高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值》理.ppt

理數(shù) 課標(biāo)版,第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值,1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)的極小值 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 都小 , f (a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè) f (x)0 ,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn), f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的 極小值.,教材研讀,(2)函數(shù)的極大值 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 都大 , f (b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè) f (x)0 ,右側(cè) f (x)0 ,則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn), f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值. 注: 極大值 和 極小值 統(tǒng)稱為極值.,2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 一般地,求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下: (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的 極值 ; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與 端點(diǎn)處 的函數(shù)值f(a)、 f(b)比較,其中 最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. 注:如果在區(qū)間a,b上,函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它 必有最大值和最小值.,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大. (),(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x), f (x0)=0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件. () (3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值. () (4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值. (),1.(2016四川,6,5分)已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,答案 D 由題意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f (x)=0,得x=-2或x=2, 則f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:,函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.,2.設(shè)函數(shù)f(x)= +ln x,則 ( ) A.x= 為f(x)的極大值點(diǎn) B.x= 為f(x)的極小值點(diǎn) C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn) D.x=2為f(x)的極小值點(diǎn) 答案 D f(x)= +ln x(x0), f (x)=- + = ,當(dāng)x2時(shí), f (x)0,此時(shí) f(x)為增函數(shù);當(dāng)0x2時(shí), f (x)0,此時(shí)f(x)為減函數(shù),據(jù)此知x=2為f(x)的 極小值點(diǎn).,3.函數(shù)y=xex的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C.- D.不存在 答案 C y=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.當(dāng)x-1時(shí),y0;當(dāng)x-1時(shí),y0.當(dāng) x=-1時(shí)函數(shù)取得最小值,且ymin=- .故選C.,4.函數(shù)f(x)=x-aln x(a0)的極小值為 . 答案 a-aln a 解析 f(x)的定義域?yàn)?0,+),易知f (x)=1- . 由f (x)=0,解得x=a(a0). 又當(dāng)x(0,a)時(shí), f (x)0, 函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a.,考點(diǎn)一 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 命題角度一 求已知函數(shù)的極值,典例1 (2017成都雙流中學(xué)月考)設(shè)a0,函數(shù)f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). 求函數(shù)f(x)的極值. 解析 f(x)的定義域?yàn)?0,+). f (x)=x-(a+1)+ = = . 當(dāng)00,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若x(a,1),則f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 此時(shí)x=a是f(x)的極大值點(diǎn),x=1是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(a) =- a2+aln a,極小值是f(1)=- .,考點(diǎn)突破,當(dāng)a=1時(shí), f (x)= 0,所以函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn),故無極值. 當(dāng)a1時(shí),若x(0,1),則f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 若x(1,a),則f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 此時(shí)x=1是f(x)的極大值點(diǎn),x=a是f(x)的極小值點(diǎn),函數(shù)f(x)的極大值是f(1) =- ,極小值是f(a)=- a2+aln a. 綜上,當(dāng)01時(shí), f(x)的極大值是- ,極小值是- a2+aln a.,命題角度二 已知函數(shù)的極值情況求參數(shù)的值或范圍 典例2 已知函數(shù)f(x)= . (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 (1)f(x)= ,x(-,0)(0,+), f (x)= . 當(dāng)f (x)=0時(shí),x=1. f (x)與f(x)隨x的變化情況如下表:,故f(x)的增區(qū)間為(1,+),減區(qū)間為(-,0)和(0,1). (2)易得g(x)=ex-ax+1, g(x)=ex-a, 當(dāng)a1時(shí),在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上遞增,此時(shí)g(x)在 (0,+)上無極值點(diǎn). 當(dāng)a1時(shí),令g(x)=ex-a=0,得x=ln a; 令g(x)=ex-a0,得x(ln a,+); 令g(x)=ex-a1.,方法技巧 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程,2.已知函數(shù)極值點(diǎn)和極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng) (1)列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值列方程組,利用待定系數(shù)法求解. (2)驗(yàn)證:因?yàn)橐稽c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所 以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.,1-1 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則 的值為 ( ) A.- B.-2 C.-2或- D.不存在,答案 C f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a, f (x)=3x2+2ax+b,由題意知f (1)=3+2a+b=0,b=-3-2a,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10, 將代入整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6. 當(dāng)a=-2時(shí),b=1;當(dāng)a=-6時(shí),b=9. =-2或 =- ,故選C.,1-2 (2016河北石家莊一模)已知函數(shù)f(x)=ex-3x+3a(e為自然對(duì)數(shù)的底 數(shù),aR).求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. 解析 由f(x)=ex-3x+3a知, f (x)=ex-3. 令f (x)=0,得x=ln 3, 于是當(dāng)x變化時(shí), f (x)和f(x)的變化情況如下表:,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,ln 3, 單調(diào)遞增區(qū)間是ln 3,+), f(x)在x=ln 3處取得極小值,極小值為f(ln 3)= -3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).,考點(diǎn)二 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題 典例3 已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最大值. 解析 (1)f (x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax. 當(dāng)a=0時(shí),由f (x)0得x0,由f (x)0得0- . 故函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增. 在(-,0)與 上單調(diào)遞減.,(2)當(dāng)a=0時(shí), f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,其最大值為f(1)=1. 當(dāng)-21, f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,其最大值是f(1)=ea. 當(dāng)a-2時(shí),0- 1,x=- 是函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上唯一的極大值點(diǎn),也 就是最大值點(diǎn), 此時(shí)函數(shù)f(x)的最大值是f = . 綜上得當(dāng)-2a0時(shí), f(x)在0,1上的最大值是ea; 當(dāng)a-2時(shí), f(x)在0,1上的最大值為 .,規(guī)律總結(jié) 求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟 (1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a), f(b); (3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a), f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的 一個(gè)為最小值. 2-1 (2016湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)nN*,a,bR,函數(shù)f(x)= +b, 已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1. (1)求a,b; (2)求f(x)的最大值.,解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)= . f (1)=a,又切線斜率為1,故a=1. 由曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,0),有f(1)=b=0. 故a=1,b=0. (2)由(1)知f(x)= , f (x)= . 令f (x)=0,得1-nln x=0,解得x= . 當(dāng)00,得f(x)在(0, )上是增函數(shù); 當(dāng)x 時(shí),有f (x)0,得f(x)在( ,+)上是減函數(shù). 故f(x)在x= 處取得最大值f( )= .,考點(diǎn)三 函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用 典例4 已知函數(shù)f(x)= (a0)的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)為-3 和0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)的極小值為-e3,求f(x)的極大值及f(x)在區(qū)間-5,+)上的最大值. 解析 (1)f (x)= = , 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因?yàn)閑x0,所以y=f (x)的零點(diǎn)就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點(diǎn),且f (x)與 g(x)符號(hào)相同. 因?yàn)閍0,所以由題意知:當(dāng)-30,即f (x)0;,當(dāng)x0時(shí),g(x)0,即f (x)0, 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)減區(qū)間是(-,-3),(0,+). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的極小值點(diǎn),所以有 =-e3, 結(jié)合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)= . 因?yàn)閒(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)減區(qū)間是(-,-3),(0,+), 所以f(0)=5為函數(shù)f(x)的極大值, 且f(x)在區(qū)間-5,+)上的最大值為f(-5)和f(0)中的最大者.,而f(-5)= =5e55=f(0), 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-5,+)上的最大值是5e5.,方法技巧 解決函數(shù)極值、最值問題的策略 (1)求極值、最值時(shí),要求步驟規(guī)范,含參數(shù)時(shí),要討論參數(shù)的大小. (2)求函數(shù)最值時(shí),不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值,要通過比較才能下 結(jié)論,即函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值,一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比 較才能確定最值.,3-1 (2016云南統(tǒng)一檢測(cè))已知常數(shù)a0, f(x)=aln x+2x. (1)當(dāng)a=-4時(shí),求f(x)的極值; (2)當(dāng)f(x)的最小值不小于-a時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 (1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)= +2= .,當(dāng)a=-4時(shí), f (x)= . 當(dāng)02時(shí), f (x)0,即f(x)單調(diào)遞增.,f(x)只有極小值,且在x=2時(shí), f(x)取得極小值f(2)=4-4ln 2. 當(dāng)a=-4時(shí),