高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)立體幾何中的向量方法--證明平行與垂直課件理新人教版.ppt

第7講 立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直,最新考綱 1.理解直線的方向向量及平面的法向量；2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.,知 識 梳 理,1.直線的方向向量和平面的法向量 (1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l_，則稱此向量a為直線l的方向向量. (2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量.,平行或重合,2.空間位置關(guān)系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,診 斷 自 測,1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)直線的方向向量是唯一確定的.( ) (2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.( ) (3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合.( ) (4)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行.( ) 答案 (1) (2) (3) (4),2.(選修21P104練習(xí)2改編)已知平面，的法向量分別為n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，則( ) A. B. C.，相交但不垂直 D.以上均不對 解析 n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直. 答案 C,答案 C,4.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_.,答案 垂直,5.設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n(2，2，4)，若a(1，1，2)，則直線l與平面的位置關(guān)系為_； 若a(1，1，1)，則直線l與平面的位置關(guān)系為_.,答案 l l或l,法二 在線段CD上取點F，使得DF3FC，連接OF，同法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)點C坐標(biāo)為(x0，y0，0).,規(guī)律方法 (1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. (2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.,【訓(xùn)練1】 如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB平面EFG.,證明 平面PAD平面ABCD，且ABCD為正方形， AB，AP，AD兩兩垂直. 以A為坐標(biāo)原點，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0).,考點二 利用空間向量證明垂直問題 【例2】 如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明： (1)PABD； (2)平面PAD平面PAB.,證明 (1)取BC的中點O，連接PO， 平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形， PO底面ABCD. 以BC的中點O為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.,規(guī)律方法 (1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵. (2)用向量證明垂直的方法 線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零. 線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示. 面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?,【訓(xùn)練2】 如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1平面A1BD.,法二 如圖所示，取BC的中點O，連接AO. 因為ABC為正三角形，所以AOBC.,考點三 利用空間向量解決探索性問題 【例3】 (2017合肥調(diào)研)如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2，ABC和A1AC均為60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證：BDAA1； (2)在直線CC1上是否存在點P，使BP平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由.,規(guī)律方法 向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題 (1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結(jié)論. (2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.,【訓(xùn)練3】 在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點. (1)求證：EFCD； (2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使GF平面PCB？若存在，求出點G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.,思想方法 1.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.,2.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 3.用向量的坐標(biāo)法證明幾何問題，建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，以下三種情況都容易建系：(1)有三條兩兩垂直的直線；(2)有線面垂直；(3)有兩面垂直.,易錯防范 1.用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條