全等三角形輔助線分類.ppt

A,B,D,E,F,M,N,專題講解,三角形輔助線的方法,連線法,第一關(guān),如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D.,連接AC,構(gòu)造全等三角形,連線 構(gòu)造全等,連線 構(gòu)造全等,如圖,AB與CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的長(zhǎng).,連接BD,構(gòu)造全等三角形,A,C,B,D,O,第二關(guān),中線倍增法,如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？,可以利用倍長(zhǎng)中線法，即把中線延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。,如圖，若AD為ABC的中線，,必有結(jié)論：,A,B,C,D,E,1,2,延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE（也可連結(jié)CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,已知，如圖AD是ABC的中線，,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD， 連結(jié)CE.,思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范圍？,倍長(zhǎng)中線,第三關(guān),利用角平分線截長(zhǎng)補(bǔ)短,可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。,如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？,問題：,如圖，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有結(jié)論：,在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。,ADEADC。,ED=CD，,3,*,2,1,AED=C，,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延長(zhǎng)AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。,必有結(jié)論：,ABDAFD。,BD=FD，,如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？,問題：,3,*,2,1,如圖，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形？,問題：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有結(jié)論：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如圖，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分線所在直線作對(duì)稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（還可以用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”來證DM=DN）,練習(xí)1,如圖，已知ABC中，AD是BAC的角平分線，AB=AC+CD，求證：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,證明:,在AB上截取AE，使AE=AC，連結(jié)DE。, AD是BAC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已證） AD=AD（公共邊） AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等邊對(duì)等角）,4,*, C3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知） EB=DC=ED（等量代換）, 3= B+4= 2B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和） C=2B（等量代換）,ED=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段,典例2:如圖,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求證:AB=AC+DC.,A,C,D,過點(diǎn)D作DEAB,構(gòu)造了: 全等的直角三角形且距離相等,B,E,思考: 若AB=15cm,則BED的周長(zhǎng)是多少?,.角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段,典例3:如圖,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分線, 求證:BC=AB+CD.,A,C,D,過點(diǎn)E作EFBC,構(gòu)造了: 全等的直角三角形且距離相等,B,F,思考: 你從本題中還能得到哪些結(jié)論?,E,證明：,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180 （平角定義）， A3（已證） A+ C180 （等量代換）,3,2,1,*, A3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已證） DE=DC（等量代換）,4=C（等邊對(duì)等角）,AD=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,證明:,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：A+C=180,D,A,B,C,F,延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） 在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已證）4=C（等量代換）,3,2,1,*, FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已證） DF=AD（等量代換）,4=F（等邊對(duì)等角）, 3+ 4180 （平角定義） A+ C180 （等量代換）,DF=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,證明:,例1,已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD，求證：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延長(zhǎng)線于N。, BD是ABC的角平分線（已知） 1=2（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90（垂直的定義） 在NBD和MBD中 N=DMB （已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊） NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,N,4,3,3,2,1,*, ND=MD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）, DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定義）， A3（已證） A+ C180（等量代換）,如圖所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直線DC經(jīng)過點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D， 交BC于點(diǎn)C。求證：AD+BC=AB,E,F,在AB上取點(diǎn)F使得AF=AD,連接EF,截長(zhǎng)補(bǔ)短,第四關(guān),周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化,1.如圖,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,則DBE的周長(zhǎng)是多少?,.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化 借助“角平分線性質(zhì)”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如圖,ABC中, D在AB的垂直平分線上, E在AC的垂直平分線上.若BC=6cm,求ADE的周長(zhǎng).,.“周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化 借助“垂直平分線性質(zhì)”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如圖, AB