拉格朗日方程-振動(dòng).ppt

分析力學(xué)基礎(chǔ),1 自由度和廣義坐標(biāo),2 虛位移原理,3 動(dòng)能和勢(shì)能,4 DAlembert原理,5 Lagrange方程,6 哈密爾頓原理,自由度 完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度。,1 自由度和廣義坐標(biāo),分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),分析力學(xué) 分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動(dòng)問題的工具。它從能量的觀點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法。,廣義坐標(biāo) 用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)的位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。,一般地，建立振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。,約束 對(duì)質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)所加的限制稱為約束。,質(zhì)點(diǎn)的自由度 質(zhì)點(diǎn)在空間需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時(shí)的位置，因此，它的自由度為3。n個(gè)毫不相干、無任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為3n。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),剛體的自由度 一個(gè)剛體在空間需要6個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時(shí)的位置，因此它的自由度為6。m個(gè)無約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為6m。,振動(dòng)系統(tǒng)的自由度 振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型中若有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)和m個(gè)剛體，那么它的自由度DOF必定滿足下列方程：,DOF = 3 n + 6 m -（約束方程數(shù)）,例 1 圖 (a)中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（b）中質(zhì)量用一根長(zhǎng)度為l，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2.1 自由度和廣義坐標(biāo),這樣，坐標(biāo) x 、 y 和 z 就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo)r 、y 和j 來表示，必須滿足條件 r = l ，只要用y 和j 兩個(gè)坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時(shí)的位置，即廣義坐標(biāo)數(shù)為2，自由度為2。,解 對(duì)圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長(zhǎng)，因此它的約束方程為零，自由度為3。,對(duì)圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長(zhǎng)， 因此在空間的位置必須滿足質(zhì)量離懸掛點(diǎn)的距離保持不變的條件，即滿足下列方程約束方程：,(a) （b）,例 2 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。,設(shè)剛性桿l 1與x軸的夾角為q 1 ，剛性桿l 2與x軸的夾角為q 2 ，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時(shí)的位置， q 1和q 2可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而雙擺的長(zhǎng)度l 1和l 2不變，即,利用自由度DOF計(jì)算的公式，可得到雙擺的自由度為,DOF ,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),完整約束 當(dāng)約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時(shí)，稱為完整約束。顯然，例1和例2的約束都是完整約束。,定常約束 當(dāng)約束方程與時(shí)間t 無關(guān)時(shí)，稱為定常約束。例1和例2的約束都是定常約束。,不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 1 自由度和廣義坐標(biāo),不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,例 3 剛體A通過三個(gè)點(diǎn)放置在xoy 平面上，其中的兩個(gè)接觸點(diǎn)可在平面上作無摩擦自由滑動(dòng)，而P點(diǎn)有一個(gè)刀片，使其只能沿刀片方向移動(dòng)，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。,解 由于剛體A在xoy平面中移動(dòng)，因此需要三個(gè)廣義坐標(biāo)(x, y和q)描述其在任意時(shí)刻的位置。,而剛體A只能沿刀片方向移動(dòng)，因此有約束方程：,自由度數(shù)為2，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,虛位移 所謂非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是指在某一固定時(shí)刻，約束所允許發(fā)生的坐標(biāo)微小改變量。,虛位移只是約束允許的可能位移 ，并不一定是系統(tǒng)的真實(shí)位移。它與時(shí)間t 的變化無關(guān)。,虛位移用d 表示，真實(shí)微小位移用d表示。,虛功 力在虛位移上的元功稱為虛功。,在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)或平衡中處于主導(dǎo)地位。,約束作用于系統(tǒng)的力。,力的分類 作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和主動(dòng)力。,理想約束 在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。,虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是： 作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是： 作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,其中，F(xiàn)i為作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力， dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。,虛位移原理的另一種表述,若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量可以用n個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間t來表示，即：,由于虛位移與時(shí)間無關(guān)，則有：,代入虛功方程，得：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 2 虛位移原理,對(duì)換求和的次序，得：,其中， 為與廣義坐標(biāo)qk 對(duì)應(yīng)的廣義力。,這樣，虛功方程可以寫成：,由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成立時(shí)，有：,虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n 個(gè)自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡的充要條件是n 個(gè)廣義力都等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動(dòng)能和勢(shì)能,動(dòng)能 設(shè)質(zhì)量為m i的質(zhì)點(diǎn)在某位置時(shí)的速度是 ，則質(zhì)點(diǎn)在此位置的動(dòng)能為,其中,若振動(dòng)系統(tǒng)由p個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則系統(tǒng)的動(dòng)能為,當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯含時(shí)間 t 。系統(tǒng)的動(dòng)能可寫成：,改變求和的次序，得：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動(dòng)能和勢(shì)能,或：,其中， 和 為廣義速度， 為廣義質(zhì)量系數(shù)， 。,引入廣義質(zhì)量矩陣 M ，并引入廣義速度列陣 ，則動(dòng)能可表示為,顯然 有m k l = m l k。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)可近似地取其在平衡位置附近泰勒級(jí)數(shù)展開的第一項(xiàng)，即將m k l取為與廣義坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)。,顯然，動(dòng)能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。,勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)力 質(zhì)點(diǎn)從力場(chǎng)中某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑無關(guān)，而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān)，這就是所謂的勢(shì)力場(chǎng)。重力場(chǎng)、萬有引力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為勢(shì)力。,勢(shì)能 所謂勢(shì)能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢(shì)能零點(diǎn)的過程中勢(shì)力所作的功。根據(jù)勢(shì)能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢(shì)能大小與規(guī)定的勢(shì)能零點(diǎn)位置有關(guān)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動(dòng)能和勢(shì)能,勢(shì)能 在線性系統(tǒng)中，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)。可用矩陣形式表示成：,例 4 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。,解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q 1和q 2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢(shì)能零點(diǎn)。,則系統(tǒng)的勢(shì)能為,其中， K 為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對(duì)稱、半正定矩陣。,微振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置附近展開并保留廣義坐標(biāo)的二次項(xiàng)：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動(dòng)能和勢(shì)能,系統(tǒng)的動(dòng)能為,通常，系數(shù) m i j 一般不是常數(shù)，這里m 1 2和m 21是廣義坐標(biāo)的函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，系數(shù) m i j 取其在平衡位置附近泰勒級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)：,則系統(tǒng)的動(dòng)能可寫成,分析力學(xué)基礎(chǔ) 3 動(dòng)能和勢(shì)能,將動(dòng)能和勢(shì)能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 4 DAlembert原理,質(zhì)系DAlembert原理 作用在質(zhì)系上的外力（主動(dòng)力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:,其中，R i 為主動(dòng)力F i和約束反力f i的向量和。,應(yīng)用DAlembert原理可將虛位移原理推廣到動(dòng)力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個(gè)質(zhì)系的虛功，有,在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有,動(dòng)力學(xué)普遍方程 作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動(dòng)力和慣性力任意瞬時(shí)在虛位移上的虛功之和等于零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,Lagrange方程 拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，這組方程以系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：,Lagrange方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法。,式中：L 為L(zhǎng)agrange 函數(shù)，它是系統(tǒng)動(dòng)能V和勢(shì)能U之差， L = V - U 。 而 和 ( i = 1, 2, , n) 是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度； 是耗散函數(shù)，其中c i j為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)q j方向有單位廣義速度時(shí)，在廣義坐標(biāo)q i方向產(chǎn)生的阻尼力； Q i 是在廣義坐標(biāo)方向q i的廣義力， ，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和 分別是對(duì)廣義坐標(biāo)和對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， 是對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5 右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量m 1及剛性桿l 2和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)微分方程。,解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q 1和q 2為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢(shì)能零點(diǎn)。,由例4，系統(tǒng)的勢(shì)能與動(dòng)能分別為：,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只要把前面得到的項(xiàng)代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 5,寫成矩陣的形式,一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,例 6 圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿水平方向移動(dòng)，一擺長(zhǎng)為質(zhì)量為l 的單擺在O點(diǎn)與質(zhì)量M 鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動(dòng)的方程。,質(zhì)量 M 的速度：,質(zhì)量m的速度：,系統(tǒng)的動(dòng)能,系統(tǒng)的勢(shì)能,Lagrange函數(shù),耗散函數(shù),其他非保守力所做的功,解 建立廣義坐標(biāo)x和，坐標(biāo)x 的原點(diǎn)在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正 。 為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針方向?yàn)檎瑪[桿處于鉛垂位置時(shí)為零。 系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為零。,分析力學(xué)基礎(chǔ) 5 Lagrange方程,對(duì)廣義坐標(biāo)分別運(yùn)用lagrange方程得,當(dāng)很小時(shí)，有,對(duì)方程線性化,分析力學(xué)哈密爾頓原理,哈密爾頓原理是分析力學(xué)中的一個(gè)基本的變分原理，它提供了一條從一切可能發(fā)生的(約束所許可的)運(yùn)動(dòng)中判斷真正的(實(shí)際發(fā)生的)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則。,哈密爾頓原理 在任何時(shí)間區(qū)段中，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)能、變形能、阻尼力和外力所作功的一次變分為零時(shí)，所得到的才是真實(shí)的運(yùn)動(dòng)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,對(duì)保守系統(tǒng)，哈密爾頓原理的表達(dá)式可簡(jiǎn)化