數(shù)學(xué)論文.doc.doc

基于高斯函數(shù)形式的熱平衡積分法AGaussianFunctionBasedHeatBalanceIntegralMethod袁國(guó)靜2,1，令鋒21.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東肇慶526061投寄：濰坊學(xué)院學(xué)報(bào)收稿日期：2010-06-22；修改日期：2010-基金項(xiàng)目：廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（04011600）作者簡(jiǎn)介：袁國(guó)靜（1983-），女，山東濰坊人，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)與肇慶學(xué)院聯(lián)合培養(yǎng)碩士研究生。通訊作者：令鋒（1963-），男，陜西岐山人，教授，博士，基于高斯函數(shù)形式的熱平衡積分法袁國(guó)靜2,1，令鋒2（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)，內(nèi)蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學(xué)院，廣東肇慶526061）摘要：采用高斯函數(shù)形式的溫度分布，應(yīng)用熱平衡積分法及熱平衡積分法的細(xì)化方法求得單相融化問題的近似解。通過討論得知，當(dāng)Stefan數(shù)的倒數(shù)小于1時(shí)，熱平衡積分法的細(xì)化可有效提高精度。關(guān)鍵詞：熱平衡積分法；細(xì)化；高斯函數(shù)中圖分類號(hào)：O241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A0引言熱平衡積分法（HBIM）是1958年由Goodman最早提出的一類可以用來生成由微分方程控制的熱傳導(dǎo)方程的近似解的半解析的有效方法1。但是，HBIM的計(jì)算結(jié)果對(duì)選取的溫度分布函數(shù)具有敏感性，Goodman最先提出選用二次多項(xiàng)式作為溫度分布函數(shù)，同時(shí)也簡(jiǎn)單提及三次函數(shù)的情況，有算例表明，選擇三次函數(shù)作為溫度分布函數(shù)的精度卻比二次多項(xiàng)式的結(jié)果更差32，為了減少計(jì)算結(jié)果對(duì)溫度分布函數(shù)的依賴性，提高計(jì)算結(jié)果精度，Noble提出了HBIM的細(xì)化（Refinement）方法。Bell據(jù)此法求解了伴有相變的一維Stefan問題54，獲得較好的結(jié)果。Mosally等人以單相融化問題為模型，采用與數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比的方法，給出了當(dāng)Stefan數(shù)等于1時(shí)單相融化問題HBIM細(xì)化解的收斂速度6。徐湘田和令鋒通過理論分析而不依賴數(shù)值試驗(yàn)，分別給出了單相融化問題7和Neumann問題8的熱平衡積分細(xì)化解收斂性的證明。Gauss函數(shù)在Hermite多項(xiàng)式的定義中起著重要作用。熱傳導(dǎo)問題導(dǎo)熱過程的特征促使人們?cè)O(shè)想指數(shù)函數(shù)可能是適當(dāng)?shù)臏囟确植己瘮?shù)的選取形式，但計(jì)算表明，選擇指數(shù)函數(shù)作為溫度分布函數(shù)的精度反而比選取二次多項(xiàng)式的結(jié)果要差9，所以，選取高斯函數(shù)作為溫度分布函數(shù)可能是一種有益的嘗試。本文以單相融化問題為模型，以高斯函數(shù)為溫度分布形式，應(yīng)用熱平衡積分法及熱平衡積分法的細(xì)化方法求解單相融化問題，從而得到細(xì)化可提高精度的條件。1模型方程研究的定解問題采用半無限大介質(zhì)中固體融化問題的無量綱形式，初始溫度為它的融化溫度，數(shù)學(xué)描述如下6：22xutu，)(0tsx，0t（1）0)0,(xu，0x（2）,1),0(tu0t（3）0),(txu，)(tsx，0t（4）dtdsxu，)(tsx，0t（5）其中)(10muucLSte，其中Ste稱為Stefan數(shù)。方程式（1）（5）的解析解為6erftxerftxu21),(，)(0tsx，0t（6）tts2)(，0t（7）其中是超越方程1)(2eerf（8）的根，稱為融化參數(shù)。2高斯函數(shù)形式的熱平衡積分解方程式（1）兩邊關(guān)于x在,0s內(nèi)應(yīng)用熱平衡積分法，得到熱平衡積分方程0)(0xtsxsxuxudxtu（9）把式（5）代入上式得00xsxudtdsdxtu（10）研究高斯函數(shù)形式熱平衡積分方程近似解，令2),(sxcesxbatxv（11）參量cba,為常數(shù)，由式（11）得tv，0xxv（12）把式（12）計(jì)算結(jié)果代入式（10）得cceebbcdtdsscc2)12(2（13）由式（11）得)2()(cctsxceesbxv（14）由式（14）和式（5）得)21(cbedtdssc（15）由式（3）（4）得1a，0cbea（16）聯(lián)立式（13）（15）（16）得cececcc21)1(2)21(（17）由式（15）（16）得ttcs*22212（18）221*c（19）當(dāng)1t，取不同值時(shí)，融化界面s的精確解、高斯函數(shù)形式熱平衡積分解、二次多項(xiàng)式形式熱平衡積分解作比較，如表1所示表1精確解，高斯函數(shù)形式熱平衡積分解和二次多項(xiàng)式形式熱平衡積分解比較精確解高斯函數(shù)形式二次多項(xiàng)式形式數(shù)值解相對(duì)誤差數(shù)值解相對(duì)誤差0.22.11942.0698-0.02342.21520.04520.41.72481.7079-0.00981.79540.04090.61.50241.4942-0.00551.55500.03500.81.35171.3470-0.00341.39260.030311.24021.2372-0.00241.27300.02641.21.15191.1508-0.00181.18000.0235由表1可見，高斯函數(shù)形式熱平衡積分解比二次多項(xiàng)式形式解有更高的精度。3高斯函數(shù)形式的熱平衡積分細(xì)化解將區(qū)間,0sn等分，得到n個(gè)長(zhǎng)度為ns的子區(qū)間，10v，0nv，nsixi令：2sxciiiiesxbav，iixxx1，ni,2,1(20)由上式可知：未知參數(shù)為13n個(gè)。（1）據(jù)式（3）（4）得11a，ncnneba（21）（2）據(jù)在節(jié)點(diǎn)ix上的連續(xù)性得當(dāng),1iixxx時(shí)，節(jié)點(diǎn)ix上溫度近似為2niciiiienibav當(dāng),1iixxx時(shí)，節(jié)點(diǎn)ix上溫度近似為2111niciiiienibav所以21211niciniciiiiiebebniaa，1,2,1ni，（22）（3）同理，據(jù)在節(jié)點(diǎn)ix上導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性得21212121212nicenicebbiniciniciiii，1,2,1ni，（23）（4）當(dāng)sxxn,時(shí))21()(ncntsxcesbxvn（24）由式（24）和式（5）得)21(ncncebdtdssn（25）（5）在iixx,1內(nèi)對(duì)x積分得n個(gè)熱平衡積分方程11iiiixxxxxxxvxvdxtv，ni,2,1（26）由式（20）得ixxxv，1ixxxv，tv（27）把式（27）結(jié)果代入式（26）得2222221121221211122121212niciiniciniciiniciiniciiniciiiiiiiiebcniebebcniebnicebnicebcdtdss（28）令式（28）等于式（25）得代數(shù)方程21211121212221nicebnicebciniciiniciiii2222121212221niciiniciniciinicincniiiinebcniebebcniebceb1,2,1ni，（29）（6）在區(qū)間sxn,上11)(nnxxtsxsxxvxvdxtv（30）由式（20）得dxtvsxn1，1nxxxv（31）把式（31）結(jié)果和式（5）代入式（30）得第n個(gè)熱平衡積分方程同（5）做法：令第n個(gè)熱平衡積分方程等于式（25）得代數(shù)方程2112122nncebcnnncnnnnnnncnncnnncncnncncnncebcebebebcebnnnnn2112122121122ni（32）由式（21）（22）（23）（25）（29）（32）可求得13n未知參數(shù)。4結(jié)果與討論為了比較討論，取2n為例，圖1給出了當(dāng)1t代入不同的值后高斯函數(shù)形式的熱平衡積分細(xì)化解和熱平衡積分解與精確解的誤差比較。20.040.060.03變量誤差熱平衡積分細(xì)化解熱平衡積分解圖1近似解與準(zhǔn)確解的誤差隨值變化情況比較由圖1可看出，當(dāng)Stefan數(shù)的倒數(shù)小于1時(shí)，熱平衡積分細(xì)化解與精確解的誤差明顯小于熱平衡積分解與精確解的誤差.即：當(dāng)Stefan數(shù)的倒數(shù)小于1時(shí)，細(xì)化可有效提高精度。參考文獻(xiàn)1GoodmanTR.Theheat-balanceintegralanditsapplicationtoproblemsinvolvingacha-ngeofphaseJ.TransASMEJournalofHeatTransfer,1958,80:335-342.2LangfordD.TheheatbalanceintegralmethodJ.IntJHeatMassTransfer,1973,16:2424-2428.3CrankJ.ThemathematicsofDiffusionM.Oxford:ClarendonPress,1964,310-325.4BellGE.ArefinementoftheheatbalanceintegralmethodappliedtoameltingproblemJ.IntJHeatMassTransfer,1978,21:1357-1362.5BellGE.SolidificationofaliquidaboutacylindricalpipeJ.IntJHeatMassTransfer,1979,22:1681-1686.6MosallyF,WoodAS,Al-FhaidA.OntheconvergenceoftheheatbalanceintegralmethodJ.AppliedMathematicalModelling,2005,29:903-912.7徐湘田,令鋒.單相融化問題熱平衡積分細(xì)化解的收斂性J.內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然學(xué)版，2009，40（2）：128-131.8徐湘田,令鋒.Neumann問題熱平衡積分細(xì)化解的收斂性J.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（2）：115-124.9MosallyF,WoodAS,Al-FhaidA.AnexponentialheatbalanceintegralmethodJ.App-liedMathematicsandComputation,2002,130:87-100.AGaussianFunctionBasedHeatBalanceIntegralMethodYUANGuo-jing2,1,LINGFeng2（1.InnerMongoliaUniversityofTechnology,Hothot010051,china2.ZhaoqingUniversity,Zhaoqing526061,china）Abstract:Gaussianfunctionisselectedastheapproximatetemperatureprofile,anapproximatesolutionforone-phasemeltingproblemispresentedbyusingheatbalanceintegralmethodanditsrefinedmethod.Itshowsthat,whenthereciprocalofthestefannumber1,therefinementofheatbalanceintegralmethodcan