(考試資料下載)微分幾何教案（八）曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率

微分幾何教案（十六） 3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率一 主曲率 定義曲面上一點(diǎn)處主方向上的法曲率稱為曲面在該點(diǎn)的主曲率。 因曲面在一點(diǎn)處的主方向是過此點(diǎn)的曲率線的方向，故主曲率即曲面在一點(diǎn)處沿曲率線方向的法曲率。二 歐拉公式 結(jié)論：取曲面上的曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，設(shè)沿u-線的主曲率為，沿v-線的主曲率為,曲面上任意方向(d)=du:dv與曲線的夾角為,則沿（d）的法曲率滿足 . 這個(gè)公式叫做歐拉公式。證明 因?yàn)榍y坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)，所以F= M =0,所以對(duì)曲面上任意方向(d)=du:dv,與其對(duì)應(yīng)的法曲率 . 沿u-線（）的法曲率為主曲率,沿v-線（）的法曲率為主曲率.因?yàn)?d)=du:dv與u-線的夾角是,所以,所以, ,所以三 主曲率的性質(zhì) 命題6 曲面上（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率中的最大值和最小值。證明 設(shè) (如果,可以交換坐標(biāo)u和v）由歐拉公式知： ,于是,所以,同樣可得，所以,故,這就是說，曲率分別是法曲率 中的最大值和最小值。四 主曲率的計(jì)算公式結(jié)論 設(shè)(d)=du:dv為曲面S: 在 P點(diǎn)處的主方向，沿主方向的主曲率為，則的計(jì)算公式是 即。 注：要求主曲率，只需求出兩類基本量，然后由這個(gè)二次方程解出主曲率即可。證明 由Rodrigues定理，為主曲率，即即有非零解du:dv 即五 高斯曲率、平均曲率定義 設(shè)為曲面上一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，則它們的乘積 叫做曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，記為K, 即; 它們的平均數(shù)稱為曲面在這一點(diǎn)的平均曲率，記為 H，即。由主曲率的計(jì)算公式和韋達(dá)定理可知高斯曲率、平均曲率的計(jì)算公式是：高斯曲率，平均曲率。 注：由定義和前面的計(jì)算可知半徑為R的球面的高斯曲率為K=,平均曲率為或 。例 求旋轉(zhuǎn)曲面，（）的高斯曲率和平均曲率。， 。解 高斯曲率：，平均曲率： 。 特別,若旋轉(zhuǎn)曲面是xoz平面上的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成,則，這時(shí)，所以， 高斯曲率：，平均曲率： 。六 極小曲面 定義 一個(gè)曲面如果它每一點(diǎn)處的平均曲率都為零，則稱該曲面為極小曲面。極小曲面的實(shí)際模型是：將在空間彎曲的鉛絲侵入肥皂溶液中，取出時(shí)所得的皂膜曲面。由習(xí)題3可知，正螺面為極小直紋面；下面的例子說明，懸鏈面是極小旋轉(zhuǎn)曲面。例 求極小旋轉(zhuǎn)曲面解 在上例中令得，所以 ，所以， 所以 ，積分后得：是懸鏈