陜西省2010年高考數(shù)學論文(理科)試卷分析北師大版.doc

12010年陜西省高考數(shù)學（理科）試卷分析2010年陜西省高考題已揭開神秘的面紗，從以下幾個方面談談本人對理科試卷的一些看法，不當之處懇請各位同仁批評指正。一、試卷綜述2010年是陜西省實行新課程標準后的第一個高考年。在保持基本穩(wěn)定的前提下，今年的陜西理科數(shù)學試卷的布局有所調整?？傤}量數(shù)改為21題，比09年減少了一個小題。命題嚴格遵守普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科課程標準實驗2010年版）（以下簡稱考試大綱）和2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試陜西卷考試說明（理科課程標準實驗版）（以下簡稱考試說明），遵循“有助于高等學校選拔新生，有助于中學實施素質教育和課程改革，有助于對學生創(chuàng)新意識、實踐能力的培養(yǎng)”的指導思想。命題根據(jù)了陜西省高中數(shù)學教學的實際情況，重點考查高中數(shù)學的主體內容，適當考查新課標的新增內容，體現(xiàn)了新課程改革的理念。試卷在考查基礎知識、基本技能和基本能力的基礎上，突出了對考生數(shù)學思維能力、應用意識和創(chuàng)新意思的考查。試卷的知識覆蓋面廣，只有選修2-3中的第二章離散型隨機變量及其分布列、期望和方差一反常態(tài)沒有涉及到。命題穩(wěn)中有變，穩(wěn)中有新。題目數(shù)量、難度安排適宜，題目立意新穎，試卷難、中、易比例恰當。試卷具有較高的信度、效度和區(qū)分度。達到了考基礎、考能力、考素質、考潛能的考試目標。整套試卷難度不大，比09年容易。具體，選擇題中18題比較簡單，9、10兩題有難度。填空題中，11、12、13、15題考生容易下手，14題較難。6道解答題中，第（6）題為明顯的送分題，其余每題都有一定的思維量，其中第（18）題的第（）問、第（20）題的第（）問、第（21）題相對較難一點，但也沒有過難題，所以解答題區(qū)分度不是非常明顯。相比較而言，選擇題與填空題的區(qū)分度更好。二、知識點分布按照考試大綱和考試說明，從20個大項進行了題數(shù)和分值的統(tǒng)計（其中把基本初等函數(shù)、三角恒等變換和解三角形合并在一起）章節(jié)題號分值備注集合（1）51.第（6）題是樣本平均數(shù)與程序框圖的綜合應用。2.第（8）題是圓錐曲線與平面解析幾何初步的綜合應用。3.第（9）數(shù)列的單調性及推理與證明和常用邏輯用語綜合應用。4.第（10）考查考生閱讀理解能力和整函數(shù)的知識的綜合應用。5.第（13）題是定積分與幾何概型的綜合應用。函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（5）（10）（21）24三角函數(shù)與解三角形（3）（17）17平面向量（11）（20）18數(shù)列（9）（16）18不等式（1）（14）（21）28立體幾何初步（7）（18）17空間向量與立體幾何（18）122平面解析幾何初步（8）56.第（14）題考查實際問題建模能力及線性規(guī)劃與不等式的綜合應用。7.第（15）（C）題表面為極坐標與參數(shù)方程化為直角坐標方程后即為直線與圓的位置關系問題。8.第（17）題是實際問題建模能力與方位角及解三角形和三角變換綜合應用。9.第（18）題是空間向量與立體幾何及空間想象能力和計算能力，推理證明能力的綜合應用。10.第（19）題是概率與統(tǒng)計的綜合應用及識圖用圖能力和實際問題處理能力的考查。11.第（20）題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系和平面向量的運算。12.第（21）題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的幾何意義和不等式等基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。圓錐曲線（8）（20）18算法初步（6）5計數(shù)原理（二項式定理）（4）5概率與統(tǒng)計（6）（13）（19）22隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例無0常用邏輯用語（9）5導數(shù)及其應用（13）（21）19復數(shù)（2）5推理與證明（12）（18）（）(21)25幾何證明選講（15）（B）5坐標系與參數(shù)方程（15）（C）5不等式選講（15）（A）5三、試題特點1.試題穩(wěn)中有變，穩(wěn)中有新2010年陜西省實行新課程標準后的第一個高考年。在題目的排列順序上，延續(xù)了一貫的由易到難的排列原則，體現(xiàn)高考中的人文關懷精神，有利于考生穩(wěn)定情緒，順利作答。整張試卷難度適中，可以看出陜西的數(shù)學自主命題已逐步走向成熟。在保持基本穩(wěn)定的前提下，今年的陜西文理科數(shù)學試卷的布局均有所調整。總題量數(shù)改為21題，比09年減少了一個小題。在題目類型的分布上也有所變化，不僅減少了兩道選擇題，增加了一道填空題，而且填空題的分值也有所上升。這種變動增大了試題的區(qū)分度，更好地體現(xiàn)出高考試題的選拔功能。例如第（6）題、第（8）題、第（9）題、第（10）題、第（13）題、第（14）、第（19）的第（）問、第（20）題的第（）問、第（21）題都比較有新意。特別是第（14）題、第（17）題、第（19）題在情景設置上更貼近現(xiàn)實生活。對統(tǒng)計與概率的考查過去在解答題中設置兩問，第一問為求事件的概率，第二問為求隨機變量的分布列、期望值或方差，而今年在解答題第(19)卻一反常態(tài)考查了抽樣方法、直方圖，由圖獲得信息求解問題。32.思維量大，計算量小整套試卷無論是選擇、填空，還是解答計算量都不大，推理過程也不繁雜。重點考查通性通法，避免偏題、怪題，很好地控制了運算量，加大思維量。每道解答題只要想到合理的解法很快就能解決問題。只有第（20）題的第（）問，如果聯(lián)立方程利用借助于韋達定理解題，計算量較大一點。這完全符合新課改的理念。3.注重基礎知識，突出課改理念試題覆蓋了高中數(shù)學中的主要知識點，突出了對主干知識的考查力度。解答題則沿襲了多年的傳統(tǒng)做法，分別涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、立幾、解幾和概率統(tǒng)計等內容，體現(xiàn)了平穩(wěn)過渡的精神。同時試卷中滲入了新課改元素。例如，在對解析幾何的考核中，添入了極坐標和參數(shù)方程的內容。在對題目的選配上，突出了對考生數(shù)學思維能力、應用意識和創(chuàng)新意識的考查，避免繁雜運算的理念。對選修內容的考查比例進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)約占總分值的33%，完全符合考試說明的要求。統(tǒng)計應用題情景設置貼近生活、貼近時代，清新公平。體現(xiàn)了關注實際，注重應用的新課改理念。4.注重考查數(shù)學的各種思想和能力4.1數(shù)形結合的思想數(shù)形結合的思想是借助于形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性。利用這種數(shù)學思想往往能簡化解題過程，在今年的高考試題中特別突出。比如第（6）、（7）、(8)、（13）、（14）、（15）A、B、（17）、（18）、（19）、（20）都涉及數(shù)形結合。例1、【第（14）題】（滿分5分）鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)C（百萬元）A50%13B70%056某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為(百萬元)答案:15解析：設購買鐵礦石A為x萬噸，購買鐵礦石B為y萬噸。由題意有50%70%1.90,00.52xyxyxy即57190,024xyxyxy作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示。目標函數(shù)為z=3x+6y，由yy2x+y=4CBAO5x+7y=19X4571924xyxy解得A(1,2),當目標函數(shù)Z=3x+6y過點A(1,2)時Z最小=31+62=15（百萬元）例2、【第（13）題】(滿分5分)從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點M（x,y）,則點M取自陰影部分的概率為。答案：13解析：12311030331xdxxs影陰，3s長方形，所求的概率P=13ss影陰長方形。例3、【第（19）題】（本小題滿分12分）為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行出樣檢查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：（）估計該小男生的人數(shù)；（）估計該校學生身高在170185cm之間的概率；（）從樣本中身高在165180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170180cm之間的概率。解析：（）樣本中男生人數(shù)為40，由分層出樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。（）有統(tǒng)計圖知，樣本中身高在170185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170185cm之間的頻率350.570f，有f估計該校學生身高在170180cm之間的概率P=0.5.（）樣本中女生身高在165180cm之間的人數(shù)為10，身高在170180cm之間的人數(shù)為4。設A表示事件“從樣本中身高在165180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170180cm之間”，則2112664422()()101022133AACCCCCCPP（或=）4.2分類討論的思想分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想，這種思想能夠使我們思路清晰，處理問題井井有條，5真正做到不重不漏，養(yǎng)成嚴謹慎密的思維習慣。這種思想應該在中學數(shù)學的教學中得到充分的重視。在2010年的數(shù)學理科試題中得到充分的體現(xiàn)。比如第（20）、第（21）題。例4、【第（21）題】（滿分14分）已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=alnx，aR。（）曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（）設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；（）對（2）中的（a），證明：當a（0，+）時，（a）1.解析：（）()fx=12x,()gx=ax(x0),由已知得12lnaxxxax，解得a=2e,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e）。切線的斜率為k=2()fe=12e。切線的方程為y-e=12e(x-e2)?！究疾榱撕瘮?shù)與方程的思想、曲線求交點、導數(shù)的幾何意義】（）由條件知12()ln(0)()22axahxxaxxhxxxx（）當a.0時，令h(x)=0,解得x=24a,所以當0x24a時h(x)24a時，h(x)0，h(x)在（0，24a）上遞增。所以x=24a是h(x)在（0，+）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以（a）=h(24a)=2a-aln24a=2a(1-ln2a)。（）當a0時，2()02xahxx,h(x)在（0，+）遞增，無最小值。故h(x)的最小值（a）的解析式為（a）=2a(1-ln2a)(ao)?！究疾榱朔诸愑懻摰乃枷?，導數(shù)的運算，導數(shù)的應用，不等式的解法】。（）由（）知()2ln2aa，對任意的a0,b0,()()2ln22ln2ln422ababab2()2ln(2)ln()ln422abababab224()2ln(2)2lnln42ababababababab由、6得()()2()()22abababab?！究疾榱藢?shù)的運算，證明不等式】4.3函數(shù)與方程的思想今年的試卷中，更多地體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，例如第（4）題，第（5）題，第（8）題，第（11）題，第（15）題C，第（16）題，第（20）題，第（21）題，都是利用了函數(shù)和方程的思想。例5、【第（20）題】（本小題滿分13分）如圖，橢圓C：221xyab的頂點為1,2,1,2AABB,焦點為1,2,FF11221122117,2ABABBFBFABSS()求橢圓C的方程；()設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A,B兩點的直線，1,OP是否存在上述直線l使1APPB成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由。解析：（）由117,AB知227ab由112211222ABABBFBFSS知a=2c,又b2=a2-c2由解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為22143xy。（）設A,B兩點的坐標分別為（x1,y1）(x2,y2)假設使1APPB成立的直線l不存在，（）當l不垂直于x軸時，設l的方程為ykxm。由l與n垂直相交于P點且1,OP得211mk，即221mk。1APPB,1,OP2()()10010OAOBOPPAOPPBOPOPPBOPPAPAPB即12120xxyy，將ykxm代入橢圓方程得222(34)8(412)0kxkmxm，由根與系數(shù)的關系可得122834kmxxk212241234mxxk221212121212120()()(1)()xxyyxxkxmkxmkxxkmxxm。將代入上式并化簡得222222(1)(412)8(34)0kmkmmk7將221mk代入并化簡得25(1)0k，矛盾，即此時直線不存在。（）當直線l垂直于x軸時，滿足1,OP的直線l的方程為11xx或。當1x時A，B，P的坐標分別為33(1,),(1,),(1,0)22，33(0,),(0,)22APPB，914APPB。當1x時同理可得1APPB，矛盾，即此時直線也不存在。綜上可知，使1APPB成立的直線l不存在。4.4轉化與化歸思想轉化與化歸思想的考查在整套試題中處處可見，主要體現(xiàn)化繁為簡的轉化；文字語言、圖形語言、數(shù)學語言互譯轉化；數(shù)學形式之間的轉化；知識與方法的遷移等。特別是第（12）、（13）、（14）、（15）C、（17）、（19）、（20）、（21）等題更為明顯。例6、【第（15）題中C】(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知圓C的參數(shù)方程為cos1sin(xy為參數(shù)），以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為sin1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為。答案：(1,1),(1,1)解析：將圓的參數(shù)方程化為普通方程，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，再聯(lián)立求解。4.5充分體現(xiàn)、挖掘考生的各項數(shù)學能力數(shù)學能力是指空間想象能力，抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力，以及應用意識和創(chuàng)新意識，在2009年試題中，這些能力都得到了充分的體現(xiàn)。4.5.1運算求解能力：（1）（2）（4）（5）（7）（8）（11）（13）（14）（15）中A、C（16）（17）（20）（21）。4.5.2數(shù)據(jù)處理能力：（19）。4.5.3空間想象能力：（7）（18）。4.5.4抽象概括能力：（6）（9）（10）（12）（14）（18）（20）（21）4.5.5推理論證能力：（9）（18）（20）（21）4.5.6應用意識和創(chuàng)新意識：（10）（13）（14）（17）（19）（21）5.體現(xiàn)寬口徑，多角度的命題思路2010年的試題中，體現(xiàn)命題者這樣一種命題思路，即鼓勵考試寬口徑、多角度的思考和解決問題，不拘泥于某一解法，不局限考生的思想，每個命題盡可能讓考生可以從不同角度入手，均能得到好的結果，避免思路單一，想到了就能做，想不到就失敗的“華山一條道”的尷尬局面。例7、【第(18)題】（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=22，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點。8（）證明：PC平面BEF；（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。解法一（向量法）（）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP算在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系。AP=AB=2,BC=AD=22,四邊形ABCD是矩形。A，B，C，D的坐標為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，E(0，2，0),F(1，2，1)。PC=（2，22，-2）BF=（-1，2，1）EF=（1,0,1），PCBF=-2+4-2=0，PCEF=2+0-2=0，PCBF，PCEF，PCBF,PCEF,BFEF=F,PC平面BEF。（II）由（I）知平面BEF的法向量1(2,22,2)nPC平面BAP的法向量2(0,22,0)nAD,128nn設平面BEF與平面BAP的夾角為，則12121282,2422nnCOSCOSnnnn,4平面BEF與平面BAP的夾角為4解法二（綜合法）（I）連接PE，EC在RtPAE和RtCDE中，PA=AB=CD,AE=DE,PE=CE,即PEC是等腰三角形，又F是PC的中點，EFPC,又2222BPAPABBC，F(xiàn)是PC的中點，BFPC.又BFEFFPC平面BEF。（）PA平面ABCD,PABC.又ABCD為矩形，ABBC,BC平面BAP,BCPB,又由（I）知PC平面BEF.直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角。在PBC中，PB=BC,PBC=2,PCB=4。平面BEF與平面BAP的夾角為4。9四、對今后高三復習的啟示今年是我省進入新課改后的第一次高考，今年的高考命題為今后的課程改革和高考改革提供哪些重要的信息成為人們關注的焦點。高考命題的導向在很大程度上決定著中學推行新課改的力度和發(fā)展新課改的深度，及高三復習的方向。我認為應該做好以下幾個方面1.夯實基礎，落實基本知識和基本技能的學習從今年的試卷中不難看出，函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、立幾、解幾和概率統(tǒng)計仍然是考查的主要內容，從本文的知識點統(tǒng)計中更是一目了然。試題的框架主體仍是考查數(shù)學的基礎知識和通性通法。如函數(shù)的圖象、單調性、定義域等性質及變換；數(shù)列的基本運算及應用；不等式的求解與證明；三角函數(shù)圖象與性質；空間圖形的識別及線面的位置關系（包括體積和夾角）；圓錐曲線的基本概念、性質及應用；幾種常見類型的概率和統(tǒng)