軸向拉伸與壓縮習(xí)題及解答.doc

軸向拉伸與壓縮習(xí)題及解答計(jì)算題1：利用截面法，求圖2. 1所示簡(jiǎn)支梁m m面的內(nèi)力分量。解：（1）將外力F分解為兩個(gè)分量，垂直于梁軸線的分量F,沿梁軸線的分量F.(2)求支座A 的約束反力：=0，=0, L= =(3)切開(kāi)m m，拋去右半部分，右半部分對(duì)左半部分的作用力，合力偶M 代替（圖1.12 ）。 MCEA2L/3mmFyDLxFAy 圖 2.1 圖2.1(a)以左半段為研究對(duì)象，由平衡條件可以得到=0， =（負(fù)號(hào)表示與假設(shè)方向相反）=0， =左半段所有力對(duì)截面m-m德形心C的合力距為零 =0， M=討論 對(duì)平面問(wèn)題，桿件截面上的內(nèi)力分量只有三個(gè)：和截面外法線重合的內(nèi)力稱為軸力，矢量與外法線垂直的力偶距稱為彎矩。這些內(nèi)力分量根據(jù)截面法很容易求得。在材料力學(xué)課程中主要討論平面問(wèn)題。計(jì)算題2：試求題2-2圖所示的各桿1-1和2-2橫截面上的軸力，并作軸力圖。F112F222F112F22F2F1122F2FFa11222Faa圖22解 （a）如圖（a）所示，解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如題2-2圖（）所示。利用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在題2-2圖（）中。作桿左端面的外法線n，將受力圖中各力標(biāo)以正負(fù)號(hào)，凡與外法線指向一致的力標(biāo)以正號(hào)，反之標(biāo)以負(fù)號(hào)，軸力圖是平行于桿軸線的直線。軸力圖在有軸力作用處，要發(fā)生突變，突變量等與該處軸力的數(shù)值，對(duì)于正的外力，軸力圖向上突變，對(duì)于負(fù)的外力，軸力圖向下突變，如題2-2圖（）所示，截面1和截面2上的軸力分別為=和=。2Fn()FF()(FF(b)解題步驟與題2-2（a）相同，桿受力圖和軸力圖如題2-2（）、（）所示。截面1和截面2上的軸力分別為=2，=0。()2FFn2F()2FFF(c)解題步驟與題2-2（a）相同，桿的受力圖和軸力圖如題2-2圖（）和（）所示。截面1上的軸力為=2F,截面2上的軸力為=F。（d）解題步驟與題2-2（a）相同，桿的受力圖和軸力圖如題2-2圖（）和（）所示。截面1上的軸力為=F,截面2上的軸力為=2F。2F()()F3FF2F2F3Fn ()F2F2Fnaaa ()2FF計(jì)算題3：試求題2-3圖（a）所示階梯狀直桿橫截面1-1、2-2和3-3上的軸力并作軸力圖。若橫截面積=200、=300、=400，求各截面上的應(yīng)力。解：如題2-3圖（a）所示。首先解除桿的約束，并代之以約束反力，作受力圖，如題2-3（b）所示。利用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在受力圖中。作桿左端面的外法線n，將受力圖中的各外力標(biāo)以正負(fù)號(hào)：凡指向與外法線方向相同者，標(biāo)以正號(hào)，反只標(biāo)以負(fù)號(hào)，如題2-3圖（b）所示。作軸力圖，軸力圖是與桿軸平行的直線，在有軸向外力作用處，軸力圖要發(fā)生突變，突變量等于對(duì)應(yīng)處外力數(shù)值，對(duì)應(yīng)于正的外力，軸力圖上跳，對(duì)應(yīng)于負(fù)的外力，軸力圖下跌，上調(diào)和下跌量與對(duì)應(yīng)的外力數(shù)值相等，如題2-3圖（c）所示。由周力圖可知，截面1-1上的軸力=20kN,截面2-2上的軸力=10kN ，截面3-3上的軸力=10kN。 20kN10kN10kN20kN10kN20kN10kNnaaa20kN10kN20kN3aaa11223(b)(a)(c)各截面上的應(yīng)力分別為=計(jì)算題4： 三腳架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中，鋼桿BD的直徑，鋼梁CD的橫截面積=。試求：BD與CD橫截面上的正應(yīng)力。xyDBC銷DBC銷銷305解：1、受力分析， 確定各桿的軸力 首先對(duì)組成三腳架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件作受力分析，因?yàn)锽、C、D三處均為銷釘連接，故BD與CD均為二力構(gòu)件，受力圖如圖所示。由平衡方程 和解得二者的軸力分別為其中負(fù)號(hào)表示壓力。2、計(jì)算各桿的應(yīng)力 應(yīng)用拉、壓桿件橫截面上的正應(yīng)力公式，BD桿與CD桿橫截面上的正應(yīng)力分別為BD桿：CD桿：其中負(fù)號(hào)表示壓應(yīng)力。計(jì)算題5： 直桿在上部?jī)蓚?cè)面都受有平行于桿軸線的均勻分布載荷，其集度均為=10kN/m;在自由端D處作用有集中力。一直桿的橫截面面積試求：yAEDCBA（1）A、B、E三個(gè)橫截面上的正應(yīng)力；（2）桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力，并指明其作用位置。解：1 、以豎直向下方向?yàn)檎较?，以整個(gè)桿件為研究對(duì)象，假設(shè)A處受力為拉力，豎直方向受 力平衡： = 60kN 以BD段為研究對(duì)象，假設(shè)B處受力為拉力 =20kN以AE段為研究對(duì)象，假設(shè)E處受力為拉力 2、當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，（負(fù)號(hào)表示壓力） 綜上，當(dāng)時(shí)， 計(jì)算題6：如圖所示結(jié)構(gòu)2-6（a）中，1，2兩桿的橫截面直徑分別為,。橫梁、視為剛體。求兩桿內(nèi)的應(yīng)力。解：桿的支座不受力，也不受力，所以可視為作用于桿的端。取為受力體，受力圖如圖2-6（b）所示。CPBA21m1.5m1m12m2mDBACP(a)(b)圖（2-6） 析 此題屬靜定問(wèn)題，在分析桿CD平衡時(shí)可知點(diǎn)D的支反力，即CD桿完全不受力，僅在P作用于ABC桿時(shí)被其帶動(dòng)繞點(diǎn)D作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。所以只需對(duì)桿ABC作靜立分析即可求解。計(jì)算題7：圖市矩形截面桿，橫截面上的正英里延截面高度線性分布，截面定點(diǎn)各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為，底邊各點(diǎn)處的正應(yīng)力均為零。試問(wèn)桿件橫截面上存在何種內(nèi)力分量，并確定其大小。圖中之C電位截面形心。解：橫截面上只存在正的正應(yīng)力，因此橫截面上的內(nèi)力為拉力F。在xoy平面內(nèi)，正應(yīng)力沿高度線性分布關(guān)系為：（）Czyx10040=20MN計(jì)算題8：題2-8圖（a）所示是一混合屋架結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間的豎向撐桿用角鋼構(gòu)成。已知屋面承受集度為的豎直均布荷載。求拉桿AE和EG橫截面上的應(yīng)力。 q（a） q=20kN/m 解：（1）作受力圖。解除題2-8圖（a）所示屋架結(jié)構(gòu)的約束，代之以支座反力，作受力圖，如題2-8圖（b）所示。 （2）求支座反力。利用靜力學(xué)平衡方程 及q=20kN/m，可得 ，（3）計(jì)算拉桿EG的軸力取半個(gè)屋架為分離體，作受力圖，如題2-8圖）（d）所示。由靜力學(xué)平衡方程 及得（4）計(jì)算拉桿AE的軸力取鉸節(jié)E為研究對(duì)象，作受力圖，如題2-8圖（d）所示。由靜力學(xué)平衡方程及，得（5）計(jì)算拉桿AE和EG橫截面上的應(yīng)力查表得75mm8mm等邊角鋼的橫截面積為，所以拉桿AE和EG橫截面上的應(yīng)力計(jì)算題9： 題2-9圖（a）所示拉桿承受軸向拉力F=10kN，干得橫截面積A=100。如以表示斜截面與橫截面的夾角，試求當(dāng)時(shí)各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，并用圖表示其方向。 解：拉桿橫截面上的正應(yīng)力應(yīng)用斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力公式可得 它們的方向分別表示在題2-9圖（b）、(c)、(d)、(e)、(f)中。計(jì)算題10：一根直桿受力如題2-10圖（a）所示。已知桿的橫截面積A和材料的彈性模量E。試作軸力圖，并求桿端點(diǎn)D的位移。(c)nFFFDBA2F2FFFll/3CB2F2FDFA（a）(b)l/3圖210解： 首先解除約束，代之以約束反力，作受力圖，如題2-10圖（b）所示。利用靜力學(xué)平衡條件確定約束反力的大小和方向，并標(biāo)示在受力圖上。再以桿左端面A的外法線n為標(biāo)準(zhǔn)，將受力圖中各外力標(biāo)以正負(fù)號(hào)，凡與n的指向一致的外力，標(biāo)以 號(hào)，反之標(biāo)以 號(hào)。最后，自左向右作軸力圖，軸力圖是平行于桿軸線的直線，在有外力作用處，軸力圖線發(fā)生突變，突變量等于對(duì)應(yīng)外力的數(shù)值，如題2-10圖（c）所示。根據(jù)軸力圖，應(yīng)用胡克定律，計(jì)算桿端D的位移為計(jì)算題11：一木柱受力如題2-11圖（a）所示。柱的橫截面為邊長(zhǎng)200mm的正方形，材料可認(rèn)為符合胡克定律，其彈性模量E=10GPa。如不記柱的自重 ，試求：（1）作軸力圖；（2）各段柱橫截面上的應(yīng)力；（3）各段柱的縱向線應(yīng)變；（4）柱的總變形。CAn260kN160kN100kNBAC3m1.5mBC160kN100kNA100kN260kNB(a)(b) (c)圖211 解：（1）作軸力圖 解除B處約束，代之以約束反力，應(yīng)用靜力學(xué)平衡條件，確定約束反力的大小和方向，作受力圖，如題2-11圖（b）所示，以截面B的外法線n為標(biāo)準(zhǔn)，將受力圖中各力標(biāo)以正負(fù)號(hào)，凡是和n的指向一致的外力標(biāo)以 號(hào)，反之標(biāo)以 號(hào)，自下向上畫軸力圖。 （2）計(jì)算各段柱橫截面上的應(yīng)力 （3）計(jì)算各段的線應(yīng)變 應(yīng)用胡克定律，各段柱的線應(yīng)變?yōu)?（4）計(jì)算柱的總變形 計(jì)算題12：一根直徑d=16mm、長(zhǎng)l=3m的圓截面桿，承受軸向拉力F=30kN，其伸長(zhǎng)為=2.2mm。試求桿橫截面上的應(yīng)力與材料的彈性模量E。解： 應(yīng)用胡克定律確定材料的彈性模量根據(jù)軸向拉伸的應(yīng)力公式，桿橫截面上的應(yīng)力為計(jì)算題13：圖2.13所示簡(jiǎn)單桁架，若在節(jié)點(diǎn)A作用力F系沿桿2方向，試問(wèn)：（1）1桿、2桿受力若干？（2）A點(diǎn)的位移應(yīng)如何確定?是否沿2桿方向？A解：（1）圖中1桿和2桿均為二力構(gòu)件，對(duì)于桿2，在A處受到沿2桿向外的作用力F與2桿在同一條線上，因此2桿受力就為F，而1桿受力則為0。 （2）桿2位拉壓變形，由胡克定律得：= 如上圖所示，A點(diǎn)位移沿水平方向?yàn)榱?，沿豎直方向不為零且，方向并不沿2桿方向計(jì)算題14：等直鋼桿受均勻拉伸作用，如圖所示，已知鋼彈性模量E=200GPa，鋼的伸長(zhǎng)量為，問(wèn)此桿塑性伸長(zhǎng)量為多少 ？L=300mm解：鋼桿的最終變形可看作彈性變形與塑性變形的疊加變形 在彈性范圍內(nèi)，鋼桿的變形量為： 所以此桿的塑性伸長(zhǎng)量為5.625mm。計(jì)算題15：一板形試件，在其表面沿縱向和橫向粘貼兩片電阻應(yīng)片，用以測(cè)量試件的應(yīng)變 。實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)得，求該試件的E, ，和G三個(gè)材料常數(shù)，試件的尺寸及受力方向如圖所示。4mmFF1130mm解：取桿表面單元體，其受力如圖所示：，代入數(shù)據(jù)得，計(jì)算題16：打入粘土的木樁長(zhǎng)為l，受壓力為P，如圖（a）所示，設(shè)荷載全由摩擦力承擔(dān)，且沿木樁單位長(zhǎng)度內(nèi)的摩擦力f按拋物線變化（k為常數(shù)）。已知P=420kN，l=12m，橫截面積A=640，彈性模量E=10GPa。求常數(shù)k及木樁的壓縮量。(a) FN(y)+dFNFN(y)ydydyofPlfyf(b) 解：確定常數(shù)k。dy為段上的摩擦力dF為dF=fdy則總摩擦力F=P，即 所以 求總的壓縮量：取dy為段木樁，受力圖如圖（b）所示。 由于dy很小，微樁可略去dFN，所以微樁的伸長(zhǎng)量為整個(gè)樁的壓縮量為 析 壓力由全部摩擦力P承擔(dān)，所以總的摩擦力F=P。而F為f的分布曲線所圍面積，以此關(guān)系求出常數(shù)k，求壓縮量時(shí)，由于軸力不是常數(shù)，因此取微樁dy來(lái)考慮，計(jì)算微樁的壓縮量，從面積積分求出全樁的壓縮量 。計(jì)算題17：簡(jiǎn)單桁架如圖（a）所示，三根桿材料相同，E=200GPa，橫截面積都為A=300，P=15kN。求C點(diǎn)的水平及垂直位移。解：（1）先求各桿內(nèi)力 取C點(diǎn)為研究對(duì)象，受力圖如圖（b）所示，求得再取B點(diǎn)為研究對(duì)象，受力圖如圖（c），求得（2）求各桿伸長(zhǎng)量（3）變形圖如圖（d）。AB桿伸長(zhǎng)， AC桿縮短， BC桿縮短，最后C點(diǎn)移至點(diǎn)。 變形關(guān)系：所以 析 在畫變形圖時(shí)，AC桿的點(diǎn)縮到點(diǎn)。BC桿的點(diǎn)縮到點(diǎn)。而桿AB的點(diǎn)水平向右移到點(diǎn)。BC桿本身受力有變形，同時(shí)還隨點(diǎn)B平移。所以點(diǎn)平移到點(diǎn)。然后從點(diǎn)作的垂線，從點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)。點(diǎn)即點(diǎn)的最后位移。通過(guò)幾何關(guān)系求得C點(diǎn)的x和y方向的位移。計(jì)算題18： 如圖所示的桁架，兩桿材料相同，AB桿的橫截面積，AC桿的橫截面積為，彈性模量E=210GPa，鉛錘力P=20kN。求A點(diǎn)的位移。解：作受力分析：由力的平行四邊形法則得： 結(jié)構(gòu)變形圖如圖所示 由幾何關(guān)系得 計(jì)算題19：圖2-19所示，自由懸掛的直桿，長(zhǎng)l，截面面積為A，比重為，彈性模量為E，求其在外力F和自重作用下桿的應(yīng)力和變形 。(a)fxxnmmdxFxFxdxFln(d)(c)(b)(e)圖219解：要求應(yīng)力和變形，首先要用截面法求出軸力，便可求出應(yīng)力，本題中的軸力為x的函數(shù)，變形必須用積分法。（1） 建立坐標(biāo)如圖（a）所示，求x截面的軸力如圖（c）所示作軸力圖如圖（b）所示當(dāng)(2) x截面的應(yīng)力當(dāng)（3）桿件的變形。dx微段的伸長(zhǎng)量，如圖（d）由于dx無(wú)窮小，上下面軸力可認(rèn)為相等，則 桿件的總伸長(zhǎng)量 如果沒(méi)有外力F的作用，桿件在自重作用下的伸長(zhǎng)量為（W為整個(gè)桿件重量，等直桿由于自重引起的伸長(zhǎng)，等于全部重量作用于桿端時(shí)所引起伸長(zhǎng)量的一半 ）。（4）由于自重作用，桿件任意截面（距桿端距離為x時(shí)）的位移=這一位移量，即x截面相對(duì)固定端之間桿件的伸長(zhǎng)量。桿件最下段的位移 ，即為桿件在自重和外力F作用下的伸長(zhǎng)量，如圖（e）。計(jì)算題20：已知階梯形直桿受力如圖所示，（1）畫出其軸力圖；（2）計(jì)算截面桿 AB、BC、CD段橫截面上的正應(yīng)力； （3）若桿件材料的彈性模量E=200GPa；桿各段的橫截面積分別為；桿各段的長(zhǎng)度分別為。試求桿的總伸長(zhǎng)量。（b）（a）200-100400300kN500kNBCDDCD200kN200kN300kN200kN21500kN400mm300mm300mmBAC3D200kNx300kNx解：（1）因?yàn)樵贏、B、C、D四處都有集中力作用，所以AB、BC、CD三段桿的軸力各不相同 。 應(yīng)用截面法，在AB、BC、和CD三段中任意截面處，分別將桿件截開(kāi)，并且假設(shè)截開(kāi)的橫截面上的軸力均為正方向，即為拉力。如圖（a）所示。 然后分別對(duì)截開(kāi)的三部分應(yīng)用平衡方程 即可確定AB、BC、CD段桿橫截面上的軸力分別為于是在坐標(biāo)系可以畫出軸力圖 ，如圖（b）所示。（2）AB段： BC段： CD段：（3）桿各段的軸力不等，且橫截面積也不完全相同 ，因而必須分段計(jì)算各段的變形，然后相加。桿的總伸長(zhǎng)量為計(jì)算題21：在軸向壓縮試件的A及B出分別安裝兩個(gè)杠桿變形儀，放大倍數(shù)各為，標(biāo)距均為s=20mm，受壓后杠桿儀的讀數(shù)增量為，如圖所示，求該材料的泊松比。解： 計(jì)算題22：某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示。是根據(jù)該曲線確定：（1）材料的彈性模量E、比例極限與屈服極限；（2）當(dāng)應(yīng)力增加到時(shí)，材料的正應(yīng)變與塑性應(yīng)變。 4003002001000.0120.00080.0040 解: (1) =348MPa(2)當(dāng)時(shí)， ， 計(jì)算題23： 三角吊架如圖所示，兩桿材料相同，都為塑性材料 ，水平桿的長(zhǎng)度為l，斜桿的長(zhǎng)度隨角的變化而定，設(shè)許用應(yīng)力為。求該結(jié)構(gòu)具有最小重量時(shí)的角。 PlCAB解： 取節(jié)點(diǎn)B為受力體，求得 兩桿材料相同，當(dāng)角為合理值時(shí)，兩桿的應(yīng)力要求同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。這是兩桿的截面面積分別為 所以 同時(shí) 結(jié)構(gòu)體積V為 =若體積為最小，則應(yīng)有 ，得得 計(jì)算題24：有一長(zhǎng)度為300mm的等截面直桿承受軸向拉力F=30kN。已知桿的橫截面積，材料的彈性模量E=210GPa。試求桿中所積蓄的應(yīng)變能。 解：桿中的應(yīng)變能為 計(jì)算題25：結(jié)構(gòu)受力如圖（a）所示，以至各干的材料和橫截面積均相同，面積，材料的彈性模量，屈服極限，強(qiáng)度極限；（1）當(dāng)，1、2、3桿中的線應(yīng)變分別為多少？（2）節(jié)點(diǎn)B的水平位移、豎直位移、總位移為多少？（3）結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度儲(chǔ)備（即安全因素）n為多少？FFxAS1m3BAaa12(a)(b) 解：（1）由平衡條件得 =25kN = (2)點(diǎn)B的垂直位移（見(jiàn)圖（b）為 點(diǎn)A的垂直位移為 斜桿2長(zhǎng)度不變，使節(jié)點(diǎn)A產(chǎn)生水平位移為 m節(jié)點(diǎn)A或B的總位移為（3）結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度儲(chǔ)備： 計(jì)算題26：圖示的桿件結(jié)構(gòu)中1、2桿的橫截面積，3、4桿的橫截面積；1、2桿的許用應(yīng)力，3、4桿的需用應(yīng)力。試求結(jié)構(gòu)的許用荷載。C4BD2C31BA2m3m4m解：分析節(jié)點(diǎn)B、C兩點(diǎn)受力如圖所示：由 ，得，；由 ，得 ；取最小值，即=6kN。計(jì)算題27：簡(jiǎn)易起重設(shè)備簡(jiǎn)圖如圖所示，已知斜桿AB用兩根不等邊角鋼組成，鋼的許用應(yīng)力，試問(wèn)在提起重量為P=15kN的重物時(shí)