一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的討論.doc

一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的討論 一、一維定態(tài)波函數(shù)波函數(shù)是量子力學(xué)中描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。在經(jīng)典力學(xué)中，用質(zhì)點(diǎn)的位置和動(dòng)量（或速度）來(lái)描寫宏觀質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)，這是質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式，它突出了質(zhì)點(diǎn)的粒子性。由于微觀粒子具有波粒二象性，粒子的位置和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值（即測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系），因而質(zhì)點(diǎn)狀態(tài)的經(jīng)典描述方式不適用于對(duì)微觀粒子狀態(tài)的描述，物質(zhì)波于宏觀尺度下表現(xiàn)為對(duì)幾率波函數(shù)的期望值，不確定性失效可忽略不計(jì)。在量子力學(xué)中，為了定量地描述微觀粒子的狀態(tài)，量子力學(xué)中引入了波函數(shù)，并用表示。一般來(lái)講，波函數(shù)是空間和時(shí)間的函數(shù)，并且是復(fù)函數(shù)，即，它是薛定諤方程的解，物理意義表達(dá)為：在空間某點(diǎn)附近發(fā)現(xiàn)實(shí)物粒子的概率正比于粒子波函數(shù)絕對(duì)值的平方。二、簡(jiǎn)并能級(jí)與非簡(jiǎn)并能級(jí)能級(jí)的簡(jiǎn)并就是微粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，但是能量（能級(jí)）一樣；非簡(jiǎn)并就是每個(gè)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微粒具有不同的能量。量子力學(xué)中，解薛定諤方程能夠得到一些相應(yīng)的量子數(shù)，這些量子數(shù)能描述微粒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，比如：氫原子中的電子有：主量子數(shù)n、角量子數(shù)l、磁量子數(shù)m、自旋量子數(shù)s、自旋磁量子數(shù)ms(s是下標(biāo))，擁有不同量子數(shù)的電子說(shuō)明運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同。在沒有外加磁場(chǎng)的情況下，電子的能量只和n有關(guān)，而和其他4個(gè)量子數(shù)無(wú)關(guān)，但是同一個(gè)n下有n種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（量子力學(xué)或者原子物理中的相關(guān)結(jié)論），我們就說(shuō)能級(jí)En是n度簡(jiǎn)并的，表示同一個(gè)能級(jí)En下電子最多可以有n種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于線性諧振子來(lái)說(shuō)，n與能級(jí)是一一對(duì)應(yīng)的，所以線性諧振子是非簡(jiǎn)并系統(tǒng)。需要指出的是，有些簡(jiǎn)并能級(jí)在特殊情況下會(huì)變?yōu)榉呛?jiǎn)并的，比如電子在磁場(chǎng)中由于磁量子數(shù)的變化，能級(jí)會(huì)分裂。三、對(duì)一維定態(tài)波函數(shù)宇稱的理解1.對(duì)宇稱的理解引入宇稱算符比較容易說(shuō)明。宇稱算符沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的力學(xué)量，宇稱算符用標(biāo)記，表示將波函數(shù)的坐標(biāo)變量對(duì)原點(diǎn)做空間反演，即。如果勢(shì)函數(shù)是偶函數(shù)，那么它在空間反演下是不變的。換句話說(shuō)，哈密頓量與宇稱算符對(duì)易。于是可以選哈密頓量和宇稱算符的共同本征態(tài)作為本征態(tài)組，使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。而宇稱算符的本征態(tài)只有兩個(gè)：奇宇稱態(tài)和偶宇稱態(tài)，所以我們這樣選出的本征態(tài)組要么是奇宇稱要么是偶宇稱。當(dāng)然，我們有選擇的自由，完全可以選那些沒有一定宇稱的態(tài)作為本征態(tài)，但在多數(shù)情況下，這只會(huì)徒增麻煩。但是，如果只選擇例如奇宇稱態(tài)作為本征態(tài)組，那么這個(gè)本征態(tài)組往往是不完備的，所以多數(shù)情況下不能只選一種宇稱。在一維問(wèn)題中，可以證明如果兩個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)同一能量，他們最多差一個(gè)常系數(shù)，而這個(gè)常系數(shù)可以由歸一化消去，所以對(duì)應(yīng)同樣的態(tài)；也就是說(shuō)，此時(shí)哈密頓量的本征態(tài)都有確定宇稱。另外在維基百科上得到有關(guān)宇稱的公式定義是其中為角量子數(shù)為偶宇稱，為奇宇稱。所以我認(rèn)為可能是角量子數(shù)決定了波函數(shù)的宇稱奇偶性，不是波函數(shù)本身的奇偶性決定的。宇稱算符是厄米算符也是幺正算符，下面證明它是幺正算符：。證明：我們用作用于得： 又因?yàn)榧?所以 故宇稱算符是厄米算符。下面我們討論在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，討論粒子的定態(tài)波函數(shù)是否具有確定的宇稱。我們知道，一維束縛定態(tài)的能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的，為了方便討論，下面先介紹什么是非簡(jiǎn)并性定理，給出兩個(gè)定理（它們的證明這里不討論）：定理1.對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，如果和是對(duì)應(yīng)于同一本征值E得兩個(gè)解，則有 （常數(shù)） 定理2.若一維定態(tài)波函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)可微，則時(shí)，有，否則在此區(qū)間。非簡(jiǎn)并性定理的證明通常如下：設(shè)和是對(duì)應(yīng)于同一本征值E得兩個(gè)解，對(duì)于束縛態(tài)，當(dāng)時(shí)，由定理1可得： 因此有 上述證明表明，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)不存在奇點(diǎn)時(shí)顯然正確。然而，在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常是不連續(xù)的，甚至存在奇異點(diǎn)。此時(shí)，薛定諤方程應(yīng)該分區(qū)求解，再由邊界條件定解。為了研究定態(tài)波函數(shù)在存在奇異點(diǎn)時(shí)的性質(zhì)，不失一般性，可以取一點(diǎn)，（設(shè)在區(qū)域中有限），設(shè)和是對(duì)應(yīng)于同一本征值E得兩個(gè)解，由于（或）在和中分別滿足定態(tài)薛定諤方程，可得下式： 其中為任意常數(shù)，利用波函數(shù)的連續(xù)性條件： 又由式，有 因此得到 I.當(dāng)不是的奇異點(diǎn)(可以不連續(xù))時(shí)，應(yīng)在處連續(xù)，同理導(dǎo)致 結(jié)合、式，要使，則有由定理2，導(dǎo)致。矛盾，所以有 即得到非簡(jiǎn)并性定理的結(jié)論。II.當(dāng)是的奇點(diǎn)時(shí)（）。一階微商連續(xù)條件并不滿足，可知當(dāng)時(shí)，可能成立。此時(shí)和顯然線性無(wú)關(guān)，得到能級(jí)簡(jiǎn)并的結(jié)果。綜上所述 , 有以下結(jié)論 :*當(dāng)粒子在不存在奇異點(diǎn)的區(qū)域（或僅在定義域兩端存在奇異區(qū)域中運(yùn)動(dòng) 時(shí)，一維束縛定態(tài)的所有能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的。這即非簡(jiǎn)并性定理的充分條件。*能級(jí)出現(xiàn)簡(jiǎn)并的必要條件是在某區(qū)域內(nèi)存在奇異點(diǎn)，且 下面對(duì)上面在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子進(jìn)行分析。I.情況一：非簡(jiǎn)并能級(jí)的定態(tài)波函數(shù) 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)薛定諤方程為 將式中的代換，得 利用，得 比較、式可知，都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此之間只能相差一個(gè)常數(shù)。方程、可相互進(jìn)行空間反演 而得其對(duì)方，由經(jīng)反演，可得， 由再經(jīng)反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。 乘 ，得 可見，當(dāng)時(shí)，具有偶宇稱，當(dāng)時(shí)，具有奇宇稱，故當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。II.情況二：簡(jiǎn)并能級(jí)的定態(tài)波函數(shù) 的場(chǎng)合不只是有束縛態(tài)，還有非束縛態(tài)，而兩端均是不限一 維運(yùn)動(dòng)的能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的，做這種運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)波函數(shù)中就不一定 具有確定的宇稱。例如 : 做一維自由運(yùn)動(dòng)的粒子， ，滿足