DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)V2(C18-多因子分析).doc

第18章 多因子分析多因子分析是一種將多變量(指標(biāo))樣本在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行簡化的有效方法。通過分析找到一個(gè)包含最佳變量的子集合，使其所包含的變量能反映總體的結(jié)構(gòu)。這種簡化結(jié)構(gòu)的處理對(duì)研究多因素之間的規(guī)律和構(gòu)造模型等有重要的作用。DPS系統(tǒng)提供的關(guān)于多因素分析的主要功能模塊包括主成分分析、因子分析、對(duì)應(yīng)分析及典型相關(guān)分析等5種分析方法。18.1 主成分分析18.1.1 基本原理主成分概念由Karl Pearson于1901年提出，由Hottelling于1933年推廣到隨機(jī)變量，主成分分析是多元統(tǒng)計(jì)分析中的重要統(tǒng)計(jì)方法，是用較少的綜合指標(biāo)來代替原來較多的指標(biāo)。多元分析中的隨機(jī)變量，是對(duì)同一個(gè)體進(jìn)行測量結(jié)果。從多個(gè)實(shí)測變量提取較少、互不相關(guān)綜合指標(biāo)，反映總體信息，這種綜合指標(biāo)就稱為主成分。主成分分析可在不丟掉主要信息前提下，避開變量間共線性問題，便于繼續(xù)用其他多元統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。設(shè)兩個(gè)變量n個(gè)樣品，在二維空間分布大致為一橢圓。作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，使新坐標(biāo)系為橢圓長、短軸方向，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式為對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，旋轉(zhuǎn)角度為45。如有11個(gè)樣本的兩個(gè)變量數(shù)據(jù)，實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)化后顯示如圖18-1中的小圓圈。 圖18-1 兩變量主成分分析坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)從圖18-1可以看出，各點(diǎn)坐標(biāo)呈正相關(guān)。主成分分析，數(shù)據(jù)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后處于星號(hào)點(diǎn)位置。這時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)大部分在橫坐標(biāo)方向，變異(方差)集中在橫軸，為第一主成分；縱軸方向變異(方差)較小，為第二主成分。且相關(guān)為零。一般地，設(shè)變量xi的樣本均數(shù)和樣本樣本差分別為和si，i=1，2，m。變量標(biāo)準(zhǔn)化公式為對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的變量zi尋求主成分。第一主成分C1是z1，z2，zm的線性組合，即C1要盡可能多地反映原m個(gè)變量的信息，在的條件下，C1的方差Var(C1)要盡可能大。如把 a11，a12，a1m視為向量，代表m維空間的一個(gè)方向，相當(dāng)于個(gè)體z1，z2，zm在此方向的投影最為分散。若第一主成分不足以代表原m個(gè)向量，則再考慮第二主成分C2。為有效地代表原變量的信息，C1中已有的信息不再在C2中出現(xiàn)，C2與C1協(xié)方差為0。這相當(dāng)于在與前一個(gè)向量垂直的所有方向中，尋找一個(gè)方向，使所有個(gè)體在其上的投影最分散。類似地，考慮第三主成分，即C1、C2中已有的信息不再在C3中出現(xiàn)。這相當(dāng)于在與前兩個(gè)向量垂直的所有方向中，尋找一個(gè)方向，使所有個(gè)體在其上的投影最分散，即Cov(C1，C3)=0，Cov(C2，C3)=0這樣，直至找到最多m個(gè)主成分。設(shè)相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根，按從大到小排列順序?yàn)?2m0。可以證明，各主成分對(duì)應(yīng)的系數(shù)ai1，ai2，aim就是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征向量，特征根i就是第i個(gè)主成分的方差，所有主成分方差之和等于特征根之和，即。每個(gè)特征根所占總方差的比例，稱為特征根的貢獻(xiàn)。通常取主成分的個(gè)數(shù)為包含80%以上信息的變量，即特征根的累積貢獻(xiàn)率80%。18.1.2 DPS平臺(tái)的操作示例在編輯狀態(tài)下輸入編輯數(shù)據(jù)，每一行為一個(gè)樣本，每一列為一個(gè)變量，編輯好數(shù)據(jù)后將待分析的所有數(shù)據(jù)定義成數(shù)據(jù)矩陣塊。例如，選取x1為城鎮(zhèn)單位在崗職工平均工資(元)，x2為各市固定資產(chǎn)投資(萬元)，x3為各市進(jìn)口總額(萬美元)，x4為社會(huì)消費(fèi)品零售總額(萬元)，x5為各市工業(yè)增加值(億元)，x6為財(cái)政收入(億元)。原始數(shù)據(jù)編輯和定義如圖18-2。ABCDEFGHI1代碼地區(qū)X1X2X3X4X5X621合肥163693504887660472397739198.4600104395532淮北13379566257474445610076.960020263743毫州9707397183130388703418.880010594854宿州10572414932175375198427.670012826165蚌埠1228487666718269101566960.090033270076阜陽97386049355822130790830.540022279987淮南16970778830243863001476.640027220398滁州100066174361354386601358.5900222794109六安10217636760996799691234.55001610251110馬鞍山20946138078116406526527150.15004269371211巢湖11469720416714185377843.41001572741312蕪湖141651504005294131025363149.17005688991413宣城127959661881158072327845.13001653191514銅陵127625846961358334310765.31001664541615池州12008501780498627831015.0400865751716安慶1120898136713364129518979.80003379471817黃山12719716491444840879615.68009994919圖18-2 主成分分析的數(shù)據(jù)編輯與數(shù)據(jù)塊定義示意圖在菜單下選擇“多元分析”“多因素分析”“主成分分析”項(xiàng)，執(zhí)行后系統(tǒng)首先顯示第一、第二主成分得分圖（圖18-3）。圖18-3 主成分分析結(jié)果圖形界面散點(diǎn)圖顯示出了各個(gè)樣本的第一、第二主成分得分情況。DPS v13.01以后的版本增加了可以根據(jù)協(xié)方差陣進(jìn)行主成份分析（前面版本是根據(jù)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析）的功能，取消了樣本數(shù)必須大于變量數(shù)的限制。同時(shí)主成份分析輸出結(jié)果圖增加了95%的置信區(qū)間橢圓圖(Confidence ellispses，藍(lán)色)、凸多邊形(Convex hulls，紅色)、以及最小支撐樹(Minimal spanning tree，粉紅色)。該圖形是主成分分析結(jié)果的常用表達(dá)方式。點(diǎn)擊上部的按鈕可對(duì)圖形進(jìn)行編輯加工，加工處理后可放到研究報(bào)告、論文之中。點(diǎn)擊右上角，退出圖形界面，系統(tǒng)輸出結(jié)果如下：變量平均值標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān) X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(1)12783.182892.8910.53940.3968-0.00110.72720.5323X(2)926683709397.260.539410.96060.76570.85850.9637X(3)13223.9414951.110.39680.960610.77610.83280.9513X(4)868454.17484542.57-0.00110.76570.776110.53840.7866X(5)67.415950.89490.72720.85850.83280.538410.9196X(6)276569.17228243.580.53230.96370.95130.78660.91961相關(guān)系數(shù)臨界值，a=0.05時(shí)，r=0.4821；a=0.01時(shí)，r=0.6055 偏相關(guān)系數(shù)矩陣（略）Bartlett球形檢驗(yàn)，卡方值Chi=155.7152，df=15，p=0.0000規(guī)格化特征向量因子1因子2因子3因子4因子5因子6x(1)0.26920.75790.38510.32060.18190.2625x(2)0.4550-0.0469-0.11420.5278-0.5763-0.4088x(3)0.4438-0.1602-0.62470.16740.25630.5417x(4)0.3536-0.57240.66670.0081-0.02560.3196x(5)0.43130.2606-0.0550-0.7482-0.41860.0897x(6)0.4610-0.04690.0293-0.17560.6271-0.6003No特征值百分率%累計(jì)百分率%Chi-Squaredfp值14.641277.353977.3539155.7152200.000021.100718.344495.698390.1542140.000030.13132.187897.886132.846090.000140.10641.773899.659925.496550.000150.01150.191999.85180.218820.896460.00890.1482100001.0000主成分得分NoY(i,1)Y(i,2)Y(i,3)Y(i,4)Y(i,5)Y(i,6)N(1)7.3317-1.0901-0.08340.4158-0.0138-0.0251N(2)-0.79680.8219-0.0956-0.3874-0.0749-0.1062N(17)-1.53180.4054-0.20730.6270-0.0191-0.132518.1.3 主成分分析結(jié)果解釋主成分分析結(jié)果一般根據(jù)圖18-3，即分析樣本從高維投影到兩維空間后，它們之間關(guān)系，結(jié)合專業(yè)背景進(jìn)行解釋。解釋結(jié)果，需取多少個(gè)主成分，沒明確指標(biāo)。一般建議是取當(dāng)特征值累積貢獻(xiàn)率達(dá)80%，或特征值大于1，或特征值統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)顯著水平p氣象水文統(tǒng)計(jì)-經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù)里面。分析時(shí)的數(shù)據(jù)格式和主成分相同，分析結(jié)果亦相似。18.2 因 子 分 析因子分析方法用于研究相關(guān)矩陣的內(nèi)部依賴關(guān)系，它將多個(gè)變量綜合為少數(shù)幾個(gè)“因子”，但仍可再現(xiàn)原始變量與“因子”之間的相關(guān)關(guān)系。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，因子分析屬于多元分析的范疇。因子分析主要是由心理學(xué)家發(fā)展起來的，1904年Chales Speraman 用這種方法對(duì)智力測驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。目前，因子分析在心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)，甚至在化學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用。它主要應(yīng)用于兩個(gè)方面：一是將為數(shù)眾多的變量減少為幾個(gè)新因子，再現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系；二是用于分類，根據(jù)變量或者樣本的因子得分值在因子軸所構(gòu)成的空間中進(jìn)行分類處理。關(guān)于因子分析與主成分分析的聯(lián)系與區(qū)別，有多種看法。作者認(rèn)為，這兩種方法的概念基礎(chǔ)是截然不同的，主要區(qū)別如下：主成分分析：(1). 用較少的變量表示原來的樣本，這些變量即為主成分（原來變量的線性組合）。(2). 目的是樣本數(shù)據(jù)信息損失最小的原則下，對(duì)高維變量進(jìn)行降維；用各個(gè)主成分解釋個(gè)變量的總方差。(3). 參數(shù)估計(jì)，一般是求相關(guān)矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量（主成分分析法），并取前幾個(gè)主成分。(4). 應(yīng)用方面：應(yīng)用較少變量來解釋各個(gè)樣本的特征(數(shù)據(jù)降維、綜合平價(jià))。因子分析：(1). 用較少的因子表示原來的變量，即把變量用各因子的線性組合表達(dá)。(2). 目的是盡可能保持原變量相互關(guān)系(結(jié)構(gòu))原則下，尋找變量的公共因子；用因子來解釋各變量之間的協(xié)方差（還原的相關(guān)矩陣盡量接近原變量的相關(guān)矩陣）。(3). 參數(shù)估計(jì)，指定幾個(gè)公因子，將其還原成相關(guān)系數(shù)矩陣，在和原樣本相關(guān)矩陣最相似的原則下，估計(jì)各個(gè)公因子的估計(jì)值。(4). 應(yīng)用方面：找到具有本質(zhì)意義的少量因子來歸納原來變量的特征(因子降維、潛在因子)。如果說主成份分析和因子分析有聯(lián)系的話，那就是因子分析中公因子模型參數(shù)估計(jì)方法很多，其中有一種公因子模型參數(shù)估計(jì)方法是“主成份分析法”。18.2.1 正交因子模型看一個(gè)實(shí)際例子。設(shè)有n個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生考5門課：語文、外語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，第i個(gè)學(xué)生第j門課的成績用表示，于是，n個(gè)學(xué)生的成績組成一個(gè)矩陣考試成績反映了學(xué)生的素質(zhì)能力，這些成績是由學(xué)生的理解能力、記憶能力、（對(duì)文字、符號(hào)、概念的）反映速度所決定的。若將理解能力、記憶能力、反映速度稱為因子。則因子分析就是要從考試成績中尋找出這些因子，以及成績與這些因子的關(guān)系。用表示5門課的考試成績，用表示3個(gè)因子。顯然，每門課程都與f（理解能力、記憶能力、反映速度）有關(guān)（稱為公共因子），并假定它們之間是線性關(guān)系，即：其中，是x中不能完全被（理解能力、記憶能力、反映速度）解釋的部分，稱為特殊因子，這就是因子模型。因子模型可用矩陣表示為簡記為。其中，稱為公共因子向量，稱為特殊因子向量，稱為因子載荷，稱為因子載荷矩陣。式中，因子載荷是原始變量與公因子的協(xié)方差。若x為已標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，則是原始變量與公因子的相關(guān)系數(shù)，它度量了原始變量在公因子中的相對(duì)重要性。由于歷史的原因心理學(xué)家稱其為“載荷”，即變量在公因子中的負(fù)荷。因子載荷矩陣中第行元素的平方和, 稱為的共性方差（共同度）。因總的方差，這時(shí)稱是特殊因子對(duì)的方差貢獻(xiàn)（特殊方差）。不難看出，共性方差它反映了所有公因子對(duì)的影響（貢獻(xiàn)）大小，或者說，度量了所有公因子從中提取的信息量大小。若已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，則越接近，說明公共因子提取的信息越多，由原始變量空間變換到因子變量空間的性質(zhì)越好。例如若，則說明有的信息被提取了。特殊因子與有關(guān)，與無關(guān)，不能由公共因子解釋。若已經(jīng)被標(biāo)準(zhǔn)化，則，這時(shí)共性方差考慮的是與某原始變量的關(guān)系。類似可考慮公因子與所有原始變量的關(guān)系。即因子載荷矩陣中第列元素的平方和稱為公因子對(duì)的原始變量的方差貢獻(xiàn)。因?yàn)椋瑢?duì)求和因此這里的表示某一公因子對(duì)原始變量的各分量所提供的方差之和，它度量了公因子對(duì)原始變量的重要性。越大，表明公因子對(duì)原始變量的影響和作用越大。若將所有的都計(jì)算出來，并按大小排序，則可依此提取最有影響的公共因子。綜上所述，因子f的載荷矩陣A的統(tǒng)計(jì)意義、因子模型的統(tǒng)計(jì)意義如下：、是原始變量與公因子的協(xié)方差（相關(guān)系數(shù)）、行元素平方和是對(duì)的依賴程度、列元素平方和是對(duì)的貢獻(xiàn)其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)有：、x的協(xié)差矩陣的分解：，即，、因子模型與量綱無關(guān)：改變x的量綱后仍為因子模型、因子載荷不惟一：也是因子模型的載荷矩陣（為正交矩陣）18.2.2 因子模型參數(shù)估計(jì)從因子模型可看出，x、m是可觀測的，f是不可觀測的隨機(jī)變量，e是不可觀測的特殊因子。又因?yàn)椋?，因子分析的關(guān)鍵是求解因子載荷矩陣A和特殊因子方差陣。因子模型參數(shù)估計(jì)方法很多，在DPS系統(tǒng)中，提供了主成份法、迭代主因子法、極大似然法、最小二乘法、廣義最小二乘法和a因子分析法等6種方法。1. 主成分法設(shè)樣本協(xié)方差矩陣S 的特征根依次是，對(duì)應(yīng)的單位特征向量是,。由前面主成分分析可知，S可分解為：對(duì)照S的分解式，是由特征值和特征向量構(gòu)造的矩陣，有。又注意到，與共性方差、特殊方差的關(guān)系當(dāng)共性方差很大，特殊方差很小時(shí)，注意：，因此，對(duì)角陣，故，是因子載荷陣A的一個(gè)很好的估計(jì)：即 。至此，因子載荷陣A已估計(jì)出來了。如果S已知，則D也可以求出。實(shí)際應(yīng)用中，總希望因子個(gè)數(shù)小于變量個(gè)數(shù)，即，因此，通常略去最后個(gè)較小的特征根所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)。令，則。其中，因子載荷陣的第i列與S的第i個(gè)主成分的系數(shù)向量（特征向量）僅相差一個(gè)倍數(shù)。因此，此解稱為主成分解，此法稱為主成分法。實(shí)際應(yīng)用中，我們一般用相關(guān)系數(shù)矩陣R來代替樣本協(xié)方差矩陣S。由估計(jì)過程可以看出，主成分解的近似程度由殘差矩陣S(AA+D)度量。當(dāng)殘差矩陣非對(duì)角線上的元素很小時(shí)，可認(rèn)為取m個(gè)因子的模型很好地?cái)M合了原始數(shù)據(jù)。A的主成分解是一個(gè)近似解。其近似程度可由R（AA+D）決定，稱其為殘差矩陣。R(AA+D)的主對(duì)角線上的元素為0，當(dāng)非對(duì)角線上的元素很小時(shí)，可認(rèn)為取m個(gè)因子的模型很好地?cái)M合了原始數(shù)據(jù)。同時(shí)，由于有R（AA+D）的元素平方和小于等于，故略去的特征根的平方和較小時(shí)，表明因子模型的擬合較好。2. 主因子法主因子法是對(duì)主成份法的修正,若變量的相關(guān)矩陣為，從樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣R出發(fā)，設(shè)R=AA+D，則稱為約相關(guān)矩陣。這時(shí)中的對(duì)角線元素是而不是,非對(duì)角線元素和相關(guān)系數(shù)矩陣R一樣,并且也是一個(gè)非負(fù)定矩陣。設(shè)是特殊方差的一個(gè)合適的初始估計(jì)值，則約則約相關(guān)矩陣R*=R-D為特殊方差或公共因子方差(即共同度)初始估計(jì)，DPS里面取的是，即，其中rii是相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣的對(duì)角線元素，是xi和其它p-1個(gè)變量間樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方。計(jì)算R*的特征值和單位正交特征向量，并取前m個(gè)正特征值，其相應(yīng)的特征向量為，則A的主因子解為：它和組成因子模型的一個(gè)解，這個(gè)解就稱為主因子解。3. 極大似然法假定原變量服從正態(tài)分布且為標(biāo)準(zhǔn)化變量，公共因子和特殊因子也服從正態(tài)分布，則因子負(fù)荷A和特殊方差D的極大似然估計(jì)為這里的R一般為樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣，C為一常數(shù)。極大似然法提取因子時(shí)，需用迭代方法求解。在求解過程中，常出現(xiàn)特征根為負(fù)值、即公因子方差等于或大于1的Heywood現(xiàn)象，因此在計(jì)算過程中必須進(jìn)行調(diào)整。4. 其他方法未加權(quán)最小平方法 該方法以使得觀察相關(guān)系數(shù)矩陣和還原相關(guān)系數(shù)矩陣之間的差值的平方之和最?。ê雎詫?duì)角線）作為目標(biāo)函數(shù)來估計(jì)因子模型系數(shù)。廣義最小二乘法 該方法也是以使得觀察相關(guān)系數(shù)矩陣和還原相關(guān)系數(shù)矩陣之間的差值的平方值之和最小作為目標(biāo)函數(shù)來估計(jì)因子模型系數(shù)。但在迭代過程中，用特殊因子方差的倒數(shù)調(diào)整相關(guān)系數(shù)矩陣，給特殊因子方差大的變量的相關(guān)系數(shù)更大的權(quán)數(shù)。a因子分析法 也是一種因子模型初始值估計(jì)方法。它將分析中的變量視為來自潛在變量全體的一個(gè)樣本，其因子解應(yīng)使得提取的公因子和假設(shè)存在的公因子有最大的相關(guān)，即使因子的a可靠性最大。18.2.3 方差最大正交旋轉(zhuǎn)因子分析不僅要找出主因子，更要知道每個(gè)主因子的意義，但用上述方法所求出的主因子解，初始因子載荷矩陣并不滿足“簡單結(jié)構(gòu)準(zhǔn)則”，各因子的典型變量的代表性也不很突出，因而容易使因子意義含糊不清，不便于對(duì)因子進(jìn)行解釋。因此，需對(duì)因子載荷矩陣施行旋轉(zhuǎn)，使因子載荷的平方按列向0和1 兩極轉(zhuǎn)化，達(dá)到使結(jié)構(gòu)簡化的目的。方差極大旋轉(zhuǎn)(varimax rotation)方法，就是將因子載荷陣A的任意兩列因子，如第h列和第k列正交旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，即旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)使得旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣的總方差達(dá)到最大。這兩列元素平方的相對(duì)方差之和達(dá)到最大，而其余各列不變。即使達(dá)到最大，其中正交變換矩陣為其中未標(biāo)明的元素均為0。A經(jīng)變換后，中的元素為 其中旋轉(zhuǎn)角q 仍按下式求得m個(gè)因子，每次兩個(gè)配對(duì)旋轉(zhuǎn)，共需旋轉(zhuǎn)次，稱其為完成第一輪旋轉(zhuǎn)。記第一輪旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣為，則由算出的方差記為。若第一輪旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣未達(dá)到要求，則對(duì)進(jìn)行第二輪旋轉(zhuǎn)。第二輪需進(jìn)行次配對(duì)旋轉(zhuǎn)。設(shè)第二輪旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣為，則由算出的方差記為。如此重復(fù)旋轉(zhuǎn)，得到V的一個(gè)非降序列：因?yàn)橐蜃虞d荷的絕對(duì)值不大于1，故此序列有上界，序列有極限，記為。因此，只要循環(huán)次數(shù)k充分大，就有e為事先給定的精度。在實(shí)際中，經(jīng)多次旋轉(zhuǎn)后，若相對(duì)方差改變不大，則停止旋轉(zhuǎn)。最后得到的即為旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣。18.2.4 Promax斜旋轉(zhuǎn)在方差極大旋轉(zhuǎn)過程中，因子軸互相正交，始終保持初始解中因子間互不相關(guān)的特點(diǎn)。然而在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域的研究中，如果相互影響的各種因素不太可能彼此無關(guān)，事物變化的各種內(nèi)在因素之間可能存在錯(cuò)綜復(fù)雜聯(lián)系。這時(shí)需引入斜交因子解，即用相關(guān)因子對(duì)變量進(jìn)行線性描述，使得到的新因子模型最大程度地模擬自然現(xiàn)象。這即為斜交因子模型和斜交因子解。Promax斜旋轉(zhuǎn)計(jì)算過程較復(fù)雜，且在實(shí)際應(yīng)用中，由于斜交旋轉(zhuǎn)的結(jié)果太容易受研究者主觀意愿的左右，所以建議盡量采用默認(rèn)的正交旋轉(zhuǎn)。18.2.5 因子得分若已得到的因子模型設(shè)為一組樣本，根據(jù)這組樣本估計(jì)出了公共因子個(gè)數(shù)m、因子載荷矩陣A和特殊方差矩陣D，并通過因子旋轉(zhuǎn)使公共因子有了比較明確的實(shí)際意義。然而，有時(shí)需反過來將公共因子表示為原來變量的線性組合稱為因子得分函數(shù)，以對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步地分析。由于因子得分函數(shù)的方程個(gè)數(shù)m小于變量個(gè)數(shù)p，因此不能精確計(jì)算因子得分，只能對(duì)因子得分進(jìn)行估計(jì)。常用的估計(jì)方法有加權(quán)最小二乘法和回歸法。1.加權(quán)最小二乘法加權(quán)最小二乘法因子得分估計(jì)公式為因每個(gè)特殊方差不全相等，故加權(quán)最小二乘法尋求的一組值，使得加權(quán)的“殘差”平方和達(dá)到最小。如此求得的就是加權(quán)最小二乘法得到的因子得分，也稱為巴特萊特(Bartlett,1937)得分。加權(quán)最小二乘法得到的因子得分是f的無偏估計(jì)。2、回歸法回歸法因子得分估計(jì)公式是 即為回歸法得到的因子得分，也稱為湯姆森(Thompson,1951)得分。回歸法因子得分是f的(條件期望意義下的)有偏估計(jì)，但回歸法的平均估計(jì)誤差小于加權(quán)最小二乘法平均估計(jì)誤差。實(shí)際應(yīng)用一般采用回歸法來估計(jì)因子得分。18.2.6 公因子模型數(shù)量確定及因子模型參數(shù)初始估計(jì)因子數(shù)目的確定，取決于所選因子是否解釋了每個(gè)變量，以及殘差矩陣RRES的大小，殘差矩陣RRES=R-AA-D。根據(jù)殘差可選擇適當(dāng)?shù)墓蜃訑?shù)量。如果采用極大似然估計(jì)估計(jì)模型參數(shù)，則可用Bartlett校正卡方統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)k個(gè)公因子是否足夠。由于提取公共因子的數(shù)量及公因子模型參數(shù)方法都有多個(gè)可供選擇，該用哪種組合好呢？公因子數(shù)量，一般是結(jié)合因子分析中的用戶界面(圖18-5)進(jìn)行，圖中左邊為特征值衰減圖、各特征值及累積百分率，它可供選取因子個(gè)數(shù)參考，一般原則是：(1) 選擇因子個(gè)數(shù)，使得累積方差占總方差的90（或80%）以上。(2) 按特征值大于等于1來選擇因子個(gè)數(shù)。(3) 根據(jù)特征值衰減情況確定因子個(gè)數(shù)，在圖形中，把陡降后曲線走勢趨于平坦的因子舍棄不用。(4) parallel分析線（圖18-4中紅色虛線）和特征值衰減線(綠色線)交叉處。圖18-4 因子估計(jì)用戶界面圖18-4右邊上部是公因子提取方法選項(xiàng)，DPS提供了種方法。一般建議是選主成份分析和極大似然估計(jì)法。18.2.7 DPS平臺(tái)的操作示例羅積玉等運(yùn)用因子分析方法研究影響小春糧食總產(chǎn)量的指標(biāo)共有9個(gè)：小春糧食播種面積x1 (萬公頃)、小麥播種面積x2 (萬公頃)、小麥良種推廣比例x3 (%)、化學(xué)肥料用量x4 (萬噸)、肥豬出欄數(shù)x5 (萬頭)、農(nóng)業(yè)人口x6 (萬人)、耕牛數(shù)量x7 (萬頭)、小麥抽穗揚(yáng)花期間氣溫x8 ()和小麥抽穗揚(yáng)花期間降雨量x9 (mm)。共獲得28年數(shù)據(jù)?，F(xiàn)采用因子分析方法研究各個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。首先，在編輯狀態(tài)下按系統(tǒng)格式將數(shù)據(jù)編輯、定義成數(shù)據(jù)矩陣塊，如圖18-5。ABCDEFGHIJK1X1X2X3X4X5X6X7X8X92272.5104.626.90.464856944591746.93281.1112.3281.011465839465.115.169.74282.2113.528.12.313085894490.515.273.15285.6124.230.42.512196008492.714.758.36309.3135.632.95.510536096509.716.463.67319.1138.232.56.910806188515.616.1528333180.543.417.23245552503.515.840.59327.9173.942.418.32145487473.215.564.110311.5156.740.324.63835672473.815.259.711288.5139.838.835.6754584950216.169.412283.9137.838.844.712566042523.916.861.91327812836.868.015246227552.415.855.714260.6120.437119.516986413574.816.328.315270.9133.539.4105.317286627587.4156216259.1126.739.158.715846875600.114.285.617258.112639.198.516297115605.216.474.618262.5130.939.9123.316107356617.513.649.419269.3139.641.5168.415397567641.716.333.620290.3166.445.9168.21898777064115.471.621297.7173.646.7208.41974800263317.18322295.7173.749.9205.818958205625.115.862.723291.117250.2231.418078402615.216.138.524306185.651.6244.017548504601.913.842.125310.9187.254.2365.318318566582.315.48126336.120454.6479.221558575594.815.938.427350.5228.558.7542.92736859462615.451.528321.3217.460.95703100861562715.239.229299.1203.7805803200867062713.553.930圖18-5 因子分析的數(shù)據(jù)編輯、