數(shù)學(xué)之美——淺談數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性.doc.doc

淺談數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性摘要：通過對(duì)代數(shù)、幾何、解析幾何中對(duì)稱的分析，說明了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱對(duì)的重要性。關(guān)鍵詞：代數(shù)；幾何；解析幾何；對(duì)稱對(duì)稱，物體或圖形在某種變換條件(例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對(duì)于平面的反映,等等)下,其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象,亦即在一定變換條件下的不變現(xiàn)象。對(duì)稱的現(xiàn)象，廣泛地存在于各個(gè)學(xué)科之中，比如說，在建筑學(xué)中，很多建筑如故宮呈軸對(duì)稱之勢(shì)；在生物學(xué)中，很多動(dòng)物也呈左右對(duì)稱的體形；在藝術(shù)領(lǐng)域，各種風(fēng)格的服裝圖畫也表現(xiàn)出對(duì)稱的形態(tài)。那么，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性是怎樣的呢？讓我們來簡析一下數(shù)學(xué)的對(duì)稱性吧。尋求數(shù)學(xué)對(duì)稱之源，在代數(shù)中感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美尋求數(shù)學(xué)之源在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，很多時(shí)候，提到對(duì)稱便讓我們想到某些幾何圖形。然而，數(shù)學(xué)對(duì)稱的源頭卻是來自于代數(shù)，來自于多項(xiàng)式方程的解，這就使很多人感到疑惑了，所以，首先，讓我們通過多項(xiàng)式方程的求解來發(fā)現(xiàn)代數(shù)中的對(duì)稱。一元n次方程的根的對(duì)稱多項(xiàng)式1、當(dāng)n=2時(shí),假設(shè)a、b、c都是實(shí)數(shù),而且a0，x是未知數(shù),那么x的二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-b+b2-4ac2a和x2=-b-b2-4ac2a依照判別式v=b2-4ac0、v=b2-4ac=0、v=b2-4ac2時(shí)設(shè)a0,a1an都是復(fù)數(shù)且a00，x是未知數(shù),那么x的n次方程:a0xn+a1xn-1+an-1x+an=0有n個(gè)根x1,x2xn。韋達(dá)定理告訴我們:x1+x2+xn=-a1a0，x1x2+x1x3+.x1xn+x2x3+.+x2xn+.+xn-1xn=.x1x2.xn=(-1)nana0像x1+x2+xn，x1x2+x1x3+x1xn+x2x3+x2xn+xn-1xn.x1x2,xn這樣的多項(xiàng)式,不論把哪二個(gè)根xi,xj(ij)對(duì)換一下,這些多項(xiàng)式都不變動(dòng),所以稱為x1,x2xn的對(duì)稱多項(xiàng)式。在一元n次方程求解的過程中,我們發(fā)現(xiàn)了其解總是為對(duì)稱多項(xiàng)式,這種看似很神奇的現(xiàn)象其實(shí)確實(shí)不是不無規(guī)律的.在代數(shù)中,這種有趣的現(xiàn)象很多很多，接下來讓我們從回文數(shù)中探索一下代數(shù)中對(duì)稱性。有趣的回文數(shù)11=11111=121111111=1232111111111=1234321111111111111111111=12345678987654321一般來說，通過以下方式可得到一個(gè)回文數(shù)：2992=1216886=154154451=605605506=1111194491=586586685=127112711721=2992但196這個(gè)數(shù)，按照這個(gè)規(guī)則重復(fù)數(shù)十萬次，仍沒有得到回文數(shù)。現(xiàn)在大家都還在探索中。351=153621=126430762=26703497533=33579上面這些算式,等號(hào)左邊是兩個(gè)(或三個(gè))因數(shù)相乘,右邊是它們的乘積。如果把每個(gè)算式中的“”和“=”去掉，那么，它們都變成回文數(shù)。1242=24213486=6843102402=20420110124202=20242101如果分別把上面的回文算式等號(hào)兩邊的因數(shù)交換位置，得到的仍是一個(gè)回文算式，比如：分別把“1242=2421”等號(hào)兩邊的因數(shù)交換位置，得到算式是：4212=2124這仍是一個(gè)回文算式。12231=13221（積是2772）124032=230421（積是48384）這種回文算式，連乘積都是回文數(shù)。四位的回文數(shù)有一個(gè)特點(diǎn)，就是它決不會(huì)是一個(gè)質(zhì)數(shù)。設(shè)它為abba，那它等于a1000+b100+b10+a=1001a+101b。能被11整除。六位的也一樣，也能被11整除。代數(shù)中對(duì)稱的現(xiàn)象有很多，如楊輝三角等，當(dāng)然還有很多未研究出的問題需要我們不斷去探索。掌握這些代數(shù)的對(duì)稱，對(duì)培養(yǎng)我們的思維能力、轉(zhuǎn)化解題方式和提高做題速度有很大的積極作用，在以后的學(xué)習(xí)中，我們要多多注意代數(shù)中的對(duì)稱問題。在幾何中感受數(shù)學(xué)的直觀美古希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說：一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。在幾何中，數(shù)學(xué)的對(duì)稱更為直觀的反應(yīng)到我們的視野中。幾何圖形的對(duì)稱美是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)稱美最通俗直觀的解釋。圓關(guān)于圓心是對(duì)稱的，關(guān)于直徑也是對(duì)稱的。球形則最為特殊，它既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱，也是面對(duì)稱的圖形。直觀的感受這些現(xiàn)象中的對(duì)稱，你注意到了嗎？黃金分割比在幾何圖形中還有一些深層的對(duì)稱美,如:一條線段關(guān)于它的中點(diǎn)對(duì)稱,這條線段若左端點(diǎn)的坐標(biāo)為0,右端點(diǎn)的坐標(biāo)為1,那么中點(diǎn)在0.5處。又如:似乎黃金分割點(diǎn)(在X=0.618處)不是對(duì)稱點(diǎn),但若將左端點(diǎn)記為A,右端點(diǎn)記為B,黃金分割點(diǎn)記為C,則BCCA=CAAB；而且C關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D也是AB的黃金分割點(diǎn),因?yàn)锳DDB=DBBA；再進(jìn)一層看,D又是AC的黃金分割點(diǎn)；C是DB的黃金分割點(diǎn)。類似地一直討論下去,這可視為一種連環(huán)對(duì)稱。數(shù)學(xué)幾何的對(duì)稱，普遍應(yīng)用于生活中，甚至說我們是在追求這樣一種對(duì)稱來尋求美和平衡。這種對(duì)稱的應(yīng)用，可以很好地直觀地表現(xiàn)我們的思想和研究成果。我們要學(xué)會(huì)用更多的對(duì)稱幾何來豐富我們的生活。在代數(shù)與幾何的結(jié)合中感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美1637年，笛卡兒創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的研究，他建立起來的解析幾何學(xué)就是在數(shù)學(xué)方程和幾何圖形之間建立的一種對(duì)稱關(guān)系。在解析幾何中,許多問題的解決都采用了對(duì)稱性原理。如建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,可使運(yùn)算過程簡單,所得的方程也簡單；而各種曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式的推導(dǎo),更是充分利用了圖形本身的對(duì)稱性。下面以橢圓為例。橢圓:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)2a(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡。根據(jù)定義,求曲線方程時(shí)如何選擇坐標(biāo)系,有以下幾種方案:方案1:如圖1,建立坐標(biāo)系。(圖1)方案2:如圖2,取一個(gè)定點(diǎn)F1為原點(diǎn),F1、F2所在直線為x軸,過F1與F1F2垂直的直線為y軸。(圖2)方案3:如圖3,取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸。(圖3)方案4:如圖4,取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2所在直線為y軸,線段F1F2的垂直平分線為x軸。(圖4)直覺告訴我們:方案2比方案1好,方案1漫無頭緒,方案2利用了軸對(duì)稱；方案3、方案4比方案2更好,由于利用了中心對(duì)稱,顯得更直觀,更美觀。以方案3為例:設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為2c(c0,為什么不設(shè)為c?),點(diǎn)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),M與F1、F2的距離的和為2a,則F1(-c,0),F2(c,0),且|MF1|+|MF2|=2a(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a(1)方程(1)就是橢圓方程,但是它太繁雜了,遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是我們所追求的,還必須化簡,因?yàn)楹唵问钦胬淼臉?biāo)志。由(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=4cx(2)得(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=2cxa(3)(1)+(3)2,得(x+c)2+y2=a+cxa化為(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(4)ac0a2-c20(4)式兩邊同除以a2(a2-c2),得x2a2+y2(a2-c2)=1(5)方程(5)比(1)簡單多了。但我們覺得:既然橢圓的圖形具有對(duì)稱性,則它的方程也應(yīng)該有對(duì)稱性。這種對(duì)稱性激發(fā)心靈中對(duì)數(shù)與形、美與真、形式與內(nèi)容的統(tǒng)一和諧的追求,方程(5)尚不完美,我們?cè)O(shè)想應(yīng)該使y2的分母和x2的分母取得對(duì)稱的形式,即可把a(bǔ)2-c2也寫成一個(gè)正數(shù)的平方形式。a2-c20若a2-c2=b2(b0)則x2a2+y2b2=1(ab0)(6)(6)便是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。以上步驟是否只是一種形式上的游戲呢?不是,即使最后由(5)到(6)的直覺的調(diào)整也并非漫無目的,它符合追求對(duì)稱美的愿望,恩格斯說:形式的變化,不是無聊的游戲,而是解決問題的有效杠桿。事實(shí)上,a正好是橢圓長半軸的長,b正好是短半軸的長,原來,游戲中引進(jìn)的b居然有如此鮮明的幾何意義,真的符合對(duì)稱美的追求,這種標(biāo)準(zhǔn)形式也是我們對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)整體把握的基礎(chǔ)。因?yàn)閤與y的地位是對(duì)稱的,將兩者互換,可得方案4中的方程:y2a2+x2b2=1(ab0)(7)進(jìn)一步通過移軸,對(duì)照(6)式,可得方案2的方程:(x-c)2a2+y2b2=1(ab0)(8)還可類推得到方案1中的方程,把橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的中心平移到(h,k)得到(x-h)2a2+(y-k)2b2=1(ab0)(9)利用標(biāo)準(zhǔn)