1數(shù)學(xué)課件 5_第十五章_數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

第十五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入知識(shí)網(wǎng)絡(luò)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算第1講 復(fù)數(shù)的的概念 知 識(shí) 梳理 1復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.3復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)4復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：5兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說，如果，那么, 6復(fù)數(shù)的模：設(shè)=,則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值），記作.(1)；(2)=；(3)；7共扼復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共扼復(fù)數(shù). 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等)2.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的應(yīng)用3.重難點(diǎn)：.(1) 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別.問題1: 判斷下列命題是否正確 (1)若, 則 (2)若且，則 (3)若，則 點(diǎn)撥：(1)認(rèn)為任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于零可推廣到復(fù)數(shù)中，從而(1)是正確的 (2)認(rèn)為兩實(shí)數(shù)之差大于零等價(jià)于前一個(gè)大于后一個(gè)實(shí)數(shù)，也可推到復(fù)數(shù)中來.認(rèn)為兩復(fù)數(shù)差為實(shí)數(shù)則這兩個(gè)復(fù)數(shù)也為實(shí)數(shù).而認(rèn)為命題(2)是正確的. (3)把不等式性質(zhì)錯(cuò)誤的推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件. 正解：(1)錯(cuò)，反例設(shè)則 (2)錯(cuò)，反例設(shè)，滿足，但不能比較大小. (3)錯(cuò)，故，都是虛數(shù)，不能比較大小.（2）正確理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念問題2: 兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的差是（ ）.實(shí)數(shù) .純虛數(shù) .零 .零或純虛數(shù)點(diǎn)撥:當(dāng)?shù)玫綍r(shí)就錯(cuò)誤的選B，忽略了b可以為零的條件.正解：設(shè)互為共扼的兩復(fù)數(shù)分別為及則 或當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)當(dāng)時(shí)，因此應(yīng)選D. 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念題型1.考查基本概念例1 (廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)下面四個(gè)命題(1) 比大(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)(3) 的充要條件為(4)如果讓實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)，其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）A B C D 解題思路：抓住基本概念，以概念為辨析的依據(jù)。解析：答案：A (1) 比大，實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大?。唬?）兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但是兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù)； （3）的充要條件為是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆]有表明是否是實(shí)數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，沒有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng) 例2 實(shí)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).解題思路：正確理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念要特別注意復(fù)數(shù)za+bi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0解析：實(shí)部，虛部.（1）當(dāng) 時(shí)，是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng) ，且 時(shí)，是虛數(shù)；（3） 當(dāng) 或 時(shí)是純虛數(shù)【名師指引】解決與復(fù)數(shù)基本概念相關(guān)問題的基本思想是：利用復(fù)數(shù)的概念，聯(lián)系以前學(xué)過的實(shí)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)復(fù)數(shù)的知識(shí)要有較完整的認(rèn)識(shí)，以及能利用轉(zhuǎn)化的思想將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題 【新題導(dǎo)練】1(廣東省惠州市2008屆高三第三次調(diào)研考試)如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（ ）.A2B1C2D1或 2 解析： 即 ，故選擇答案A2(湖南省雅禮中學(xué)2008年高三年級(jí)第六次月考)計(jì)算： （表示虛數(shù)單位）答案：952i解析：用好的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 題型2。與模相關(guān)的問題 例3 (廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=（ ）A B C D 解題思路：解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件；解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；解法3考慮選擇題的特點(diǎn)解析： ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實(shí)部，虛部均為正數(shù)，因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部，虛部也必須為正，故選擇B【名師指引】要認(rèn)真審題，看清題設(shè)條件，結(jié)論. 學(xué)會(huì)全面辯證的思考問題，準(zhǔn)確記憶有關(guān)概念及性質(zhì).【新題導(dǎo)練】3. (廣東北江中學(xué)業(yè)2008屆高三統(tǒng)測(cè))設(shè)復(fù)數(shù)滿足,且是純虛數(shù),求 解析：設(shè)，由得；是純虛數(shù)，則，4復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，則z1=z2的充要條件是_.答案：a=c且b2=d2解析：z1=z2a=c且b2=d2. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1 (四川省樂山市2008屆第二次調(diào)研考試)復(fù)數(shù)的虛部為( )A B C D 答案：D ，虛部為2 (北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí))使復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充分而不必要條件是由 ( )A B C 為實(shí)數(shù) D 為實(shí)數(shù)答案：B ；，反之不行，例如；為實(shí)數(shù)不能推出 ，例如；對(duì)于任何，都是實(shí)數(shù)3 (東北三校2008年高三聯(lián)考)設(shè)則的關(guān)系是( )A B C D 無法確定答案：A 4 (廣東省五校2008年高三期末聯(lián)考) 已知集合的元素個(gè)數(shù)是( )A B C D 無數(shù)個(gè)答案：B 5(廣東省揭陽市2008年第一次模擬考試)設(shè)i為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項(xiàng)為A B C 30 D 解析：在展開式中，故選D.6(上海市部分重點(diǎn)中學(xué)2008屆高三第二次聯(lián)考)若，其中是虛數(shù)單位，則ab_答案：3綜合拔高訓(xùn)練7如果是虛數(shù)，則中是虛數(shù)的有 個(gè)，是實(shí)數(shù)的有 個(gè)，相等的有 組 答案： 四個(gè)為虛數(shù)；五個(gè)為實(shí)數(shù)；三組相等8(吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三年級(jí)第五次模擬考試)計(jì)算 答案： 記 9（成都四中2008高三數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z1滿足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i為虛數(shù)單位,aR, 若,求a的取值范圍.解: 由題意得 z1=2+3i,于是=,=.,得a28a+70, 解得1a7.10已知復(fù)數(shù)滿足: 求的值 解：設(shè)，而即則第2講 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 知 識(shí) 梳理 1復(fù)數(shù)與的和的定義：2復(fù)數(shù)與的差的定義：3乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)，(、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積4復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者則 5復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義復(fù)數(shù) 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)是連接向量、的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).6. 重要結(jié)論對(duì)復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)設(shè)， 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及應(yīng)用2.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)相關(guān)問題的綜合應(yīng)用3.重難點(diǎn)：.(1) 不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來問題1: 判斷下面的命題(1)；(2)；(3)；(4)；(5)解析：當(dāng)時(shí)，不總是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)點(diǎn)撥：充分注意實(shí)數(shù)運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別。（2）沒有掌握虛數(shù)單位整數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果的周期性問題2：求值：原式=點(diǎn)撥：虛數(shù)單位整數(shù)冪的值具有以4為周期的特點(diǎn)，根據(jù)必須按被4整除余數(shù)為0、1、2、3四種情況進(jìn)行分類討論.（3）注意運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)問題3: 已知，求的值點(diǎn)撥：對(duì)于，是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì). 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算題型1. 利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算求值例1 （廣東北江中學(xué)2008屆數(shù)學(xué)專題） ( )ABCD解題思路：運(yùn)用公式，按步求解 解析：， 故選C 例2 (江蘇省南通市2008屆高三調(diào)研考試)設(shè)=+i,A=x|x=k+k,kZ,則集合A中的元素有A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解題思路：用的性質(zhì)。解析：設(shè)=+i,則3k=1,3k+1=,3k+2=(kZ),當(dāng)k=3n,nZ時(shí)，x=1+1=2;當(dāng)k=3n+1,nZ時(shí)，x=+=+2=+=1;當(dāng)k=3n+2,nZ時(shí)，x=2+=2+=1 答案: B【名師指引】熟記一些常用結(jié)論有利于簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速解題。【新題導(dǎo)練】1（廣東省佛山市2008年高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)一）（ ）ABCD 答案：C2(黃家中學(xué)高08級(jí)月考)求復(fù)數(shù)（ ）（A） （B） （C） （D）【解】： 故選C；考點(diǎn)二: 復(fù)數(shù)加減法幾何意義的應(yīng)用題型1: 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義例3 (廣東省汕頭市潮陽一中2008年高三模擬)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解題思路：，解析：B 例4 滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓解題思路：如果把看作動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)（0，2）的距離，由上式表示到兩個(gè)定點(diǎn)（0，2）與（-1，0）的距離之和為常數(shù) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合橢圓的定義，但是，有一定的前提的就是兩點(diǎn)間的距離小于定常數(shù).解析：點(diǎn)（0，2）與（-1，0）間的距離為， 動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)（0，-2）與（-1，0）之間，選C【名師指引】理解復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)加減法及復(fù)數(shù)模的幾何意義，熟記一些常用曲線的復(fù)數(shù)表示。【新題導(dǎo)練】1(廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案：A2(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)滿足條件|z-i|=|3+4i|復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是( )A 一條直線 B 兩條直線 C 圓 D 橢圓答案： |3+4i|=5滿足條件|z-i|=|3+4i|復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓心為（0，1），半徑為5的圓。故選C 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. (廣東省廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國語學(xué)校三校期末聯(lián)考)若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A、-6 B、13 C. D. 答案：A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. (安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限； B第二象限； C第三象限； D第四象限；答案：A3(廣東省揭陽市2008年高中畢業(yè)班高考調(diào)研測(cè)試)若（i為虛數(shù)單位），則使的值可能是（ ）A0 B C D答案：將各選項(xiàng)代入檢驗(yàn)易得答案選B.4(廣東省韶關(guān)市2008屆高三第一次調(diào)研考試)已知復(fù)數(shù)，則（ ）A BC D 答案：C5(山東省濟(jì)南市2008年2月高三統(tǒng)考)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A B C D答案：B6(湖北省鄂州市2008年高考模擬)虛數(shù)（x2）+ y其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí)，的取值范圍是（ ） A， B（C， D，0（0，答案：B , 設(shè)k =,則k為過圓（x2）2 + y2 = 1上點(diǎn)及原點(diǎn)82615205的直線斜率，作圖如下, k, 又y0 ,k0.由對(duì)稱性 選B綜合拔高訓(xùn)練7(廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)復(fù)數(shù)的虛部是 。答案：8（安徽省涇縣中學(xué)2008高三數(shù)學(xué)單元檢測(cè)）復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z=xi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_.解:z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z(x,)都在單位圓內(nèi)， |Oz|1,即1.x2+1.x20,aR),復(fù)數(shù)=z(z+i)的虛部減去它的實(shí)部所得的差是，求復(fù)數(shù).解:把z=代入,得=(+i)=()=(1+ai).于是a，即a2=4.a0,a=2,=+3i.第十七章 綜合檢測(cè)一、選擇題（第小題5分，共40分）11.已知z1=2i,z2=1+3i，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A.1B.1C.iD.i答案: C解：=i. 2(1i)2i等于（ ）A.22iB.2+2iC.2D.2答案:D解:(1i)2i=(12i+i2)i=(12i1)i=2ii=(2)(1)=2. 3復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=1i，則z=z1z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案: D解:z1z2=(3+i)(1i)=42i. 4已知復(fù)數(shù)z與(z+2)28i均是純虛數(shù),則z等于（ ）A.2i B.2iC.iD.i答案:B解:設(shè)z=bi(bR且b0),則(z+2)28i=(bi+2)28i=b2i2+4bi+48i=(4b2)+(4b8)i. b=2.z=2i. 5定義：.若復(fù)數(shù)滿足，則等于A. B. C. D.答案：A6，若 則的值是（ ）A2i B C D答案：A7設(shè)復(fù)數(shù)，則展開式的第五項(xiàng)是（ ） A-2i B-21i C35 D-35i答案：C8設(shè)f(n)=()n+()n,nN,如果Af(n),則滿足條件的集合A有（ ）A.8個(gè)B.7個(gè)C.3個(gè)D.無窮多個(gè) 答案: A 解:f(n)=( )n+()n=in+(i)n(nN)=f(n)=0,2,2.Af(n)=0,2,2,A的個(gè)數(shù)是23=8. 二、填空題（第小題5分，共30分，其中1315是選做題，選做兩題）9的值等于_.解: =2+3i.10若，其中是虛數(shù)單位，則ab_答案：3 提示：利用復(fù)數(shù)相等可得。11已知復(fù)數(shù)z = (1 i)(2 i)，則| z |的值是 答案：12已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，（為虛數(shù)單位），則的最小值是 答案： 提示：幾何意義是可行域上的點(diǎn)到定點(diǎn)（1，-2）的距離的最小值。13（選做題）設(shè)z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x-2y+1=0上, 則m的值是 .解析: 設(shè)z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x-2y+1=0上, 則log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0故2（m2-3m-3）=(m-3)2 m=或m=-（不適合）14（選做題）若a0, 且z|z|+az+i=0, 則復(fù)數(shù)z = 解析: 若a0, 且z|z|+az+i=0, 則z(|z|+a)+i=0, |z|+a0,故 z為純虛數(shù)，設(shè)z = yi (y , 則 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0y = z =15（選做題）若tR, t-1, t0時(shí),復(fù)數(shù)z =的模的取值范圍是 .解析: 若tR, t-1, t0時(shí),復(fù)數(shù)z =的模為|z| 則|z|2=故z的模的取值范圍是三、解答題（共80分）16（本題滿分13分）已知復(fù)數(shù)(2k23k2)+(k2k)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，即12分k的取值范圍為(，0)(1，2). 13分17（本題滿分13分）已知集合A=z|z-2|2，B=|z|z=z1i+b，z1A，bR（1）若AB=，求b的取值范圍；（2）若AB=B，求b的值解：由B中元素z=z1i+b，得z1=-i(2z-2b)，z1A，|z-2|=|-i(2a-2b)-2|2