在數(shù)學(xué)分析中作輔助函數(shù)解題江婧.pdf

2 O O 6年 8月 第 5卷第 3期 重慶 文理學(xué) 院學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)版 ) J o u rna l o f C h o n g q i n g u I I i v e 耐t y o f A r t s a S c i e n c e s( N a t u r e S c i e n c e s E d i t i o n ) Au g ， 2 O O 6 V0 1 5 No 3 在數(shù)學(xué)分析中作輔助函數(shù)解題 江婧 ， 田芯安 ( 1 重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系。 重慶永川4 0 2 1 6 8 ； 2 重慶文理學(xué)院現(xiàn)代教育技術(shù)中心， 重慶永川4 0 2 1 6 8 ) 摘要 以實(shí)例論述了輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析 中的應(yīng)用， 以及構(gòu)作輔助函數(shù)的 7種方法 關(guān)鍵詞 輔助函數(shù)； 構(gòu)造 ； 中值定理 ； 函數(shù)性質(zhì) 中圖分類號(hào) o 1 7 2 1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 文章編- 1 6 7 1 7 5 3 8 ( 2 0 0 6 ) 0 3 0 0 1 7 0 5 奴 字 分 是 商 寺 阮 枚 甄 字 專 業(yè) 明 王 十 課 Z 一 ， 征 甄 字 分 研 甲 ， 尢 是 埋 論 讓 明 鹼 是 運(yùn) 用 ， 通 遼 嗣 建輔助函數(shù) ， 往往能使問題得到簡(jiǎn)化 下 面通過一些典型的題例說明輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析 中的廣泛 應(yīng)用， 并從如何構(gòu)建輔助函數(shù)等方面進(jìn)行一些探討 1 輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 1 1 輔助函數(shù)在證明等式中的應(yīng)用 證明等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一， 根據(jù)等式特征引入輔助函數(shù)， 將大大簡(jiǎn)化證明過程 例 遷 明 J - 2 + ) 字= J-1。 + ) 譬 c 口 0 ， 分析： 觀看等式左右兩邊 ， 發(fā)現(xiàn)等式左右兩邊，函數(shù) 的自變量 和 同形 ， 于是令“ t = ” ， 從而使 左 邊 化 簡(jiǎn) 為 積 分 r t + t ) 孚 再 比 較 這 個(gè) 積 分 的 上 限 口 與 右 端 積 分 的 上 限 口 是 兩 者 惟 一 的 區(qū) 別 ， 因此這又提示我們分此積分為兩段 ， 得 丟 f ， c t + t ) 了d t = 丟 f t + t ) 字 + 尋 f ： ， c t + t ) 字 再 由 這 個(gè) 積 分 與 原 證 明 等 式 比 較 ， 只 需 證 明 丟 ： ， ( t + 了O,2 ) 了d t = x j- t + T0 ,2 ) 字 再 令 “ t = 2 “ ， 則 得 J- t + 了 2 ) 孚 = J- u + 等 ) 孚 證 明 ：令 2 = t ，則 f ， ( 2 + 孚 ) 字 = 1 f ， ( t + ) 字 。 l f 12 t + 等 ) 字 = 丟 f ， ( t + 譬 ) 譬 + 丟 ： t + 譬 ) 字 又 令 t = ，即 u ： 芋 ， 丟 f： ， ( t + 譬 ) 字 = 丟 f ， ( u + 等 ) 警 丟 f t + 了tl2 ) 孚 f 2 + tl 2 ) 字= 1 ， ( t + ) 譬 = 丟 + 譬 ) 譬 + 尋 + 譬 ) = ， ( + 莩 ) = ， ( + 譬 ) 譬 收稿日期 】2 0 0 6 0 6 1 2 作者簡(jiǎn)介 】江婧 ( 1 9 7 9一) 。女 ，重慶大足人 ，助教 ，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究 1 7 維普資訊 1 2 輔助函數(shù)在證明不等式中的作用 證明不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一， 根據(jù)不等式引入輔助函數(shù)， 再利用函數(shù)性質(zhì)證明不等 式 例2 設(shè)函數(shù)， ( ) 在【 0 ， 1 】 上連續(xù)且單調(diào)減少， 證明： 對(duì)任意 口 ( _0 ， 1 ) ， 均有 ra l , l I f ( x ) tl x口 l x ) d x J 0 J 0 分析 ： 仔細(xì)觀察所要證明的不等式 ， 發(fā)現(xiàn)不等號(hào)主要是 由于定積分的上 限變化所致 ， 故可以利用 變上限積分構(gòu)造輔助函數(shù) ， 再利用導(dǎo)數(shù)確定該輔助函數(shù) 的單調(diào)性的方法加以證明 1 I 證明： 令F ( t ) = 1 I x ) d x ( 0 t 1 ) 則 ( t )= 州一 脅 ： ( 0 ， ( ) ， 亦即I x ) d x口 I f ( x ) d x 1 3 利 用輔助 函數(shù) 求極 限 例 3求 【 1+ 南 + + 】 分析 ： 此題求數(shù)列的極限 ， 如果直接用數(shù)列極 限的有關(guān)方法來求比較麻煩 ， 但如果 我們利用輔助 函數(shù)并根據(jù)定積分的定義就可以較容易地解決問題 + + + = 騫 _ 1 _iI _ 1 + 、 又 ) = T _ 在【 0 ， 1 】 上連續(xù) ， 從而可積 ， 于是有 ： ( + 南+ -= + ) = 砉 之 = = 。 n 1 4 利 用輔 助 函數(shù) 討 論方程 的根 解方程 )=0 ， 實(shí)質(zhì)上就是求 函數(shù) f ( )的零點(diǎn) 關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問題一般是利用連續(xù)函數(shù)的 性質(zhì)及微分中值定理來解決 例 4 已知 ) 在 0 ， 1 上非負(fù)連續(xù)， 且 0 )=f ( 1 )=0 ， 求證對(duì)任意實(shí)數(shù) 口( 0口1 ) 必存 在 0 ， 1 ， 使得 +a 0 ， 1 ， 且 o )= +a ) 筑析： 此 題要 證 X O ) = f ( x o + 口 ) ， 即可 證 粕) 一 f ( x 。 + 口 ) = 0 由 此 想到 可構(gòu) 造一 個(gè)輔 助函 數(shù) F( ) ， 使得 F( ) 在點(diǎn) 。 處取得的函數(shù)值為 0 ， 進(jìn)而得證 證明： 作輔助函 數(shù)F ( ) =， ( ) 一 +口 ) ， 則有F ( 0 ) = 一 口 ) 0 ， 從而有F ( 1 一口 ) = 1 一 a )0 而 F ( ) 在 0 ， 1一a 連續(xù) ， 由連續(xù)函數(shù)介值定理： 存在 0 ， 1一口 ， 使得 F( 。 )：0 ， 即 o)= o+a ) 1 5 利用輔助函數(shù)計(jì)算積分及求導(dǎo)函數(shù)值 有時(shí)確定被積 函數(shù)的原函數(shù)是十分困難的 ， 若能引入適 當(dāng)?shù)妮o助函數(shù) ， 困難就解決 了 例 5計(jì)算 ，： 分析 ： 此題如果直接求解比較難 ， 但如果根據(jù)定積分的特點(diǎn) ， 在定積分的被積函數(shù)里引入變量， 從 而構(gòu)造 出輔助 函數(shù) ， 再利用積分的相關(guān)知識(shí)來解決此題 ， 就比較簡(jiǎn)單 1 8 維普資訊 解 ： 作 輔 助 函 數(shù) ， ( t ) ： 廣 ，則， ： ， ( 1 ) ， ， ( o ) ： o J 0 工 + R f ( ， t )= 和 廠。 ( ， t )= 在( o 1 ； o t 1 ) 上連續(xù) ， ， ( t ) 滿足 積分 號(hào)下 求導(dǎo) 數(shù) 冬件 )= = 1 一 l n ( 1+t )+ll n 2+百 7 r t 伽 t = 南 _ ln ( 1 川+ l ln 2 + 1n 2 _ ， ( 1 ) 又 ( t ) d t： ， ( 1 )一， ( 0 )=， ( 1 ) ，= ， ( 1 )=1 n 2 1 例6 已 知， ( ) =I c 0 s t ， 求廠 ( 0 ) J 0 分 析 ： 因 ， ( ) = C O S t ， 故 被 積 函 數(shù) c 0 s 在 點(diǎn) = o 不 連 續(xù) ， 故 這 導(dǎo) 致 不 能 直 接 用 對(duì) 積 分 限 求導(dǎo)的公式來求 廠( 0 ) 用分部積分公式來變換被積 函數(shù) ， 使新的被積函數(shù)在點(diǎn) =0 連續(xù)是解決問題 的一個(gè)途徑 解 ： 當(dāng) 0時(shí)， =一 d ( s t n 了1 ) = s in 扣 + n 2 ；n 令 ( ) ： f 2 。 stn ， 。 ； ， 2( ) ： f 2 2 s n ， 。 ； L 0 ， = O； L O ， ：0； ( ) ， ， 2 ( ) 在( 一，+) 上連續(xù) ， 且 廠。 ( 0 )=0 對(duì)一切 有： ， ( ) = ( ) +I ， 2 ( t ) d t J 0 廠( o )=廠。 ( o )+ ( t ) I 。 。=0+， 2 ( o )=o 1 6 利用輔助函數(shù)求函數(shù)表達(dá)式 例7 已知函數(shù)， ( ) 在( 一， +)內(nèi)滿足關(guān)系式： 廠( )=， ( ) ， 且 ， ( 0 )=1 ， 求， ( ) 分析： 此題由( )=， ( ) ， ， ( 0 )=1 ， 很容易想到有可能， ( )=e ， 故構(gòu)作輔助函數(shù) F( )= ， 再根據(jù)條 件證明 F( )=1即可 - 解 ：作 輔 助 函 數(shù) ) = 高，貝 IJ 為 廠 ( ) = ， ( ) ， 所 以 F ( ) = o ， 即 F ( ) = c 令 = o ， 得 F ( o 】 = = = 1 = c ， 所 =1 ， 從而有， ( )=e 1 7 利用輔助函數(shù)近似計(jì)算 在近似計(jì)算問題中， 可以利用輔助函數(shù) ， 借助微分知識(shí)來解決此類 問題 例8 求e 。 冊(cè)的近似值 分析： 要求 e 的值， 顯然該問題即是求指數(shù)函數(shù)， ( )=e 在 取o 9 9 7 的函數(shù)值， 故可以構(gòu)造 輔助函數(shù)， ( ) ， 再利用近似計(jì)算公式， ( )=， ( 。 ) +廠( 。 ) A x 就可以求e 。 。嘶 的值 解： 作輔助函數(shù)， ( )=e ， 設(shè) = 0 + ， 且 0=1 ， =一O 0 0 3 廠( )=e ， 即廠( 1 )=e e 0。 9 9 7 = f ( )=f ( x 0+ )： ( 0 )+廠( 0 )A x；e+e ( 一0 0 0 3 )=2 7 1 7 5 1 9 維普資訊 2 如何構(gòu)作輔助函數(shù) 通過上面一些命題 的證明， 我們可以看 出解決這些問題 的關(guān)鍵是如何構(gòu)造出一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助 函 數(shù) 構(gòu)作一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)并非易事， 下面通過幾個(gè)實(shí)例夾分析輔助函數(shù)的構(gòu)造法 2 1 由果索因法 由果索因法要求認(rèn)真分析問題的條件和結(jié)論， 由結(jié)論倒推出所需要的條件， 從而找出構(gòu)造的輔助 函數(shù)必須滿足的條件及應(yīng)具備的性質(zhì)， 進(jìn)而構(gòu)造出所需要的輔助函數(shù)( 如本文的例 1 、 例3 、 例4 、 例6 ) 2 2 幾何推導(dǎo)法 幾何推導(dǎo)法是利用問題的幾何意義， 再加上解析幾何的有關(guān)知識(shí) 如直線方程等) 來構(gòu)造輔助函 數(shù)的一種方法 2 3 原 函數(shù) 法 原函數(shù)法的基本思想是 ： 在所證明的等式中， 先將這個(gè)等式變形并 且把它看成 ( e )=0 ， 如果 ( e )=0成立 ， 則可試作輔助函數(shù) ( )= F ( ) ， 其中 F ( ) 表示 ( )的一個(gè)不含積分常數(shù)的原 函數(shù) 例 9 設(shè) ) 在 口 ， 6 上連續(xù)， 在( 口 ， 6 ) 內(nèi)可導(dǎo)， 0口0 ， F ( 2 )=一2 e0 ， 所以有 F ( 1 ) F ( 2 )0 ， 則存 在 e ( 1 ， 2 ) ， 使得 F ( e )=0 ， 即原式得證 2 6參數(shù)變易法 2 0 維普資訊 參數(shù)變易法是指把要證 明的結(jié)論 中的某個(gè)參數(shù)“ 變易”為變量 ， 從而構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函數(shù)( 如本 文的例 2 、 例 5 ) 2 7 待 定系數(shù)法 此方法是建立在前面幾種方法的基礎(chǔ)上 ， 是較復(fù)雜的方法 ， 構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)， 對(duì)所構(gòu)造的輔助函 數(shù)引入待定系數(shù)后 ， 再根據(jù)題中所要證 明的結(jié)論“ 人為”地構(gòu)造條件， 解出輔助函數(shù) 中的待定 系數(shù) ， 從 而確定 出要求的輔助函數(shù) 例 1 2 設(shè) 尸( ) 在 口 ， b 上存在 ， 且 口c b ， 則 ( 口， b ) ， 使得 鉑+ + = -( 1 ) 一 二 十 _ 二 + = L 證明 ： 令( 1 ) 式的左邊為 k ， 即可證 2 |i=尸( ) 令F ( ) =I ( 2 k 一 尸 ( ) ) d x d x=I ( 2 k x 一 廠 ( ) + a ) d x = k x 一， ( ) +a +J9 ( 其中， a ， J9 為待定常數(shù)) m 脯 二 ： 二 解得 【 a ； |i ( c 一 b 2 ) + ， ( 6 ) 一 ， ( c ) ( 3 ) 由( 2 ) 式和( 3 ) 式解出 k為( 1 ) 式的左邊 ， 由此可見只要選取 a滿足( 2 ) 式或( 3 ) 式 ， 而 19 任意 ， 則 有 F( ) 在 口， c c ， b 上滿足 R o l l e 定理 。 故 。 ( 口， c ) ， 使得 F ( 。 )=0 ； ( c ， b ) ， 使得 F ( )=0 而 F ( ) 在 。 ， ： 上滿足 R o l l e 定理 ， 則 ( 。 ， )c ( a ， b ) ， 使得 ( )=0 以上幾種構(gòu)作輔助函數(shù)的方法是較普遍的幾種方法 ， 在解有關(guān)題 目時(shí) ， 可以靈 活地選擇方法構(gòu)作 輔助函數(shù) 參考文獻(xiàn) 1 歐陽光 中， 姚 允龍 ， 周淵 數(shù) 學(xué)分析 M 上 海： 復(fù)旦 大學(xué) 出版社 ， 2 0 0 3 On t h e A u x i l i a r y F u n c ti o n o f Y g l i n g Qu e s ti o n i n Ma t h e ma ti c a l A n a l y s i s J NG J i n g ， T N Xi na ( i O o p t o f Ma t h ma ti c s&C o mp u t e r S c ie n c e 。C h o n g q in g U n i v e r s i o f Ar t s a n dS c ie n c e s ， Y o n g c h u a n C h o n g q l n g 4 0 2 1 6 8 ，