初中數學八年級下冊平行四邊形備課攻略.docx

人教版八年級下冊數學第十八章平行四邊形備課攻略【課程標準解讀】課程標準對本章節(jié)內容要求掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念和性質，了解它們之間的關系，了解四邊形的不穩(wěn)定性；探索并掌握平行四邊形的有關性質；探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質；探索并了解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法并能運用；把握中位線定理和直角三角形斜邊的中線推論?！局R要點解析】（一）平行四邊形1平行四邊形：(1)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形用符號“”表示平行四邊形ABCD記作，讀作平行四邊形ABCD2平行四邊形的性質：(1) 平行四邊形的對邊平行且相等 (2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補。(3)平行四邊形的對角線互相平分(4)若一條直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分平行四邊形的面積【典型例題】（泰安中考，19，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB4，BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DGAE，垂足為G，若DG1，則AE的邊長為（）A2 B4 C4 D8【分析】：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到ADDF，由F為DC中點，ABCD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AFEF，即可求出AE的長【解答】：解：AE為ADB的平分線，DAEBAE，DCAB，BAEDFA，DAEDFA，ADFD，又F為DC的中點，DFCF，ADDFDCAB2，在RtADG中，根據勾股定理得：AG，則AF2AG2，在ADF和ECF中，ADFECF（AAS），AFEF，則AE2AF4【點評】：此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵【變式訓練】（泰安中考，8，3分）如圖，五邊形ABCDE中，ABCD，1、2、3分別是BAE、AED、EDC的外角，則123等于（）A90 B180 C210 D270【分析】：本題考查平行線的性質根據兩直線平行，同旁內角互補求出BC180，從而得到以點B點C為頂點的五邊形的兩個外角的度數之和等于180，再根據多邊形的外角和定理列式計算即可得解【解答】：解：ABCD，BC180，45180，根據多邊形的外角和定理，12345360，123360180180故選B【點評】：本題考查了平行線的性質，多邊形的外角和定理，是基礎題，理清求解思路是解題的關鍵3兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離(2)兩平行線間的距離處處相等【典型例題】，將度相同（對邊平行）交叉，你認為是什么圖形，為什么？【答案】是菱形【解答】解： 依題意可知ABCD，ADBC所以四邊形ABCD是平行四邊形分別作CD，BC邊上的高為AE，AF，因為兩紙條相同，所以紙條寬度AE=AF因為平行四邊形的面積為AECD=BCAF，所以CD=BC所以平行四邊形ABCD為菱形【點評】熟練掌握菱形的性質及判定，考查菱形的判定，四條邊相等的四邊形即為菱形【變式訓練】如圖，平行四邊形ABCD的相鄰邊AD：AB=5：4，過點A作AEBC，AFCD，垂足分別為E、F，AE=4，求AF的長 【答案】5【解答】用等面積法做 因為AD比AB=5比4 所以設AD=5x AB=4x AF=a AE*BC=AF*CD 5X*4=4X*a a=5【點評】本題主要考查了平行四邊形兩平行線之間距離問題。已知兩邊的比，求一高，可考慮利用面積法。4平行四邊形的周長、面積：（1）平行四邊形的周長=四條邊長之和。(2)如圖，(2)同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等如圖，有公共邊BC，則【典型例題】（ 四川瀘州，16，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，若AB=5cm，BC=4cm，則，平行四邊形ABCD的周長為 cm.【答案】：18.【解析】：根據平行四邊形性質，找出對邊長度，再求四邊的和即為平行四邊形周長.周長為（5+4）2=18（cm）.【點評】：平行四邊形周長等于兩鄰邊和的2倍.【變式訓練】、平行四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，對邊AD和BC間的距離是4cm，則對邊AB和CD間的距離是_【答案】8cm.【解答】解：設對邊AB和CD間的距離是xcm，根據平行四邊形的面積公式可得：6x=124，可得x=8故答案為8【點評】“等面積法”是數學中的重要解題方法在三角形和四邊形中，以不同的邊為底其高也不相同，但面積是定值，從而可以得到不同底的高的關系根據平行四邊形的面積公式求解即可5平行四邊形的判別方法：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 (2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 (5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【典型例題】（四川瀘州中考，6，2分）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（） AAB/DC，AD/BC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DAB/DC，ADBC【答案】D【解析】根據平行四邊形的定義，選項A中的條件能判定這個四邊形是平行四邊形；根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，選項B中的條件能判定這個四邊形是平行四邊形；根據“對角線互相平的四邊形是平行四邊形”，選項C中的條件能判定這個四邊形是平行四邊形；一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，選項D中的條件不能判定這個四邊形是平行四邊形所以答案選D【點評】平行四邊形的判定是本題的考查目標，關鍵要熟悉平行四邊形的判定方法，并且結合圖形判斷【變式訓練】（ 江蘇泰州市，23，本題滿分10分)如圖，四邊形ABCD中，ADBC,AEAD交BD于點E，CFBC交BD于點F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形【解析】要證四邊形ABCD是平行四邊形只要證AD=CB，需證AEDFCB，結合易知證明就較為簡單【答案】ADBC,ADE=CBF，又DAE=BCF=900，AEDFCB，AD=BC，四邊形ABCD是平行四邊形【點評】本題是一個簡單的考查平行四邊形的判定的證明題，平行四邊形的相關知識是初中階段必須掌握的這類中考題目一般并不難，側重考查對課本知識的掌握和理解運用6平行四邊形知識的運用：(1)直接運用平行四邊形特征解決某些問題，如求角的度數，線段的長度，證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等(2)識別一個四邊形為平行四邊形，從而得到兩直線平行(3)先識別個四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的特征去解決某些問題【典型例題】（ 浙江省湖州市，20，8分）已知，如圖，在ABCD中，點F在AB的延長線上，且BF=AB，連接FD交BC于點E。（1）說明DCEFBE的理由；（2）若EC=3，求AD的長?！窘馕觥浚?）分析圖形，在DCE和FBE中，隱含DEC=FEB,結合平行四邊形的性質，應用“AAS”可證得；（2）根據全等三角形的性質，可得EC=BE,即BC=6，結合平行四邊形的性質，可得AD=6.【答案】（1）在ABCD中，AB=DC,ABDC,CDE=F,又BF=AB,DC=FB,DEC=FEB,DCEFBE;（2）DCEFBE,EB=EC,EC=3，BC=6，又ABCD，AD=BC,AD=6.【點評】本題主要考察了全等三角形的判定和性質，以及平行四邊形的性質，解決問題的關鍵是從圖中挖掘隱含條件：對頂角，探求全等的判定方法，是中度題?！咀兪接柧殹吭诘妊麬BC中，AB=AC，點D是直線BC上一點，DEAC交直線AB于E，DFAB交直線AC于點F，解答下列各問：（1）如圖1，當點D在線段BC上時，有DE+DF=AB，請你說明理由；（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，請你參考（1）畫出正確的圖形，并寫出線段DE、DF、AB之間的關系（不要求證明）【點撥】（1）由題意可得四邊形AEDF時平行四邊形，所以DF=AE，通過平行線可得到角相等，轉化為線段相等，進而可得出結論（2）依據題意，作出圖形即可，而對于線段DE、DF、AB之間的關系，由（1）可得四邊形AEDF時平行四邊形，進而通過線段之間的轉化即可得出結論【解答】：（1）DEAC，DFAB，四邊形AEDF是平行四邊形，DF=AE，又AB=AC，B=BCA，DEAC，BDE=BCA，B=BDE，BE=DE，DE+DF=BE+AE=AB（2）如圖，DE-DF=AB四邊形AFDE是平行四邊形，AE=DF，B=BDE，BE=DE，DE-DF=AB【點撥】本題主要考查平行四邊形的判定及性質以及等腰三角形的性質，能夠熟練求解，并能作出簡單的圖形（二）矩形1、矩形定義: 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，矩形也是軸對稱圖形，對稱軸是通過對邊中點的直線，有兩條對稱軸；2、矩形的性質:(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質1: 矩形的四個角都是直角矩形性質2: 矩形的對角線相等且互相平分3、推論：直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4、矩形的判定方法矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形矩形判定方法3：有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定方法4： (4)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形【典型例題】已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 cm ，對角線比AD邊長4 cm求AD的長及點A到BD的距離AE的長【解答】解：設AD=xcm，則對角線長（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 則 AD=6cm（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm【點評】：本試題涉及到的知識點有矩形的性質、直角三角形的性質等，結合問題意境可知：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經常要用到直角三角形的性質，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法 【變式訓練】 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DFAE于F，若AE=BC 求證：CEEF 證明： 四邊形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此題還可以連接DE，證明DEFDEC，得到EFEC【點評】：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AFBE，則問題解決，而證明AFBE，只要證明ABEDFA即可，在矩形中容易構造全等的直角三角形（三）菱形1、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形【強調】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等2、菱形的性質性質1 菱形的四條邊都相等；性質2 菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；【典型例題】 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F是AB上一點，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 【解答】：四邊形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質以及菱形的判定方法，解題的關鍵是熟練掌握各種圖形的判定和性質【變式訓練】：在菱形ABCD中，M、N分別是BC、CD邊上的點，若AM=AN=MN=AB，求C的度數?！窘獯稹恳驗锳BCD為菱形，所以：AB=BC=CD=AD 已知：AM=AN=MN=AB 則，AMN為等邊三角形，ABM和ADN為等腰三角形 設B=D=x 那么，AMB=AND=x 所以，BAM=DAN=180-2x 那么，BAD=2*(180-2x)+60=420-4x 因為AB/CD 所以，BAD+ADC=180 即，(420-4x)+x=180 = 420-3x=180 = x=80 所以，C=180-D=180-80=100【點評】本題主要考查平行四邊形的性質、菱形的判定和性質，平行線的判定，解題的關鍵在于熟練掌握有關的性質定理，推出四邊形AMND為菱形3、菱形的判定菱形判定方法1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形【典型例題】已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四邊形AFCE是平行四邊形又 EFAC， AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)【變式訓練】（漳州模擬）如圖，AEBF，AC平分BAE，且交BF于點C，在AE上取一點D，使得AD=BC，連接CD和BD，BD交AC于點O（1）求證：AODCOB；（2）求證：四邊形ABCD是菱形【點撥】（1）首先根據平行線的性質可得DAO=BCO，再有條件AD=BC，AOD=COB，可以利用AAS定理證明AODCOB；（2）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證明BAC=BCA，可利用等角對等邊得到AB=BC，即可根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證出結論【解答】證明：（1）AEBF，在AOD和COB中，AODCOB（AAS）；（2）AEBF，ADBC，AD=BC，四邊形ABCD是平行四邊形，AC平分BAD，BAC=DAC，DAO=BCO，BAC=BCA，AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，關鍵是掌握：全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA；菱形的判定方法：菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形【變式訓練2】已知：如圖，ABC和DBC的頂點在BC邊的同側，AB=DC，AC=BD交于E，BEC的平分線交BC于O，延長EO到F，使EO=OF求證：四邊形BFCE是菱形【點撥】根據SSS先證明ABC和DBC全等，再根據全等三角形的性質和等腰三角形的三線合一，得出BO=CO，所以四邊形BFCE是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證【解答】證明：AB=DC AC=BD BC=CB，ABCDCB，DBC=ACB，BE=CE，又BEC的平分線是EF，EO是中線（三線合一），BO=CO，四邊形BFCE是平行四邊形（對角線互相平分），又BE=CE，四邊形BFCE是菱形【點評】本題主要考查了菱形的判定菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：定義；四邊相等；對角線互相垂直平分（四）正方形1、正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）有一個角是直角的平行四邊形 （矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形2、正方形的性質總結如下：邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角注意：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質 【典型例題】已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O，E是OB上的一點，DGAE于G，DG交OA于F求證：OE=OF【證明】： 四邊形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的對角線垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF【點評】：要證明OE=OF，只需證明AEODFO，由于正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根據ASA可以得到這兩個三角形全等，故結論可得【變式訓練】（ 東營，12，3分）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ ）A4個B3個C2個D1個【答案】：B【解析】：在正方形ABCD中，因為CE=DF，所以AF=DE，又因為AB=AD，所以，所以AE=BF，因為，所以，即，所以AEBF，因為S四邊形DEOF，所以 S四邊形DEOF，故（1），（2），（4）正確3、正方形的判定方法：(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形注意：1、正方形概念的三個要點：（1）是平行四邊形；（2）有一個角是直角；（3）有一組鄰邊相等2、要確定一個四邊形是正方形，應先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應的條件，確定是正方形.【典型例題】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A，C兩點作l1l2, 作BM垂直l1于M，DN垂直l1于N，直線MB，ND分別交l2于Q，P，求證：四邊形PQMN是正方形【分析】：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證ABMDAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP即可證出MN=NP從而得出結論【解答】由L1L2，MQL1，NPL1, MQL2,NPL2, 四邊形PQMN是矩形， 由MAB=NDA，MBA=NAD，AB=AD， ABMDAN（A，S，A） AM=DN，AN=BM， 同理可證AM=BQ=CP， BM=OQ=DP， MN=NP=PQ=QM， 四邊形PQMN是正方形。 證畢?！咀兪接柧殹咳鐖D，在ABC中，已知BAC=45，ADBC于點D，BD=2，DC=3，求AD的長小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：（1）分別以AB，AC為對稱軸，作出ABD，ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F，延長EB，FC交于點G，證明四邊形AEGF是正方形；【點撥】先根據ABDABE，ACDACF，得出EAF=90；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；【解答】證明：由題意可得：ABDABE，ACDACFDAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90又ADBCE=ADB=90，F=ADC=90四邊形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=ADAE=AF矩形AEGF是正方形【點評】本題考查圖形的翻折變換，注意把握翻轉變換前后線段及其角的相等關系?！緹狳c專題分析】（一）運動變化問題：【例題】如圖，ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MNBC，設MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F（1）試探索OE與OF之間的數量關系（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并給出說理過程（3）在（2）的前提下，如果四邊形AECF是正方形，那么ABC將是什么三角形呢？請說明理由【點撥】（1）由直線MNBC，MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F，易證得EOC與FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；（2）由（1）知，OE=OC=OF，當OC=OA，即點O為AC的中點時，可得OE=OC=OF=OA，即可證得四邊形AECF是矩形；（3）由正方形AECF可知，ACEF，又由于EFBC，得ACB=90，所以ABC是ACB=90的直角三角形【解答】：（1）MNBC，OEC=ECB，OFC=FCD又CE平分ACB，FC平分ACDECB=OCE，OCF=FCD，OEC=OCE，OFC=OCF，EO=OC，FO=OC，EO=FO；（2）由（1）知，OE=OC=OF，當OC=OA，即點O為AC的中點時，OE=OC=OF=OA，四邊形AECF是平行四邊形，AC=EF，這時四邊形AECF是矩形；當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，（3）由正方形AECF可知，ACEF，又EFBC，ACB=90，ABC是ACB=90的直角三角形【點評】此題考查了平行線，角平分線，等腰三角形的判定與性質以及正方形、矩形的判定與性質此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用【變式訓練】（ 貴州遵義，26, 分）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當BQD=30時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由【點撥】1）由ABC是邊長為6的等邊三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，設AP=x，則PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變【解答】：（1）ABC是邊長為6的等邊三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，設AP=x，則PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2；（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變理由如下：作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，點P、Q做勻速運動且速度相同，AP=BQ，ABC是等邊三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，A=FBQAEP=BFQ=90，APE=BQF，APEBQF，AE=BF，PE=QF且PEQF，四邊形PEQF是平行四邊形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等邊ABC的邊長為6，DE=3，當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線構造出全等三角形是答案此題的關鍵（二）折疊問題【例題】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，BAE=30，BE=，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處，則BC的長為（）A、3 B、3 C、 4 D、4【點撥】首先由折疊的性質，可得：AEB=AEC1，EC=EC1，然后由四邊形ABCD是矩形，易求得AEC1=AEB=60，即可證得AEC1是等邊三角形，可得AE=EC，又由直角三角形的性質，求得AE的長，則問題得解【解答】：由題意得：AEB=AEC1，EC=EC1，四邊形ABCD是矩形，ADBC，B=90，BAE=30，AEB=60，DAE=AEB=60，AEC1=AEB=60，AEC1是等邊三角形，AE=EC1，在RtABE中，BAE=30，BE=，AE=2BE=2，EC=2，BC=AE+EC=3故選A【點評】此題考查了折疊的性質，矩形的性質，等邊三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用【變式訓練1】如圖，ABCD是矩形紙片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上設F、H分別是B、D落在AC上的點，E、G分別是折痕CE與AB、AG與CD的交點（1）試說明四邊形AECG的形狀，并說明理由；（2）若矩形的一邊AB的長為3cm，DC=4cm，求AGC的面積；（3）當四邊形AECG是菱形時，求AGC的度數?！军c撥】（1）根據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，證明AGCE，AECG即可；（2）解法1：在RtAEF中，運用勾股定理可將EF的長求出；解法2，通過AEFACB，可將線段EF的長求出【解答】1）證明：在矩形ABCD中，ADBC，DAC=BCA由題意，得GAH=1/2DAC，ECF=1/2BCAGAH=ECF，AGCE又AECG，四邊形AECG是平行四邊形（2）解法1：在RtABC中，AB=4，BC=3，AC=5CF=CB=3，AF=2在RtAEF中，設EF=x，則AE=4-x根據勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4-x）2=22+x2解得x=3/2，即線段EF長為3/2cm解法2：AFE=B=90，FAE=BAC，AEFACB，EF/CB=AE/ACx/3=(4-x)/5，解得x=3/2，即線段EF長為3/2cm【點評】本題考查圖形的折疊變化，關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化【變式訓練2】（ 蘭州，26，10分）如圖1，在OAB中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB為邊，在OAB外作等邊OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長【解答】：（1）證明：RtOAB中，D為OB的中點，DO=DA，DAO=DOA=30，EOA=90，AEO=60，又OBC為等邊三角形，BCO=AEO=60，BCAE，BAO=COA=90，COAB，四邊形ABCE是平行四邊形；（2）解：設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8x，在RtABO中，OAB=90，AOB=30，BO=8，AO=BOcos30=8=4，在RtOAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4）2=（8x）2，解得：x=1，OG=1【點評】：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，以及勾股定理的應用，圖形的翻折變換，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理結合題意進行分析可得：（1）首先根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據等邊對等角可得DAO=DOA=30，進而算出AEO=60，再證明BCAE，COAB，進而證出四邊形ABCE是平行四邊形；（2）設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8x，再利用三角函數可計算出AO，再利用勾股定理計算出OG的長即可【小結】在解決矩形的折疊問題的關鍵是對折疊前后的圖形進行細致的分析，明卻各相等角或邊，同時在計算中注意選擇一個直角三角形運用勾股定理利用方程思想來求解。（三）最短、最小值問題：【典型例題】如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DM+DN的最小值為多少？【點撥】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化DN，MN的值，從而找出其最小值求解【解答】：四邊形ABCD是正方形， 對角線AC、BD互相垂直平分。 連接BD，連接BM，則交AC于N點， 這時候的N點使DNMN有最小值。 證明：連接ND，則由對稱性得：ND=NB， DNMN=BM兩點之間，線段最短， 而BM=BCMC=86=10， BM=DNMN=10， 即最小值=10【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質此題的難點在于確定滿足條件的點N的位置：利用軸對稱的方法然后熟練運用勾股定理【變式訓練1】如圖,菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,E 是BC的中點，F是對角線BD上的一個動點，請你求出EF+FC的最小值?！军c撥】根據軸對稱的性質，首先準確找到點P的位置根據菱形的性質，知：點A和C關于BD對稱則連接CE交BD于點P，P即為所求作的點PE+PA的最小值即為CE的長【解答】在AB上作點G使BG=BE，連接AC 即EF+FC最小時，GF+FC最小，即G、F、C三點共線 菱形ABCD AB=BC（菱形四條邊相等） E為B、C中點 BE=1/2BC=1/2AB BG=BE BG=1/2AB G為AB中點 AB=BC ABC為正三角形（一個角為60的等腰三角形為正三角形） AC=BC CGAB 在RTBCG中，G=90，BC=2，BG=1 CG=（勾股定理） EF+FC=【點評】此題的難點在于能夠正確找到點P的位置注意綜合運用等邊三角形的判定、等腰三角形的三線合一、勾股定理、菱形的四邊相等進行求解【變式訓練2】如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM。（1）求證：AMBENB；（2）當M點在何處時，AM+CM的值最?。划擬點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；【解析】（1）根據“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；（2）根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖）；（3）作輔助線，過E點作EFBC交CB的延長線于F，由題意求出EBF=30，設正方形的邊長為x，在RtEFC中，根據勾股定理求得正方形的邊長為【解答】：（1）ABE是等邊三角形，BA=BE，ABE=60，MBN=60，MBN-ABN=ABE-ABN，即BMA=NBE，又MB=NB，AMBENB（SAS）；（2）當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最??；如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，理由如下：連接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等邊三角形，BM=MN，AM+BM+CM=EN+MN+CM，根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長；【點評】本題考查軸對稱的性質和正方形的性質，是一道綜合性的題目，難度較大（四）規(guī)律探索問題：【例題】（濟寧中考，9，3分）如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（）A cm2 B cm2 Ccm2 Dcm2【點撥】：是關于矩形的性質和平行四邊形的性質運用的規(guī)律型問題。根據矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的，然后求解即可【解答】：設矩形ABCD的面積為S=20cm2，O為矩形ABCD的對角線的交點，平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的，平行四邊形AOC1B的面積=S，平行四邊形AOC1B的對角線交于點O1，平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的，平行四邊形AO1C2B的面積=S=，依此類推，平行四邊形AO4C5B的面積=cm2故選B 【點評】：本題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質，得到下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的是解題的關鍵A5D5=5（）2，C5D5=AC=（）25，四邊形A B C D 的周長是：=故答案為：20，【點評】此題主要考查了菱形的性質以及矩形的性質和中點四邊形的性質等知識，根據已知得出邊長變化規(guī)律是解題關鍵【單元自評試題】一、選擇題：1、如圖，在ABCD中，已知AD8， AB6， DE平分ADC交BC邊于點E，則BE等于（ ） A.2cmB.4cm C.6cmD.8cm【答案】A【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，BC=AD=8，CD=AB=6，ADBC，CED=ADE，DE平分ADC交BC于E，ADE=CDE，CED=CDE，CE=CD=6，BE=BC-CE=8-6=2故選A【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的判定與性質此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用由ABCD中，AD=8，AB=6，根據平行四邊形對邊平行且相等，可求得BC與CD的長，又由DE平分ADC交BC于E，即可求得CE的長，繼而求得答案2在平行四邊形ABCD中，點A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分別AB和CD的五等分點,點B1、B2和D1、D2分別是BC和DA的三等分點,已知四邊形A4 B2 C4 D2的面積為1,則平行四邊形ABCD面積為（ ）A.2 B. C. D.15【答案】5/3【解答】解：A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分別是AB和DC的五等分點，C1、C2和D1、D2分別是AD和BC的三等分點，設AA1=x，AB與C1D1之間的距離為y，SD2BA4=xy，同理可得：SAC1A4= 4xy=2xy，SDC1B1=xy，SCB1D2=2xy，S平行四邊形ABCD=5x3y=15xy，S四邊形A4D2B1C1=15xy-（2xy-2xy-xy-xy）=9xy=1，xy=1/9，SABCD=151/9= 5/3故答案為：5/3【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質，根據已知假設出各部分長度，進而表示出四邊形面積是解題關鍵根據A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分別是AB和DC的五等分點，C1、C2和D1、D2分別是AD和BC的三等分點，若S四邊形A4D2B1C1=1，可以表示出各部分的線段長度，進而表示出S四邊形A4D2B1C1的面積，即可得出平行四邊形面積即可3、（ 山東泰安，7，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CEAB，垂足為E，若EAD=53，則BCE的度數為（ ）A.53 B.37 C.47 D.127【解析】根據平行四邊形的性質得AD/BC，由兩直線平行同位角相等得B=EAD=53，根據直角三角形的兩銳角互余得BCE=90-B=37.【答案】B.【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質：平邊四邊形的對邊平行；平行線的性質：兩直線平行同位角相等；直角三角形的性質：直角三角形的兩銳角互余，綜合運用這三個性質是解題的關鍵。4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DGAE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（）A2 B4 C4 D8【答案】B【解答】：AE為ADB的平分線，DAE=BAE，DCAB，BAE=DFA，DAE=DFA，AD=FD，又F為DC的中點，DF=CF，AD=DF=DC=AB=2，在RtADG中，根據勾股定理得：AG=，則AF=2AG=2，在ADF和ECF中，ADFECF（AAS），AF=EF，則AE=2AF=4【點評 】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長5. 如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF. D 解析：EF垂直平分BC，BE=EC，BF=CF，CF=BE，BE=EC=CF=BF，四邊形BECF是菱形；當BC=AC時，ACB=90，A=EBC=45EBF=2EBC=245=90菱形BECF是正方形故選項A正確，但不符合題意；當CFBF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意；當BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意；當AC=BD時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意二、填空題：1( 湖南懷化)如圖6，在平行四邊形AB