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第七單元 平面向量教材復(fù)習(xí)課“平面向量”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)向量的有關(guān)概念過(guò)雙基名稱定義備注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量;其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為01若向量a與b不相等,則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量解析:選C若a與b都是零向量,則ab,故選項(xiàng)C正確2關(guān)于平面向量,下列說(shuō)法正確的是()A零向量是唯一沒有方向的向量B平面內(nèi)的單位向量是唯一的C方向相反的向量是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量D共線向量就是相等向量解析:選C對(duì)于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正確;對(duì)于B,單位向量的模為1,其方向可以是任意方向,故B不正確;對(duì)于C,方向相反的向量一定是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量,故C正確;對(duì)于D,由共線向量和相等向量的定義可知D不正確,故選C.3下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是()單位向量都相等;模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量;若a,b滿足|a|b|且a與b同向,則ab;若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合A0 B1C2 D3解析:選A對(duì)于,單位向量的大小相等,但方向不一定相同,故錯(cuò)誤;對(duì)于,模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量,故錯(cuò)誤;對(duì)于,向量是有方向的量,不能比較大小,故錯(cuò)誤;對(duì)于,向量是可以平移的矢量,當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同,故錯(cuò)誤綜上,正確的命題個(gè)數(shù)是0.清易錯(cuò)1對(duì)于平行向量易忽視兩點(diǎn):(1)零向量與任一向量平行(2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合,易忽視重合這一條件2單位向量的定義中只規(guī)定了長(zhǎng)度沒有方向限制1若mn,nk,則向量m與向量k()A共線 B不共線C共線且同向 D不一定共線解析:選D可舉特例,當(dāng)n0時(shí),滿足mn,nk,故A、B、C選項(xiàng)都不正確,故D正確2設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)選項(xiàng)中,一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab解析:選C“0,且a,b都是非零向量”等價(jià)于“非零向量a,b共線且反向”,故答案為C.向量共線定理及平面向量基本定理過(guò)雙基1向量共線定理向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba.2平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a1e12e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底1已知a,b是不共線的向量,ab,ab,R,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為()A2B1C1 D1解析:選DA,B,C三點(diǎn)共線,設(shè)m(m0),即abmamb,1.2(2018南寧模擬)已知e1,e2是不共線向量,ame12e2,bne1e2,且mn0,若ab,則的值為()A B.C2 D2解析:選Cab,ab,即me12e2(ne1e2),則故2.3已知點(diǎn)M是ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且2,則()A. B.C. D.解析:選C如圖,2,().清易錯(cuò)1在向量共線的重要條件中易忽視“a0”,否則可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè)2平面向量基本定理指出:平面內(nèi)任何一個(gè)非零向量都可以表示為沿兩個(gè)不共線的方向分離的兩個(gè)非零向量的和,并且一旦分解方向確定后,這種分解是唯一的這一點(diǎn)是易忽視的1(2018大連雙基測(cè)試)給出下列四個(gè)命題:兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量;兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大?。籥0(為實(shí)數(shù)),則必為零;,為實(shí)數(shù),若ab,則a與b共線其中假命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析:選C錯(cuò)誤,兩向量是否共線是要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn);正確,因?yàn)橄蛄考扔写笮?,又有方向,故向量不能比較大小,但向量的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大?。诲e(cuò)誤,當(dāng)a0時(shí),不論為何值,都有a0;錯(cuò)誤,當(dāng)0時(shí),ab,此時(shí)a與b可以是任意向量2.如圖,在OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),xy,且2,則()Ax,y Bx,yCx,y Dx,y解析:選A由題意知,又2,所以(),所以x,y.平面向量的運(yùn)算過(guò)雙基1向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:abba;(2)結(jié)合律:(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|;(2)當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相反;當(dāng)0時(shí),a0( a)()a;()aa a;(ab)ab2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.向量坐標(biāo)的求法設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則(x2x1,y2y1),|.(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則abx1y2x2y10.1(2018嘉興測(cè)試)在ABC中,已知M是BC邊的中點(diǎn),設(shè)a,b,則()A.abB.abCab Dab解析:選Aba.2設(shè)D是線段BC的中點(diǎn),且4,則()A2 B4C2 D4解析:選AD是線段BC的中點(diǎn),2,4,2.3已知AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線,(2,4),(1,3),則()A(1,1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析:選A由題意可得(1,3)(2,4)(1,1)4已知A(2,3),B(4,3),且3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析:設(shè)P(x,y),A(2,3),B(4,3),且3,(x2,y3)3(2,6)(6,18),解得x8,y15,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,15)答案:(8,15)5已知向量a(1,3),b(2,1),c(3,2)若向量c與向量kab共線,則實(shí)數(shù)k_.解析:kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1),因?yàn)橄蛄縞與向量kab共線,所以2(k2)3(3k1)0,解得k1.答案:16設(shè)O在ABC的內(nèi)部,D為AB的中點(diǎn),且20,則ABC的面積與AOC的面積的比值為_解析:D為AB的中點(diǎn),2,20,O是CD的中點(diǎn),SAOCSAODSAOBSABC.答案:4清易錯(cuò)1向量坐標(biāo)不是向量的終點(diǎn)坐標(biāo),與向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)系2數(shù)乘向量仍為向量,只是模與方向發(fā)生變化,易誤認(rèn)為數(shù)乘向量為實(shí)數(shù)3若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.1若向量(1,2),(3,4),則()A(2,2) B(2,2)C(4,6) D(4,6)解析:選C(4,6)2已知向量a,b不共線,若a2b,4ab,5a3b,則四邊形ABCD是()A梯形 B平行四邊形C矩形 D菱形解析:選A因?yàn)閍2b,4ab,5a3b,所以8a2b,所以2,即直線AD與BC平行,而向量與不共線,即直線AB與CD不平行,故四邊形ABCD是梯形3(2018河北聯(lián)考)已知向量a(1,2),b(2,m),若ab,則2a3b()A(5,10) B(2,4)C(3,6) D(4,8)解析:選D由ab,得m40,即m4,所以2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8)平面向量的數(shù)量積過(guò)雙基1向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和b,作a,b,則AOB就是a與b的夾角設(shè)是a與b的夾角,則的取值范圍是01800或180ab,90ab2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積,記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a,b.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件ab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1設(shè)向量e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,且a2e1e2,be2,則|a2b|()A2 B.C2 D4解析:選B向量e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,|e1|1,|e2|1,e1e20,a2e1e2,be2,a2b2e1e2,|a2b|24e4e1e2e5,|a2b|.2(2018云南檢測(cè))設(shè)向量a(1,2),b(m,1),如果向量a2b與2ab平行,那么a與b的數(shù)量積等于()A BC. D.解析:選D因?yàn)閍2b(12m,4),2ab(2m,3),由題意得3(12m)4(2m)0,則m,所以ab121.3已知|a|1,|b|2,a(ab)3,則a與b的夾角為()A. B.C. D解析:選D設(shè)a與b的夾角為,由題意知|a|1,|b|2,a(ab)a2ab1212cos 3,cos 1.又0,a與b的夾角為.4已知向量a,b滿足|a|2,|b|1,a與b的夾角為,則|a2b|_.解析:(a2b)2a24ab4b2442144,|a2b|2.答案:25(2018衡水中學(xué)檢測(cè))在直角三角形ABC中,C90,AB2,AC1,若,則_.解析:,()2,又C90,AB2,AC1,CB,.答案:6(2018東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,2,(),則_.解析:如圖,以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則B(0,0),E,D(2,2)由(),知F為BC的中點(diǎn),所以F(1,0),故,(1,2),2.答案:清易錯(cuò)10與實(shí)數(shù)0的區(qū)別:0a00,a(a)00,a000.2ab0不能推出a0或b0,因?yàn)閍b0時(shí),有可能ab.3在運(yùn)用向量夾角時(shí),注意其取值范圍為0,1有下列說(shuō)法:向量b在向量a方向上的投影是向量;若ab0,則a和b的夾角為銳角,若ab0,且a,b不共線,即解得5,且.答案:3已知向量a,b滿足a(2,0),|b|1,若|ab|,則a與b的夾角是_解析:由|ab|,得(ab)2a22abb242ab17,ab1,|a|b|cosa,b1,cosa,b.又a,b0,a,b的夾角為.答案:一、選擇題1(2018常州調(diào)研)已知A,B,C三點(diǎn)不共線,且點(diǎn)O滿足0,則下列結(jié)論正確的是()ABC D解析:選D0,O為ABC的重心,()()()(2).2(2018合肥質(zhì)檢)已知O,A,B,C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn),若20,則向量等于()A. BC2 D2解析:選C因?yàn)?,所?2()()20,所以2.3已知向量a與b的夾角為30,且|a|,|b|2,則|ab|的值為()A1 B.C13 D.解析:選A由向量a與b的夾角為30,且|a|,|b|2,可得ab|a|b|cos 3023,所以|ab|1.4(2018成都一診)在邊長(zhǎng)為1的等邊ABC中,設(shè)a,b,c,則abbcca()A B0C. D3解析:選A依題意有abbcca.5已知非零向量a,b滿足ab0,|a|3,且a與ab的夾角為,則|b|()A6 B3C2 D3解析:選D由非零向量a,b滿足ab0,可知兩個(gè)向量垂直,由|a|3,且a與ab的夾角為,說(shuō)明以向量a,b為鄰邊,ab為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以|b|3.6(2017青島二模)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a(1,2),ab(3,1),c(x,3),若(2ab)c,則x()A2 B4C3 D1解析:選D依題意得b2(4,2),所以2ab(2,6),所以6x236,x1.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn),且AOC,且|2,若,則()A2 B.C2 D4解析:選A因?yàn)閨2,AOC,所以C(,),又,所以(,)(1,0)(0,1)(,),所以,2.8.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)B,C是該圖象與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線與該圖象交于D,E兩點(diǎn),則()()的值為()A1 BC. D2解析:選D注意到函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,因此C是線段DE的中點(diǎn),2.又,且|T1,因此()()222.二、填空題9(2018洛陽(yáng)一模)若三點(diǎn)A(1,5),B(a,2),C(2,1)共線,則實(shí)數(shù)a的值為_解析:(a1,3),(3,4),據(jù)題意知,4(a1)3(3),即4a5,a.答案:10已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,且a,b,則_,_.(用a,b表示)解析:如圖,ba,ab.答案:baab11已知向量a(2,1),b(1,2),若manb(9,8)(m,nR),則mn的值為_解析:manb(2mn,m2n)(9,8),mn253.答案:312若向量a(2,3),b(4,7),ac0,則c在b方向上的投影為_解析:ac0,ca(2,3),cb82113,且|b|,c在b方向上的投影為|c|cosc,b|c|.答案:三、解答題13已知向量a(3,0),b(5,5),c(2,k)(1)求向量a與b的夾角;(2)若bc,求k的值;(3)若b(ac),求k的值解:(1)設(shè)向量a與b的夾角為,a(3,0),b(5,5),ab3(5)0515,|a|3,|b|5,cos .又0,.(2)bc,5k52,k2.(3)ac(5,k),又b(ac),b(ac)0,555k0,k5.14在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m,n(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m與n的夾角為,求x的值解:(1)若mn,則mn0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0,tan x1.(2)m與n的夾角為,mn|m|n|cos ,即sin xcos x,sin.又x,x,x,即x.高考研究課(一) 平面向量的基本運(yùn)算考點(diǎn)考查頻度考查角度平面向量的線性運(yùn)算5年1考三角形中的線性運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5年3考求坐標(biāo)及待定參數(shù)共線向量定理5年3考已知共線求參數(shù)值平面向量的線性運(yùn)算典例(1)(2018濟(jì)南模擬)在ABC中,AB邊的高為CD,若a,b,ab0,|a|1,|b|2,則()A.abB.abC.ab D.ab(2)在梯形ABCD中,已知ABCD,AB2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn)若,則_.解析(1)ab0,ACB90,AB,CD,BD,AD,ADBD41.()ab.(2)法一:由,得()(),則0,得0,得0.因?yàn)?,不共線,所以由平面向量基本定理得解得所以.法二:連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于T,由已知易得ABAT,則,即,因?yàn)門,M,N三點(diǎn)共線,所以1.故.答案(1)D(2)方法技巧(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決 即時(shí)演練1向量e1,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則ab()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析:選C結(jié)合圖形易得,ae14e2,b2e1e2,故abe13e2.2.如圖,正方形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),若,則的值為()A. BC1 D1解析:選A法一:由題意得,1,故選A.法二:利用坐標(biāo)法,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),E,(1,0),(1,1),則(1,0)(1,1),.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例(1)在ABC中,點(diǎn)P在BC上,且2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若(4,3),(1,5),則等于()A(2,7) B(6,21)C(2,7) D(6,21)(2)(2018紹興模擬)已知點(diǎn)M(5,6)和向量a(1,2),若3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析(1)由題意,22()2(3,2)(6,4),(6,4)(4,3)(2,7),2,3(6,21)(2)3a3(1,2)(3,6),設(shè)N(x,y),則(x5,y6)(3,6),所以即答案(1)B(2)A方法技巧向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則即時(shí)演練1若向量a(1,1),b(1,1),c(1,2),則c()Aab B.abC.ab Dab解析:選B設(shè)c1a2b,則(1,2)1(1,1)2(1,1)(12,12),所以121,122,解得1,2,所以cab.2已知向量a(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B為直線y2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_解析:設(shè)B(x,2x),(x3,2x)a,x32x0,解得x3,B(3,6)答案:(3,6)共線向量定理及應(yīng)用平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的常考內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較小,屬低檔題.,常見的命題角度有:(1)利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo);(2)利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題.角度一:利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)1若向量a(2,4)與向量b(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x()A2B3C4 D6解析:選Bab,264x0,解得x3.2已知梯形ABCD中,ABCD,且DC2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_解析:在梯形ABCD中,DC2AB,ABCD,2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則(4x,2y),(1,1),(4x,2y)2(1,1),即(4x,2y)(2,2),解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)答案:(2,4)3已知平面向量a(1,m),b(2,5),c(m,3),且(ac)(ab),則m_.解析:因?yàn)閍(1,m),b(2,5),c(m,3),所以ac(1m,m3),ab(1,m5)又(ac)(ab),所以(1m)(m5)(m3)0,即m23m20,解得m或m.答案:方法技巧1利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便2利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地,在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為a(R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二:利用向量共線解決三點(diǎn)共線問(wèn)題4(2018南陽(yáng)五校聯(lián)考)已知向量(1,3),(2,1),(k1,k2),若A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,則k_.解析:若點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,則向量,共線,(2,1)(1,3)(1,2),(k1,k2)(1,3)(k,k1),1(k1)2k0,解得k1.答案:15設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線,若ab,2a8b,3(ab),求證:A,B,D三點(diǎn)共線證明:因?yàn)閍b,2a8b,3(ab),所以2a8b3(ab)5(ab)5.所以,共線又它們有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線方法技巧三點(diǎn)共線問(wèn)題的求解策略 解決點(diǎn)共線或向量共線問(wèn)題時(shí),要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩個(gè)向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線1(2017全國(guó)卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上若,則的最大值為()A3 B2C. D2解析:選A以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2xy20,點(diǎn)C到直線BD的距離為,所以圓C:(x1)2(y2)2.因?yàn)镻在圓C上,所以P.又(1,0),(0,2),(,2),所以2cos sin 2sin()3(其中tan 2),當(dāng)且僅當(dāng)2k,kZ時(shí),取得最大值3.2(2015全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),3,則()A BC D解析:選A().3(2015全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量(4,3),則向量()A(7,4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析:選A法一:設(shè)C(x,y),則(x,y1)(4,3),所以從而(4,2)(3,2)(7,4)法二:(3,2)(0,1)(3,1),(4,3)(3,1)(7,4)4(2016全國(guó)卷)設(shè)向量a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,則m_.解析:|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2,ab0.又a(m,1),b(1,2),m20,m2.答案:25(2016全國(guó)卷)已知向量a(m,4),b(3,2),且ab,則m_.解析:a(m,4),b(3,2),ab,2m430,m6.答案:66(2015全國(guó)卷)設(shè)向量a,b不平行,向量ab與a2b平行,則實(shí)數(shù)_.解析:ab與a2b平行,abt(a2b),即abta2tb,解得答案:7(2014全國(guó)卷)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若(),則與的夾角為_解析:由(),可得O為BC的中點(diǎn),故BC為圓O的直徑,所以與的夾角為90.答案:90一、選擇題1.(2018長(zhǎng)春模擬)如圖所示,下列結(jié)論正確的是()ab;ab;ab;ab.ABC D解析:選C根據(jù)向量的加法法則,得ab,故正確;根據(jù)向量的減法法則,得ab,故錯(cuò)誤;ab2bab,故正確;abbab,故錯(cuò)誤,故選C.2(2018長(zhǎng)沙一模)已知向量(k,12),(4,5),(k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是()A B.C. D.解析:選A(4k,7),(2k,2)A,B,C三點(diǎn)共線,共線,2(4k)7(2k),解得k.3(2018嘉興調(diào)研)已知點(diǎn)O為ABC外接圓的圓心,且0,則ABC的內(nèi)角A等于()A30 B45C60 D90解析:選A由0得,由O為ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知,四邊形OACB為菱形,且CAO60,故A30.4若a,b,a與b不共線,則AOB平分線上的向量為()A.B.C.D,由確定解析:選D以O(shè)M為對(duì)角線,以,方向?yàn)猷忂呑髌叫兴倪呅蜲CMD,OM平分AOB,平行四邊形OCMD是菱形設(shè)OCOD,則,且由確定5設(shè)D,E,F(xiàn)分別是ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且2,2,2,則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析:選A由題意得,因此(),故與反向平行6.如圖所示,已知點(diǎn)G是ABC的重心,過(guò)點(diǎn)G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且x,y,則的值為()A3 B.C2 D.解析:選B利用三角形的性質(zhì),過(guò)重心作平行于底邊BC的直線,易得xy,則.7(2018蘭州模擬)已知向量a(1sin ,1),b,若ab,則銳角()A. B.C. D.解析:選B因?yàn)閍b,所以(1sin )(1sin )10,得sin2,所以sin ,故銳角.8已知ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,D,P是ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且滿足(),則APD的面積為()A. B.C. D2解析:選A法一:取BC的中點(diǎn)E,連接AE,由于ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,則AEBC,(),又(),所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),AD.取,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,可知.而APD是直角三角形,AF,所以APD的面積為.法二:以A為原點(diǎn),以BC的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,B(2,2),C(2,2),由題知()(2,2)(2,2)(0,),(0,)(4,0),ADP的面積為S| |.二、填空題9在矩形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),若5e1,3e2,則_.(用e1,e2表示)解析:在矩形ABCD中,因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn),所以()()(5e13e2)e1e2.答案:e1e210已知S是ABC所在平面外一點(diǎn),D是SC的中點(diǎn),若xyz,則xyz_.解析:依題意得(),因此xyz10.答案:011(2018貴陽(yáng)模擬)已知平面向量a,b滿足|a|1,b(1,1),且ab,則向量a的坐標(biāo)是_解析:設(shè)a(x,y),平面向量a,b滿足|a|1,b(1,1),且ab,1,且xy0,解得xy.a或.答案:或12.在直角梯形ABCD中,ABAD,DCAB,ADDC1,AB2,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng)(如圖所示),若,其中,R,則2的取值范圍是_解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),E(1,0),D(0,1),F(xiàn),設(shè)P(cos ,sin )(090),(cos ,sin )(1,1),cos ,sin ,(3sin cos ),(cos sin ),2sin cos sin(45),090,454545,sin(45),1sin(45)1,2的取值范圍是1,1答案:1,1三、解答題13.如圖所示,在ABC中,D,F(xiàn)分別是BC,AC的中點(diǎn),a,b.(1)用a,b表示向量,;(2)求證:B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線解:(1)延長(zhǎng)AD到G,使,連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC,所以ab,(ab),(ab),b,(ab)a(b2a),ba(b2a)(2)證明:由(1)可知,又因?yàn)?,有公共點(diǎn)B,所以B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線14(2018鄭州模擬)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)(1)若(akc)(2ba),求實(shí)數(shù)k的值;(2)若d滿足(dc)(ab),且|dc|,求d的坐標(biāo)解:(1)akc(34k,2k),2ba(5,2),由題意得2(34k)(5)(2k)0,解得k.(2)設(shè)d(x,y),則dc(x4,y1),又ab(2,4),|dc|,解得或d的坐標(biāo)為(3,1)或(5,3)15.如圖,在OAB中,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)a,b.(1)用a,b表示;(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過(guò)M點(diǎn),設(shè)p,q,求證:1.解:(1)設(shè)xayb,由,得4xyb,C,M,B三點(diǎn)共線,4xy1.由,得xa2y,A,M,D三點(diǎn)共線,x2y1,聯(lián)立得,x,y.ab.(2)證明:p,q,.E,M,F(xiàn)三點(diǎn)共線,1.1已知點(diǎn)P是ABC的中位線EF上任意一點(diǎn),且EFBC,實(shí)數(shù)x,y滿足xy0,設(shè)ABC,PBC,PCA,PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記1,2,3,則23取最大值時(shí),3xy的值為()A. B.C1 D2解析:選D由題意可知1231.P是ABC的中位線EF上任意一點(diǎn),且EFBC,1,23,232,當(dāng)且僅當(dāng)23時(shí)取等號(hào),23取最大值時(shí),P為EF的中點(diǎn)延長(zhǎng)AP交BC于M,則M為BC的中點(diǎn),PAPM,(),又xy0,xy,3xy2.2.如圖,在RtABC中,P是斜邊BC上一點(diǎn),且滿足,點(diǎn)M,N在過(guò)點(diǎn)P的直線上,若,(0,0),則2的最小值為()A2 B.C3 D.解析:選B, (0,0),(1).M,P,N三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)k,使kk()kk.,.(1),由得,k代入得,1,2.設(shè)f(),0,f(),令f()0,得0或.當(dāng)時(shí),f()0.時(shí),f()取極小值,也是最小值,又f,f()的最小值為,即2的最小值為.高考研究課(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度數(shù)量積的運(yùn)算5年4考求數(shù)量積及由數(shù)量積求參數(shù)向量的模5年2考求模及由模的關(guān)系求參數(shù)向量夾角及垂直5年3考由向量垂直求參數(shù),由坐標(biāo)求向量夾角平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算典例(1)已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,若3,則等于()A2BC2 D.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則的值為_;的最大值為_解析(1)如圖所示,()()22442.(2)法一:如圖,()21,()|21,故的最大值為1.法二:以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(t,0),t0,1,則(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因?yàn)?1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值為1.法三:由圖知,無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置,在方向上的投影都是CB1,|11.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),在方向上的投影最大,即為DC1,()max|11.答案(1)A(2)11方法技巧平面向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則abx1x2y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題即時(shí)演練1(2016天津高考)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE2EF,則的值為()A B.C. D.解析:選B如圖所示,.又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且DE2EF,所以,所以.又,則()2222.又|1,BAC60,故11.2(2018豫東名校聯(lián)考)如圖,BC是單位圓A的一條直徑,F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn),且3,若DE是圓A中繞圓心A運(yùn)動(dòng)的一條直徑,則的值是_解析:()()()()2221.答案:平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的常考內(nèi)容,題型多為選擇題、填空題,難度適中,屬中檔題.常見的命題探究角度有:(1)平面向量的模;(2)平面向量的夾角;(3)平面向量的垂直.角度一:平面向量的模1(2017浙江高考)已知向量a,b滿足|a|1,|b|2,則|ab|ab|的最小值是_,最大值是_解析:法一:由向量三角不等式得,|ab|ab|(ab)(ab)|2b|4.又 ,|ab|ab|的最大值為2.法二:設(shè)a,b的夾角為.|a|1,|b|2,|ab|ab|.令y,則y2102.0,cos20,1,y216,20,y4,2 ,即|ab|ab|的最小值為4,最大值為2.答案:422已知向量a(1,1),b(1,1),設(shè)向量c滿足(2ac)(3bc)0,則|c|的最大值為_解析:設(shè)c(x,y),2ac(2x,2y),3bc(3x,3y),則由題意得(2x)(3x)(2y)(3y)0,即22,表示以為圓心,為半徑的圓,所以|c|的最大值為.答案:方法技巧利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3

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