構(gòu)建前后一致邏輯連貫的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.ppt

使學(xué)生在前后一致邏輯連貫的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)會思考,人民教育出版社章建躍zhangjy,一、數(shù)學(xué)的育人功能在哪里？,數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育課程體系中的特殊地位，在于它是發(fā)展學(xué)生的智力、培養(yǎng)邏輯思維能力的主要學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)科的最大用處是育人，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、運算能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力等，而且在鍛煉學(xué)生的心智、培育理性精神上也是不可替代的。,二、如何發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能？,從數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的內(nèi)部尋找。教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)地認識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”兼顧，但目前只追求“術(shù)”，把數(shù)學(xué)搞成解題術(shù)注重雕蟲小技，而忘卻了數(shù)學(xué)的根本。,三、取勢,“勢”是方向，“取勢”是“順勢而為”?；貧w數(shù)學(xué)教育的本來面目，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的目標，這就是大勢所趨。具體而言，就是要為學(xué)生的終生發(fā)展考慮，著眼于學(xué)生的長期利益，充分挖掘數(shù)學(xué)所蘊含的價值觀資源，以培育學(xué)生的理性精神、發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識、學(xué)會數(shù)學(xué)思考的過程中，成為善于認識問題、解決問題的人才。,四、明道,明即明白、懂得，道即規(guī)律、原則。數(shù)學(xué)教學(xué)首先要遵循“數(shù)學(xué)之道”，懂得數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。例如，“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運算代數(shù)學(xué)要研討的就是如何有效、有系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題”，“數(shù)學(xué)推廣過程要使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立”。學(xué)習(xí)數(shù)及其運算后，從“運算”出發(fā)，通過類比，可以自然地提出“代數(shù)式”的研究任務(wù)、過程和方法。,例數(shù)系擴充過程所體現(xiàn)的邏輯連貫性、數(shù)學(xué)思想方法的一致性。,課例：三角函數(shù)起始課任意角,立意：讓學(xué)生學(xué)會認識和解決問題的方法。以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究過程，包括：明確問題，獲得對象，確定內(nèi)容，選取方法，實施過程，獲得結(jié)論。,1如何“開篇”,本課是“三角函數(shù)”的“開篇”，應(yīng)發(fā)揮“先行組織者”的作用。要充分重視構(gòu)建本章的基本研究思路的教學(xué)，為整章學(xué)習(xí)做好準備。解決好兩個問題：第一，為什么要學(xué)習(xí)本章內(nèi)容；第二，從哪里入手。,為什么要學(xué)習(xí)本章？,已有的函數(shù)模型不能解決“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的刻畫問題?！爸芏鴱?fù)始”現(xiàn)象中，最本質(zhì)的就是勻速圓周運動。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，往往從簡單而本質(zhì)的情形入手。因此，可以進一步地把刻畫單位圓上的勻速圓周運動作為研究“周而復(fù)始”現(xiàn)象的起點。,從哪里入手？,確定單位圓周上點的勻速運動的要素是什么？可用帶有方向的角或帶有方向的弧長來刻畫（這里可以類比“相反意義的量”和“負數(shù)的引入”）。如果用同樣的“單位長度”來度量角和弧長的話，兩者就可以統(tǒng)一。所以，把角作為原始變量，再用單位圓的弧長來度量角，就可為刻畫勻速圓周運動提供必要的基礎(chǔ)。這樣，把角推廣到“任意角”、引進“弧度制”是需要先做的事情。,2如何獲得“任意角”概念,角是“轉(zhuǎn)”出來的。類比：用正、負數(shù)表示具有相反意義的量，以及確定一個“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的“三要素”，給定角的始邊，只要確定了旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量，這個角就唯一確定了。為了表示旋轉(zhuǎn)量超過一周的角，需要將角的范圍擴大；為了表示不同方向的角，需要引進正角、零角、負角等概念；相關(guān)概念有角的頂點、始邊、終邊等。,具體教學(xué)時，可以采取如下過程：生活事例到數(shù)學(xué)抽象類比（有理）數(shù)范圍的擴充，概括共同特征定義關(guān)鍵詞辨析。這里需要強調(diào)“定義一個新概念的方法”，確定一個“任意角”的條件旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。任意角不僅是可以取任意大小的角，而且還有方向，這很重要。,3如何表示“任意角”,除用度數(shù)表示外，還可用“形”表示。類比數(shù)軸上的點表示實數(shù)，以“沒有正負的0角”為“基準”，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的方向相同，在這個統(tǒng)一前提下，任意角就只與它的終邊相關(guān)。由此可以讓學(xué)生理解象限角定義的思想，而且其中滲透了標準化、簡單化、對應(yīng)等思想，在同一“參照系”下，可使角的討論歸結(jié)為終邊的問題，問題得到簡化，并有效地表現(xiàn)出終邊位置的“周而復(fù)始”,4“象限角”的性質(zhì),定義了一個數(shù)學(xué)對象，就要討論它有哪些性質(zhì)。性質(zhì)有多種研究方向。象限角：給定一個角，存在唯一的終邊與之對應(yīng)；但一條終邊可以對應(yīng)無數(shù)個角。既然這些角的始邊相同，終邊重合，數(shù)學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生自然會想，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，一個自然的問題是：終邊相同的角之間有什么關(guān)系呢？,小結(jié),本堂課立足于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生的理性精神，使學(xué)生逐步學(xué)會認識問題、解決問題的方法，針對“三角函數(shù)的開篇”的內(nèi)容特點，先構(gòu)建研究“周而復(fù)始”運動變化規(guī)律的整體框架，然后再從中找到研究問題的切入點角的概念的推廣；以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷“背景定義表示性質(zhì)”的過程研究“任意角”。,數(shù)學(xué)教學(xué)還要掌握學(xué)生的“思維之道”，按學(xué)生的認知規(guī)律教學(xué)。例如，“數(shù)列”的學(xué)習(xí)應(yīng)該按照這種“認知的規(guī)律”，為學(xué)生構(gòu)建一個研究“一列數(shù)”的“基本套路”，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個數(shù)學(xué)對象的基本過程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)認識和解決問題的能力。,等差數(shù)列的理解與教學(xué),數(shù)列的概念和表示注意從函數(shù)的研究中得到啟發(fā)；等差數(shù)列：概念、表示（通項公式）、性質(zhì)（等差中項），等差數(shù)列的“原型”就是自然數(shù)列n；等差數(shù)列的前n項和公式：從概念和性質(zhì)中推出的自然結(jié)果；應(yīng)用作為知識的聯(lián)結(jié)點。,等差數(shù)列的概念和通項公式,如何教概念？問題觀察下列數(shù)列，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）0，5，10，15，；（2）5.5，7.5，9.5，11.5，；（3）0，2.5，5.0，7.5，追問：是相鄰兩項的差嗎？從第二項起這個問題能引出等差數(shù)列的概念嗎？,問題不恰當(dāng)，源于：（1）對概念理解不到位“等差”是由運算引發(fā)的！等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，“考察特例”是一種“基本套路”；（2）對教材不理解教材是這樣開頭的：初中學(xué)了實數(shù)及其運算、性質(zhì)。現(xiàn)在我們面對一列數(shù)（數(shù)列），能不能也像研究實數(shù)一樣，研究它的項與項的關(guān)系、運算和性質(zhì)呢？我們先從一些特殊的數(shù)列入手；（3）對學(xué)生不理解這些數(shù)列的共同特征不只是“等差”，沒有從關(guān)系、運算等作必要引導(dǎo)，學(xué)生的觀察沒有方向。,如何教通項公式？,什么叫“通項公式”？研究一個數(shù)學(xué)對象的“基本套路”是：獲得對象（下定義）表示對象研究性質(zhì)建立與相關(guān)知識的聯(lián)系?！巴椆健钡炔顢?shù)列的一種表示，就像函數(shù)的解析式一樣，要回答的是“第n項an與序號n的關(guān)系”?！扒笸椆健睆亩x出發(fā)。,等差數(shù)列的性質(zhì),運算中出現(xiàn)的規(guī)律性有了運算，數(shù)的力量無限。最簡單的等差數(shù)列：三項“等差中項”；如何看“等差中項”？平均數(shù)！當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq；,前n項和公式的教學(xué)設(shè)計,作為自然數(shù)列性質(zhì)的自然延伸、一般化將a1=1，d=1一般化。如何看1+2+3+n=？有多種角度：“平均數(shù)”，不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，等；“平均數(shù)”本質(zhì)上是等差數(shù)列的性質(zhì)：am+an=ap+aq，當(dāng)m+n=p+q時這是“倒序求和”技巧的源頭。,教科書的設(shè)計思路,總體思想：希望學(xué)生領(lǐng)悟到“倒序求和”技巧的來源。問題1高斯是如何求出1+2+100的？問題2如果從數(shù)列的角度看，你認為他利用了數(shù)列1，2，3，的什么特性？問題3你能用高斯的方法求1+2+101嗎？問題4如何用高斯的方法求1+2+n？問題5一般地，設(shè)公差為d的等差數(shù)列an，你能求出Sn=a1+a2+an嗎？（什么叫求Sn？）,回到概念去，回到基本性質(zhì)去返璞歸真，至精至簡，以簡馭繁，大巧若拙?！暗剐蚯蠛汀笔堑裣x小技！,關(guān)于“遞推數(shù)列”的教學(xué),常見做法歸納題型，總結(jié)技巧：1利用a1=S1，an=SnSn-12an+1=kan+b型，分k=1和k1討論，k1時，設(shè)an+1+m=k（an+m），3an+1=kan+f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k1、f(n)=an+b，f(n)=qn(q0，1)，等；4an+1=f(n)an型；5.an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù))型；題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為主線，雜亂無章。,an+1=pan+q型通項公式的教學(xué)設(shè)計,核心思想：通過代數(shù)變形，將其他數(shù)列化歸為等差、等比數(shù)列。求an+1=pan+q型數(shù)列通項公式問題，一般地，抽象問題具體化、一般問題特殊化是研究問題的基本策略。問題1已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求通項公式。問題2已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求通項公式。問題3已知a1=1，an+1=2an+t（n1），求通項公式。,問題4已知a1=1，an+1=3an+1（n1），求通項公式。問題1、2可以“湊”，但問題4不能，怎么辦？注意觀察前兩個問題的解決過程，轉(zhuǎn)化得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題4有什么啟發(fā)？結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=2(an+t)的形式。問題4一般地，對于a1=a，an+1=pan+1+q，如何求通項公式？因為推廣到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細節(jié)、特例的追究。,加強認識和解決問題方法的教學(xué),如何獲得研究對象；構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本線索；發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問題；掌握研究問題的基本方法。,五、優(yōu)術(shù),“術(shù)”的基本解釋是方法、技藝，如技術(shù)、藝術(shù)、學(xué)術(shù)、戰(zhàn)術(shù)、心術(shù)等，是知識、經(jīng)驗、技術(shù)、方法、手段等的集合體，也是解決問題的流程和策略?！靶g(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法，是可以提高辦事效果和效率的技巧。“優(yōu)術(shù)”即提升方法、技藝的水平，積累實用的策略，總結(jié)經(jīng)驗并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（經(jīng)驗之中有規(guī)律）等等。,例：“基本不等式”的教學(xué)思考。,讓學(xué)生解“好題”,好題的標準：反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡潔、流暢且好懂，等等。,做題目，為什么？,現(xiàn)狀：解題教學(xué)占據(jù)大部分時間。認為“會解題”最重要，解題速度快就是靈活，會解難題就是數(shù)學(xué)水平高。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，為追求速度而搞大運動量刺激-反應(yīng)訓(xùn)練，為解難題而挖空心思地玩技巧等現(xiàn)象司空見慣，至于解題目的，太多老師疏于思考。解一輩子題不知道“為什么”，乃至教一輩子數(shù)學(xué)不知道教什么的老師大有人在。,解題的目的,加深理解概念，牢固掌握雙基；加強概念的聯(lián)系性，從聯(lián)系中獲得靈活運用知識的靈感；學(xué)會思考，培養(yǎng)和發(fā)展能力；查漏補缺；培養(yǎng)學(xué)習(xí)（解題）習(xí)慣。,解題教學(xué)的要訣,習(xí)題要精選，題量要適度；題目要有典型性和多樣性，要有一定數(shù)量的基本題；由單一到綜合，循序漸進，由淺入深；培養(yǎng)“回到概念去”