希爾伯特空間中的規(guī)范正交系

3 希爾伯特空間中的規(guī)范正交系,一 規(guī)范正交系,主要內(nèi)容,二 傅里葉系數(shù),三 完全規(guī)范正交系,四 Hilbert空間的同構(gòu),一 規(guī)范正交系,其中 ,并且向量的長(zhǎng)度,例1 為 維歐氏空間,則向量集,為 中規(guī)范正交系,其中,例2 在空間 中,定義內(nèi)積為,則三角函數(shù)系,正交系的基本性質(zhì).,(1)對(duì)正交系 中任意有限個(gè)向量 ,有,事實(shí)上,由于 中向量?jī)蓛烧?所以,(2)正交系 是 中線性無(wú)關(guān)子集.,定義2 設(shè) 是賦范線性空間,是 中的一列向量, 是一列數(shù),作級(jí)數(shù),稱 為級(jí)數(shù)(3)的 項(xiàng)部分和,若存在,使 ,則稱級(jí)數(shù)(3)收斂,并稱 為級(jí)數(shù)的和,記為,若 為 中規(guī)范正交系, 是,中有限或可數(shù)個(gè)向量,且 ,則對(duì)每個(gè),自然數(shù) ,由內(nèi)積連續(xù)性,可得,所以,二 傅里葉系數(shù),所以內(nèi)積空間 中向量 關(guān)于規(guī)范正交系,的傅里葉系數(shù)實(shí)際上是數(shù)學(xué)分析中傅里,葉系數(shù)概念的推廣.,傅里葉系數(shù)的性質(zhì),引理1 設(shè) 是內(nèi)積空間, 是 中規(guī)范正,交系,任取 中有限個(gè)向量 ,則有,其中 為任意 個(gè)數(shù).,證明 因?qū)θ我?個(gè)數(shù) ,有,令 ,代入上式即得(1).,另一方面,由上式及結(jié)論(1)又有,由此知(2)成立.,證明 如果 中只有有限個(gè)向量,則由引,理1的(1)立即可得.當(dāng) 可數(shù)時(shí),只要在引理,1的(1)中令 ,則可得(4)式.,(2) 若 ,則 ,故,(3) 對(duì)任何 ,級(jí)數(shù) 收斂.,(2) 前已證明.,證明 因?qū)?,級(jí)數(shù),收斂,所以 .,下面討論一般規(guī)范正交系的Bessel不等式.,的指標(biāo) 至多只有可數(shù)個(gè).,至多為可數(shù)集.,由此可以形式地作級(jí)數(shù),其中和式理解成對(duì)所有使 的指標(biāo),相加,因此Bessel不等式可以寫成,三 完全規(guī)范正交系,定義4 設(shè) 是內(nèi)積空間 中的規(guī)范正交系,如果,則稱 是 中的完全規(guī)范正交系.,完全規(guī)范正交系類似于 維歐式空間中的,標(biāo)準(zhǔn)正交基.,定理3 是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系,的充要條件為對(duì)所有 ,成立Parseval等式.,證明 充分性 設(shè)Parseval等式對(duì)所有,成立,假設(shè) 不完全,由定理2,存在 .,所以對(duì)任何 ,有 ,由于對(duì)該,有Parseval等式,所以 ,即 ,這與 矛盾.,必要性 設(shè) 是 中完全規(guī)范正交系,對(duì)任何 ,設(shè)其非零傅里葉系數(shù)為,由引理2,級(jí)數(shù) 收斂,設(shè)其和為 ,則對(duì)任何正整數(shù) ,有,又對(duì) 中一切使 的向量 ,有,因此 .由 的完全性,得到 ,即 ,所以 ,由此得到,即Parseval等式成立.,所以 ,從而 ,由于 是閉線性子空間,引理3 設(shè) 是內(nèi)積空間 中有限,或可數(shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)向量,則必有 中規(guī)范正交系,使對(duì)任何正整數(shù) ,有,證明 令 ,則 ,且,令 ,因?yàn)?線性無(wú)關(guān),所以 ,且 .,令 ,則 .且 .,顯然, .,如果已作了 ,其中 ,并且兩兩正交,滿足,現(xiàn)令,由 線性無(wú)關(guān),知 ,如此一直作下去,即可得所要的規(guī)范正交系.,是向量 在空間 上的投影.,所以,由 張成的線性