸增大。當(dāng)井的抽水量與越流補(bǔ)給量相等時(shí)，抽水含水層的降落漏斗達(dá)到穩(wěn)定，抽水含水層不再釋放儲(chǔ)存量。 2.漢土斯數(shù)學(xué)模型及其解 在上述假設(shè)條件下，可應(yīng)用承壓二維滲流的微分方程，結(jié)合相應(yīng) 的初始條件和邊界條件，構(gòu)成一個(gè)理想的數(shù)學(xué)模型： s（ r， 0） =0 =0 這一數(shù)學(xué)模型有非穩(wěn)定流和穩(wěn)定流的解。 （ 1）有越流補(bǔ)給時(shí)非穩(wěn)定流的解 將上式 積分變換，得： 解得： tsatsTTrsrrs= 11 *22 e),( ts Trsrr 2Qlim0=dyyBryyTtrs u )4e x p (14Q),(22= hHBruWTtrs = ),(4 Q),( 為不考慮弱透水層彈性釋水時(shí)越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值 ),( BruW見 P101表 6.2。 （ 2）有越流補(bǔ)給時(shí)非穩(wěn)定流的解的分析 有越流時(shí)的降深比無(wú)越流時(shí)小 將有越流時(shí)的解式 （ 6.71）和泰斯的解式（ 6.45）對(duì)比可看 出，當(dāng) u值相同時(shí)，因?yàn)?恒為正值，故積分 較 為小。因此，該含水層的 降深 s比無(wú)越流的承壓含水層的降深值要小。這是因?yàn)樵谠搅?時(shí)，水井中抽出的水，一部分來自越流補(bǔ)給，抽水含水層可 以少釋放一些彈性儲(chǔ)量造成的。 當(dāng) k/=0時(shí)，弱透水層變?yōu)椴煌杆畬?，越流因?B ，沒有越 流補(bǔ)給。式中的 0，則變成泰斯公式。 時(shí)， 就是泰斯曲線。 s t曲線的形狀 按表 6.2有越流井函數(shù)繪制 標(biāo)準(zhǔn)曲線，見下圖。 atrTtru44* 22 = yBr224dyyBryyu)4e x p (1 22dueuuyBr2240Br),( BruW u1),( BruWBrBrkMTB=Br此曲線相當(dāng)于 s t曲線。抽水初期， 降深較小，越流尚未進(jìn)入抽水層， 井中抽水的水量幾乎全部是消耗 抽水層的貯存量，可看出這時(shí)的 降深曲線與泰斯曲線一致。 在理論上即越流量等于 0， 或 B ， W(u)，降深曲線與泰斯曲線一致。 值時(shí)的曲線形狀。在其他條件和 越小，與泰斯曲線一致的過程越長(zhǎng)，相鄰含水層的 分析， 小，即 B大，則透弱水層的滲透性小，厚度大， 標(biāo)準(zhǔn)曲線 中表示了不同 r相同時(shí) , 越流量進(jìn)入抽水含水層的時(shí)間越遲。從 所以越流發(fā)生得遲。 抽水中期 ，降深曲線變緩，偏離泰斯曲線。這說明越流開始 進(jìn)入抽水層，這時(shí)抽水量由兩部分組成：一是來自抽水層的彈 性釋放，二是來自相鄰含水層的越流補(bǔ)給。其他條件和 r相同 時(shí) , 大，越流補(bǔ)給量大，消耗抽水層的儲(chǔ) 存量小，所以抽 水層的降深也小，偏離泰斯曲線早。 抽水后期 ，降深曲線趨向水平直線，也就是說水頭不再下 降，抽水量等于越流補(bǔ)給量，流水由非穩(wěn)定流變?yōu)榉€(wěn)定流。 水頭下降速度 當(dāng)存在越流時(shí)，含水層中水頭下降速度為 Br)4(e x p 14Q22BatatrtTts = 與泰斯公式的水頭下降速度對(duì)比看出， 恒為正值，故 有越流時(shí)水頭下降速度比無(wú)越流的承壓含水層為小。 t 足夠 大時(shí)，井周圍的降落漏斗等速下降。 )( 2Bat2)(05.0Br)(2),( 0 BrkBruW =（ 3）有越流補(bǔ)給時(shí)的穩(wěn)定流解 當(dāng) t足夠大時(shí)， u便很小。實(shí)用上只要 u 導(dǎo)，井函數(shù)部分為： ，經(jīng)數(shù)學(xué)推 一般越流含水層的阻越流系數(shù) B都相當(dāng)大，故 1， 上式要求 注：見表 5.5， 大，則 小 。穩(wěn)定時(shí)的降深 即最大降深，可表示為： Br0)(2 Q 0 BrkTs m a x =式中 )(0 Brk 為零階第二類虛宗量塞爾函數(shù)，見 P103表 6.3。 能滿 足 Br )(0 Brk 當(dāng) 0.05時(shí)，在抽水井附近，則按貝塞爾函數(shù)性質(zhì)： 則 穩(wěn)定流中求得的裘布依公式為 對(duì)比上兩式得 :R=1.12B R就是裘布依公式中的影響半徑，在一定水文地質(zhì)條件下 B是常數(shù)，因而 R也是定值。此時(shí)， R的意義是在抽水效果不 變的條件下，把面積形式補(bǔ)給的越流量轉(zhuǎn)化為具有圓柱形側(cè) 向補(bǔ)給時(shí)的圓周半徑。 見 P104例 6.2 BrrBBrk 1 . 1 2ln)(0 rBTs m a x1 . 1 2ln2Q=rRTs ln2Q=第二類越流系統(tǒng)水流向承壓完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的計(jì)算公式 hHBuHTtrs = ),(4 Q),( dyuyyuByeBuHuy)(e r f c),(= atru42= 當(dāng)弱透水層上下為兩個(gè)相鄰含水層，抽水時(shí)間又很短的第二類越流系統(tǒng)（弱透水層中釋放出來的水量相當(dāng)大，不能忽略時(shí)）可用下列公式計(jì)算： erfc (x) 誤差函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)。 井函數(shù)自變量； 第二類越流系統(tǒng)井函數(shù)； kMTB=kMTB=22111BBB= 6.4集中開采區(qū)定流量完整干擾井群 在集中開采區(qū)，往往在較小范圍內(nèi)布置數(shù)量很多的單井，形 成相當(dāng)密切的干擾井群。由于單井的數(shù)量很多，用前面講的疊加方 法進(jìn)行計(jì)算是相當(dāng)繁瑣的。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以把集中開采區(qū)的干 擾井群近似概化為具有均勻開采（或補(bǔ)給）強(qiáng)度的開采地區(qū)，變成 假想的連續(xù)型干擾井群。若井群的總開采量為 Q，開采區(qū)面積為 A，則開采強(qiáng)度 e=Q/A。 實(shí)際的干擾井群無(wú)論怎樣密集總是 離散型的，概化為連續(xù)型只是一種近 似，把井群作為一個(gè)整體看待。在平 面上按井的分布應(yīng)用較多的連續(xù)型開 采地區(qū)有圓形和矩型。在含水層穩(wěn)定 展布的平原區(qū)，各種井群往往不均勻 地分布著，難以概化為單一的具有均勻開采強(qiáng)度的圓形或矩型開采 地區(qū)。因此，可以按井孔的分布和流量的情況、概化成若干個(gè)不同 開采強(qiáng)度、 不同幾何形狀的開采地區(qū)的組合。還可加上若干個(gè)難以 包括的單井 ,見上圖。 然后將若干個(gè)概化地區(qū)和單井疊加起來，就可求解。 3e1ee 2 6.4.1圓形開采區(qū) 右圖表示一平面無(wú)限延伸的承壓含 水層，厚度為 M，壓力傳導(dǎo)系數(shù) a=T/*，圓形開采地區(qū)的半徑為 R， 均勻開采強(qiáng)度為 e，總開采流量為 Q， 開采后區(qū)域降落漏斗、概化如圖中 所示。水流為軸對(duì)稱的，可列出以 降深表示的數(shù)學(xué)模型： 可推得 開采中心區(qū)最大降深 MH0hs 0R rhsm a x 0Q ()4 cs W uT= 0000(1 )( ) ( ) uceW u W uu=20 4Ruat=當(dāng) u00.05，即抽水時(shí)間較長(zhǎng)， 時(shí) 001 1ueu00 26 . 1 1( ) ( ) 1 l ncatW u W uR= = 1r 時(shí)， 00200Q (1 ) ( ) 4uues W u r eTu= 1r 時(shí)， 00Q ( ) 0 . 5 4 us W u uT = (1 . 5 2 )rr時(shí)， 0Q ()4s W uT= 此式表示在距離比較遠(yuǎn)處，圓形開采區(qū)的作用與單井的作用 相同，可以用單井公式計(jì)算。 見 P106例 6.3。 6.4.2矩形開采區(qū) 圖 6.12表示一平面無(wú)限延伸的承壓 含水層，厚度為 M，壓力傳導(dǎo)系數(shù) a=T/*，矩形開采地區(qū)的邊長(zhǎng)為 2L和 2b，總開采流量為 Q，開采 后區(qū)域降落漏斗、概化如圖中所 示，均勻開采強(qiáng)度為 e =Q/4Lb， MH0hs 0L0xybs1 * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2L x b y L x b y L x b y L x b ys s s s sa t a t a t a t a t a t a t a t = 10* ( , ) e r f ( ) e r f ( )s = bb d 在開采中心 x =0， y =0處 降深最大， m a x * ( , )* 22t L bssa t a t=e上式簡(jiǎn)化為： 見 P106例 6.4 。 6.4.3潛水含水層在降深不大時(shí) 可近似應(yīng)用承壓井的公式 （ 6.89） 見 P107例 6.5 。 6.5無(wú)越流含水層中水流向完整干擾井群的非穩(wěn)定滲流 6.5.1.1承壓完整干擾井群 211 Q ( )2nn i iis H H W uk= - - p 根據(jù)疊加原理 ，若 n個(gè)井同時(shí)抽水， t時(shí)刻在 A點(diǎn)的水位降深為 ： )4(Q4 1121= ni iiAinAAAA Tt*rWTssss當(dāng) 01042.TtsriiA 時(shí)，其近似公式為： 252lnQ411 2= ni iAiiA*rTt.Ts 6.5.1.2潛水完整干擾井群 對(duì)潛水含水層在降深不大時(shí)可近似用下式： )4(Q2 1)2(21202iiAni iAAA TtrWkhHssH = 當(dāng) 時(shí)，其近似公式為： 01042.uTt sr iiiA = 2 . 2 5lnQ21)2(21202iAini iAAA ratkhHssH = 6.5.2邊界附近地下水向井的非穩(wěn)定滲流 6.5.2.1直線補(bǔ)給邊界 承壓含水層一側(cè)為定水位的河流，另一側(cè)無(wú)限延伸。有一抽水 井在工作。設(shè)以河流邊界為鏡面，在另一側(cè)對(duì)稱位置上有一注水 井，以 Q注 =Q抽 工作。根據(jù)疊加原理可寫出直線補(bǔ)給邊界附近的 單井非穩(wěn)定抽水時(shí)， t時(shí)刻任意一點(diǎn) A的降深計(jì)算公式： )(-)(4 Q 21 uWuWTs A =當(dāng) u10.01， u20.01時(shí)，可用下列近似公式： 122221ln2 Q2 . 2 5ln-2 . 2 5 l n4 Q rrTr atr atTs A = 上式的右端沒有時(shí)間 t的變量，說明 sA不隨 時(shí)間而變化，和穩(wěn)定 流的方程式一樣。所以有補(bǔ)給邊界存在的條件下，抽水井工作一 段時(shí)間后，便可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。 見 P 109例 6.6 。 6.5.2.2直線隔水邊界 如工作井是在承壓含水層中的抽水井，虛構(gòu)井可看成是抽水 井，流量同真實(shí)的抽水井一樣。根據(jù)疊加原理可寫出直線隔水邊 界附近的單井非穩(wěn)定抽水時(shí)， t時(shí)刻任意一點(diǎn) A的降深計(jì)算公式： )()(4 Q 21 uWuWTs A = 當(dāng) u10.01， u20.01時(shí)，可用下列近似公式： 212221252ln2Q2 . 2 5ln2 . 2 5 l n4Qrrat.TratratTs A = 6.6地下水向非完整井的非穩(wěn)定流滲流運(yùn)動(dòng)基本方程式 對(duì)于承壓水非完整井： ),(2)()(4QrMMLuWhHkM=對(duì)于潛水非完整井： ),(2)()(2Q 22rMMLuWhHk= 6.7水文地質(zhì)參數(shù)的確定 利用穩(wěn)定流抽水試驗(yàn)計(jì)算水文地質(zhì)參數(shù) 一、單井穩(wěn)定抽水試驗(yàn)計(jì)算滲透系數(shù) k 2103 4Q ( m 3s(m)2460 0 0 0 0 0 000 0 0 0/ d )a 型b 型h2利用裘布依型穩(wěn)定流公式進(jìn)行滲透系數(shù)計(jì)算時(shí)，若沒有觀測(cè)孔而只能根據(jù)抽水井的出水量、水位下降等數(shù)據(jù)，則應(yīng)消除抽水井附近產(chǎn)生的三維流、紊流的影響；特別是在抽水井水位下降值較大的情況下，最好采用下列 消除滲透阻力的方法： 首先根據(jù)單井內(nèi)水位下降值 s 與相應(yīng)的出水量 Q繪制 Q s關(guān)系 曲線，如 右 圖所示，再按所得曲 線類型選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算公式。 1.當(dāng)承壓井 Q s(或潛水井 Q )呈直線關(guān)系時(shí) （見右圖中的 a型曲線）， 地下水運(yùn)動(dòng)為平面流，可 直接采用第五章的公式計(jì)算 滲透系數(shù) k。 (注：潛水含 水層在自然情況下： )。見 P112例 6.7。 2. 當(dāng) Q s(或 )關(guān)系呈曲線關(guān)系時(shí)（見圖 6.14中的 b型 曲線），抽水井壁及其附近含水層中，已產(chǎn)生三維紊流，不 符合裘布依的基本假定條件，因此不能直接用穩(wěn)定流公式進(jìn) 行計(jì)算。為了消除三維流、紊流的影響，在計(jì)算時(shí)應(yīng)采用消 除阻力法。方法如下： 首先繪制 或 關(guān)系曲線， 若根據(jù)三次水位下降 2103 4Q ( m3s(m)2460 0 0 0 0 0 000 0 0 0/ d )a 型b 型h22h2022 hHh =2hQQ s QQ2h的 Q、 s P113例 6.8 QQ sQQ2hQsQ2h值所做的承壓水的 或潛水的 則可將直線在縱軸上的截距 a值代入第五章的公式計(jì)算 滲透系數(shù)，這種方法稱為截距法。即用 a代替承壓井公式中的 ；用 a 代替潛水井公式中的 ，然后再求滲透系數(shù) k。 呈直線時(shí)， / d )3Q ( m)2s/Q(d/ma4.02.00 0300.0200.0. 100000020001123關(guān)系曲線 式中 s0 =H -h0 ； h0 井中水深。 二、帶觀測(cè)孔的單井穩(wěn)定抽水試驗(yàn)計(jì)算滲透系數(shù) k 為了避免抽水井附近的三維紊流影響，所選的最近觀測(cè)孔距 主井的距離一般為含水層厚度的一倍，而所選的最遠(yuǎn)觀測(cè)孔距 第一個(gè)觀測(cè)孔的距離也不宜太遠(yuǎn)，以保證各觀測(cè)孔內(nèi)有一定的 水位下降值，并使各觀測(cè)孔的水位下降值在 )( 2hs 或的直線段內(nèi)。 1.有一個(gè)觀測(cè)孔 lgr曲線 承壓水完整井 010ln)(2 Q rrssMk = 潛水完整井 0122 ln)(Qrrhhk = 當(dāng)觀測(cè)孔距抽水井較近時(shí)，易受三維紊流影響，如采用 6.7.1.1中 的方法，則滲透系數(shù)偏?。划?dāng)遠(yuǎn)離抽水井時(shí)，如采用 6.7.1.1中的方 法，則滲透系數(shù)偏大。 2.有兩個(gè)觀測(cè)