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第3講 圓的方程基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1圓心在y軸上,半徑為1,且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析:選A.設(shè)圓心為(0,a),則1,解得a2,故圓的方程為x2(y2)21.故選A.2方程|x|1所表示的曲線是()A一個(gè)圓B兩個(gè)圓C半個(gè)圓D兩個(gè)半圓解析:選D.由題意得即或故原方程表示兩個(gè)半圓3(2019金華十校聯(lián)考)已知圓(x2)2(y1)216的一條直徑通過(guò)直線x2y30被圓所截弦的中點(diǎn),則該直徑所在的直線方程為()A3xy50Bx2y0Cx2y40D2xy30解析:選D.直線x2y30的斜率為,已知圓的圓心坐標(biāo)為(2,1),該直徑所在直線的斜率為2,所以該直徑所在的直線方程為y12(x2),即2xy30.故選D.4已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點(diǎn),且圓C與直線xy30相切,則圓C的方程是()A(x1)2y22B(x1)2y28C(x1)2y22D(x1)2y28解析:選A.直線xy10與x軸的交點(diǎn)為即(1,0)根據(jù)題意,圓心為(1,0)因?yàn)閳A與直線xy30相切,所以半徑為圓心到切線的距離,即rd,則圓的方程為(x1)2y22.故選A.5圓x2y22x2y10上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值是()A1B2C1D22解析:選A.將圓的方程化為(x1)2(y1)21,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線xy2的距離d,故圓上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值為d11,選A.6(2019杭州八校聯(lián)考)圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0,b0)對(duì)稱,則的最小值是()A2BC4D解析:選D.由圓x2y22x6y10知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)29,因?yàn)閳Ax2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0,b0)對(duì)稱,所以該直線經(jīng)過(guò)圓心(1,3),即a3b30,所以a3b3(a0,b0)所以(a3b),當(dāng)且僅當(dāng),即ab時(shí)取等號(hào),故選D.7圓C的圓心在x軸上,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),B(1,3), 若M(m,)在圓C內(nèi),則m的取值范圍為_(kāi)解析:設(shè)圓心為C(a,0),由|CA|CB|得(a1)212(a1)232,所以a2.半徑r|CA|.故圓C的方程為(x2)2y210.由題意知(m2)2()210,解得0m0得(2)2(4)24m0,解得m5.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x2y40得x42y;將x42y代入x2y22x4ym0得5y216y8m0,所以y1y2,y1y2.因?yàn)镺MON,所以1,即x1x2y1y20.因?yàn)閤1x2(42y1)(42y2)168(y1y2)4y1y2,所以x1x2y1y2168(y1y2)5y1y20,即(8m)8160,解得m.(3)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,b),則a(x1x2),b(y1y2),半徑r|OC|,所以所求圓的方程為.6已知以點(diǎn)C(tR,t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)B,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求證:OAB的面積為定值;(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OMON,求圓C的方程解:(1)證明:因?yàn)閳AC過(guò)原點(diǎn)O,所以O(shè)C2t2.設(shè)圓C的方程是 (xt)2t2,令x0,得y10,y2;令y0,得x10,x22t,所以SOABOAOB|2t|4,即OAB的面積為定值(2)因?yàn)镺MON,CMCN,因?yàn)镺C垂直平分線段MN.因?yàn)閗MN2,所以kOC.所以t,解得t2或t2.當(dāng)t2時(shí),圓
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