全國(guó)通用版2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七單元平面向量學(xué)案理.docVIP

第七單元 平面向量教材復(fù)習(xí)課“平面向量”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)向量的有關(guān)概念過(guò)雙基名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為01若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量解析：選C若a與b都是零向量，則ab，故選項(xiàng)C正確2關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量是唯一的C方向相反的向量是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量D共線向量就是相等向量解析：選C對(duì)于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；對(duì)于B，單位向量的模為1，其方向可以是任意方向，故B不正確；對(duì)于C，方向相反的向量一定是共線向量，共線向量不一定是方向相反的向量，故C正確；對(duì)于D，由共線向量和相等向量的定義可知D不正確，故選C.3下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是()單位向量都相等；模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；若a，b滿足|a|b|且a與b同向，則ab；若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合A0 B1C2 D3解析：選A對(duì)于，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于，模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于，向量是有方向的量，不能比較大小，故錯(cuò)誤；對(duì)于，向量是可以平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤綜上，正確的命題個(gè)數(shù)是0.清易錯(cuò)1對(duì)于平行向量易忽視兩點(diǎn)：(1)零向量與任一向量平行(2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件2單位向量的定義中只規(guī)定了長(zhǎng)度沒有方向限制1若mn，nk，則向量m與向量k()A共線 B不共線C共線且同向 D不一定共線解析：選D可舉特例，當(dāng)n0時(shí)，滿足mn，nk，故A、B、C選項(xiàng)都不正確，故D正確2設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)選項(xiàng)中，一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab解析：選C“0，且a，b都是非零向量”等價(jià)于“非零向量a，b共線且反向”，故答案為C.向量共線定理及平面向量基本定理過(guò)雙基1向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.2平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底1已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為()A2B1C1 D1解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，設(shè)m(m0)，即abmamb，1.2(2018南寧模擬)已知e1，e2是不共線向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，則的值為()A B.C2 D2解析：選Cab，ab，即me12e2(ne1e2)，則故2.3已知點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且2，則()A. B.C. D.解析：選C如圖，2，().清易錯(cuò)1在向量共線的重要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)2平面向量基本定理指出：平面內(nèi)任何一個(gè)非零向量都可以表示為沿兩個(gè)不共線的方向分離的兩個(gè)非零向量的和，并且一旦分解方向確定后，這種分解是唯一的這一點(diǎn)是易忽視的1(2018大連雙基測(cè)試)給出下列四個(gè)命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。籥0(為實(shí)數(shù))，則必為零；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：選C錯(cuò)誤，兩向量是否共線是要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)；正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故向量不能比較大小，但向量的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。诲e(cuò)誤，當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，都有a0；錯(cuò)誤，當(dāng)0時(shí)，ab，此時(shí)a與b可以是任意向量2.如圖，在OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，xy，且2，則()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：選A由題意知，又2，所以()，所以x，y.平面向量的運(yùn)算過(guò)雙基1向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.向量坐標(biāo)的求法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.1(2018嘉興測(cè)試)在ABC中，已知M是BC邊的中點(diǎn)，設(shè)a，b，則()A.abB.abCab Dab解析：選Aba.2設(shè)D是線段BC的中點(diǎn)，且4，則()A2 B4C2 D4解析：選AD是線段BC的中點(diǎn)，2，4，2.3已知AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，(2,4)，(1,3)，則()A(1，1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析：選A由題意可得(1,3)(2,4)(1，1)4已知A(2,3)，B(4，3)，且3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：設(shè)P(x，y)，A(2,3)，B(4，3)，且3，(x2，y3)3(2，6)(6，18)，解得x8，y15，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，15)答案：(8，15)5已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c與向量kab共線，則實(shí)數(shù)k_.解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因?yàn)橄蛄縞與向量kab共線，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.答案：16設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為_解析：D為AB的中點(diǎn)，2，20，O是CD的中點(diǎn)，SAOCSAODSAOBSABC.答案：4清易錯(cuò)1向量坐標(biāo)不是向量的終點(diǎn)坐標(biāo)，與向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)系2數(shù)乘向量仍為向量，只是模與方向發(fā)生變化，易誤認(rèn)為數(shù)乘向量為實(shí)數(shù)3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1若向量(1,2)，(3,4)，則()A(2,2) B(2，2)C(4,6) D(4，6)解析：選C(4,6)2已知向量a，b不共線，若a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD是()A梯形 B平行四邊形C矩形 D菱形解析：選A因?yàn)閍2b，4ab，5a3b，所以8a2b，所以2，即直線AD與BC平行，而向量與不共線，即直線AB與CD不平行，故四邊形ABCD是梯形3(2018河北聯(lián)考)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，則2a3b()A(5，10) B(2，4)C(3，6) D(4，8)解析：選D由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)平面向量的數(shù)量積過(guò)雙基1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是a與b的夾角設(shè)是a與b的夾角，則的取值范圍是01800或180ab，90ab2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1設(shè)向量e1，e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且a2e1e2，be2，則|a2b|()A2 B.C2 D4解析：選B向量e1，e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，|e1|1，|e2|1，e1e20，a2e1e2，be2，a2b2e1e2，|a2b|24e4e1e2e5，|a2b|.2(2018云南檢測(cè))設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于()A BC. D.解析：選D因?yàn)閍2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以ab121.3已知|a|1，|b|2，a(ab)3，則a與b的夾角為()A. B.C. D解析：選D設(shè)a與b的夾角為，由題意知|a|1，|b|2，a(ab)a2ab1212cos 3，cos 1.又0，a與b的夾角為.4已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，a與b的夾角為，則|a2b|_.解析：(a2b)2a24ab4b2442144，|a2b|2.答案：25(2018衡水中學(xué)檢測(cè))在直角三角形ABC中，C90，AB2，AC1，若，則_.解析：，()2，又C90，AB2，AC1，CB，.答案：6(2018東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，2，()，則_.解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則B(0,0)，E，D(2,2)由()，知F為BC的中點(diǎn)，所以F(1,0)，故，(1，2)，2.答案：清易錯(cuò)10與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a00，a(a)00，a000.2ab0不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab.3在運(yùn)用向量夾角時(shí)，注意其取值范圍為0，1有下列說(shuō)法：向量b在向量a方向上的投影是向量；若ab0，則a和b的夾角為銳角，若ab0，且a，b不共線，即解得5，且.答案：3已知向量a，b滿足a(2,0)，|b|1，若|ab|，則a與b的夾角是_解析：由|ab|，得(ab)2a22abb242ab17，ab1，|a|b|cosa，b1，cosa，b.又a，b0，a，b的夾角為.答案：一、選擇題1(2018常州調(diào)研)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足0，則下列結(jié)論正確的是()ABC D解析：選D0，O為ABC的重心，()()()(2).2(2018合肥質(zhì)檢)已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若20，則向量等于()A. BC2 D2解析：選C因?yàn)?，所?2()()20，所以2.3已知向量a與b的夾角為30，且|a|，|b|2，則|ab|的值為()A1 B.C13 D.解析：選A由向量a與b的夾角為30，且|a|，|b|2，可得ab|a|b|cos 3023，所以|ab|1.4(2018成都一診)在邊長(zhǎng)為1的等邊ABC中，設(shè)a，b，c，則abbcca()A B0C. D3解析：選A依題意有abbcca.5已知非零向量a，b滿足ab0，|a|3，且a與ab的夾角為，則|b|()A6 B3C2 D3解析：選D由非零向量a，b滿足ab0，可知兩個(gè)向量垂直，由|a|3，且a與ab的夾角為，說(shuō)明以向量a，b為鄰邊，ab為對(duì)角線的平行四邊形是正方形，所以|b|3.6(2017青島二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，c(x,3)，若(2ab)c，則x()A2 B4C3 D1解析：選D依題意得b2(4,2)，所以2ab(2,6)，所以6x236，x1.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AOC，且|2，若，則()A2 B.C2 D4解析：選A因?yàn)閨2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.8.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)B，C是該圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線與該圖象交于D，E兩點(diǎn)，則()()的值為()A1 BC. D2解析：選D注意到函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，因此C是線段DE的中點(diǎn)，2.又，且|T1，因此()()222.二、填空題9(2018洛陽(yáng)一模)若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：10已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且a，b，則_，_.(用a，b表示)解析：如圖，ba，ab.答案：baab11已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：312若向量a(2,3)，b(4,7)，ac0，則c在b方向上的投影為_解析：ac0，ca(2，3)，cb82113，且|b|，c在b方向上的投影為|c|cosc，b|c|.答案：三、解答題13已知向量a(3,0)，b(5,5)，c(2，k)(1)求向量a與b的夾角；(2)若bc，求k的值；(3)若b(ac)，求k的值解：(1)設(shè)向量a與b的夾角為，a(3,0)，b(5,5)，ab3(5)0515，|a|3，|b|5，cos .又0，.(2)bc，5k52，k2.(3)ac(5，k)，又b(ac)，b(ac)0，555k0，k5.14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解：(1)若mn，則mn0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.高考研究課(一) 平面向量的基本運(yùn)算考點(diǎn)考查頻度考查角度平面向量的線性運(yùn)算5年1考三角形中的線性運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5年3考求坐標(biāo)及待定參數(shù)共線向量定理5年3考已知共線求參數(shù)值平面向量的線性運(yùn)算典例(1)(2018濟(jì)南模擬)在ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，則()A.abB.abC.ab D.ab(2)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)若，則_.解析(1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)法一：由，得()()，則0，得0，得0.因?yàn)?，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.法二：連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于T，由已知易得ABAT，則，即，因?yàn)門，M，N三點(diǎn)共線，所以1.故.答案(1)D(2)方法技巧(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決 即時(shí)演練1向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則ab()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析：選C結(jié)合圖形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.2.如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若，則的值為()A. BC1 D1解析：選A法一：由題意得，1，故選A.法二：利用坐標(biāo)法，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，(1,0)，(1,1)，則(1,0)(1，1)，.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例(1)在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)(2)(2018紹興模擬)已知點(diǎn)M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析(1)由題意，22()2(3,2)(6,4)，(6,4)(4，3)(2,7)，2，3(6,21)(2)3a3(1，2)(3,6)，設(shè)N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，所以即答案(1)B(2)A方法技巧向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則即時(shí)演練1若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c()Aab B.abC.ab Dab解析：選B設(shè)c1a2b，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，所以121，122，解得1，2，所以cab.2已知向量a(1,1)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線y2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_解析：設(shè)B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(3，6)共線向量定理及應(yīng)用平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬低檔題.,常見的命題角度有：(1)利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題.角度一：利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)1若向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x()A2B3C4 D6解析：選Bab，264x0，解得x3.2已知梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)答案：(2,4)3已知平面向量a(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，且(ac)(ab)，則m_.解析：因?yàn)閍(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，所以ac(1m，m3)，ab(1，m5)又(ac)(ab)，所以(1m)(m5)(m3)0，即m23m20，解得m或m.答案：方法技巧1利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便2利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題4(2018南陽(yáng)五校聯(lián)考)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則k_.解析：若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：15設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線證明：因?yàn)閍b，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5.所以，共線又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線方法技巧三點(diǎn)共線問(wèn)題的求解策略 解決點(diǎn)共線或向量共線問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩個(gè)向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線1(2017全國(guó)卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若，則的最大值為()A3 B2C. D2解析：選A以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直線BD的方程為2xy20，點(diǎn)C到直線BD的距離為，所以圓C：(x1)2(y2)2.因?yàn)镻在圓C上，所以P.又(1,0)，(0,2)，(，2)，所以2cos sin 2sin()3(其中tan 2)，當(dāng)且僅當(dāng)2k，kZ時(shí)，取得最大值3.2(2015全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A BC D解析：選A().3(2015全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：選A法一：設(shè)C(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)4(2016全國(guó)卷)設(shè)向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.答案：25(2016全國(guó)卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.答案：66(2015全國(guó)卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.解析：ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：7(2014全國(guó)卷)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_解析：由()，可得O為BC的中點(diǎn)，故BC為圓O的直徑，所以與的夾角為90.答案：90一、選擇題1.(2018長(zhǎng)春模擬)如圖所示，下列結(jié)論正確的是()ab；ab；ab；ab.ABC D解析：選C根據(jù)向量的加法法則，得ab，故正確；根據(jù)向量的減法法則，得ab，故錯(cuò)誤；ab2bab，故正確；abbab，故錯(cuò)誤，故選C.2(2018長(zhǎng)沙一模)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A B.C. D.解析：選A(4k，7)，(2k，2)A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2(4k)7(2k)，解得k.3(2018嘉興調(diào)研)已知點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于()A30 B45C60 D90解析：選A由0得，由O為ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且CAO60，故A30.4若a，b，a與b不共線，則AOB平分線上的向量為()A.B.C.D，由確定解析：選D以O(shè)M為對(duì)角線，以，方向?yàn)猷忂呑髌叫兴倪呅蜲CMD，OM平分AOB，平行四邊形OCMD是菱形設(shè)OCOD，則，且由確定5設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：選A由題意得，因此()，故與反向平行6.如圖所示，已知點(diǎn)G是ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且x，y，則的值為()A3 B.C2 D.解析：選B利用三角形的性質(zhì)，過(guò)重心作平行于底邊BC的直線，易得xy，則.7(2018蘭州模擬)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角()A. B.C. D.解析：選B因?yàn)閍b，所以(1sin )(1sin )10，得sin2，所以sin ，故銳角.8已知ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D，P是ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足()，則APD的面積為()A. B.C. D2解析：選A法一：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，由于ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則AEBC，()，又()，所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，AD.取，以AD，AF為鄰邊作平行四邊形，可知.而APD是直角三角形，AF，所以APD的面積為.法二：以A為原點(diǎn)，以BC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，B(2，2)，C(2，2)，由題知()(2，2)(2，2)(0，)，(0，)(4,0)，ADP的面積為S| |.二、填空題9在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若5e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以()()(5e13e2)e1e2.答案：e1e210已知S是ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若xyz，則xyz_.解析：依題意得()，因此xyz10.答案：011(2018貴陽(yáng)模擬)已知平面向量a，b滿足|a|1，b(1,1)，且ab，則向量a的坐標(biāo)是_解析：設(shè)a(x，y)，平面向量a，b滿足|a|1，b(1,1)，且ab，1，且xy0，解得xy.a或.答案：或12.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng)(如圖所示)，若，其中，R，則2的取值范圍是_解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F(xiàn)，設(shè)P(cos ，sin )(090)，(cos ，sin )(1,1)，cos ，sin ，(3sin cos )，(cos sin )，2sin cos sin(45)，090，454545，sin(45)，1sin(45)1，2的取值范圍是1,1答案：1,1三、解答題13.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)證明：由(1)可知，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線14(2018鄭州模擬)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1，2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐標(biāo)解：(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐標(biāo)為(3，1)或(5,3)15.如圖，在OAB中，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)a，b.(1)用a，b表示；(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過(guò)M點(diǎn)，設(shè)p，q，求證：1.解：(1)設(shè)xayb，由，得4xyb，C，M，B三點(diǎn)共線，4xy1.由，得xa2y，A，M，D三點(diǎn)共線，x2y1，聯(lián)立得，x，y.ab.(2)證明：p，q，.E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，1.1已知點(diǎn)P是ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EFBC，實(shí)數(shù)x，y滿足xy0，設(shè)ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記1，2，3，則23取最大值時(shí)，3xy的值為()A. B.C1 D2解析：選D由題意可知1231.P是ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EFBC，1，23，232，當(dāng)且僅當(dāng)23時(shí)取等號(hào)，23取最大值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)延長(zhǎng)AP交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)，PAPM，()，又xy0，xy，3xy2.2.如圖，在RtABC中，P是斜邊BC上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)M，N在過(guò)點(diǎn)P的直線上，若，(0，0)，則2的最小值為()A2 B.C3 D.解析：選B， (0，0)，(1).M，P，N三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)k，使kk()kk.，.(1)，由得，k代入得，1，2.設(shè)f()，0，f()，令f()0，得0或.當(dāng)時(shí)，f()0.時(shí)，f()取極小值，也是最小值，又f，f()的最小值為，即2的最小值為.高考研究課(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度數(shù)量積的運(yùn)算5年4考求數(shù)量積及由數(shù)量積求參數(shù)向量的模5年2考求模及由模的關(guān)系求參數(shù)向量夾角及垂直5年3考由向量垂直求參數(shù)，由坐標(biāo)求向量夾角平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算典例(1)已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，若3，則等于()A2BC2 D.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_解析(1)如圖所示，()()22442.(2)法一：如圖，()21，()|21，故的最大值為1.法二：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值為1.法三：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，|11.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC1，()max|11.答案(1)A(2)11方法技巧平面向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題即時(shí)演練1(2016天津高考)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為()A B.C. D.解析：選B如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則()2222.又|1，BAC60，故11.2(2018豫東名校聯(lián)考)如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，且3，若DE是圓A中繞圓心A運(yùn)動(dòng)的一條直徑，則的值是_解析：()()()()2221.答案：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的常考內(nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題.常見的命題探究角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1(2017浙江高考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析：法一：由向量三角不等式得，|ab|ab|(ab)(ab)|2b|4.又 ，|ab|ab|的最大值為2.法二：設(shè)a，b的夾角為.|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2 ，即|ab|ab|的最小值為4，最大值為2.答案：422已知向量a(1,1)，b(1,1)，設(shè)向量c滿足(2ac)(3bc)0，則|c|的最大值為_解析：設(shè)c(x，y)，2ac(2x,2y)，3bc(3x,3y)，則由題意得(2x)(3x)(2y)(3y)0，即22，表示以為圓心，為半徑的圓，所以|c|的最大值為.答案：方法技巧利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3