(考試資料下載)偏微分方程數(shù)值解法(2)

第十章 偏微分方程數(shù)值解法3 拋物型方程的差分解法拋物方程的最簡單的是一維熱傳導方程：（10.35）它的定解條件主要有以下兩類：（）初值問題：（或稱柯西Caucy問題） (10.36)（）邊值問題（或稱混合問題） （10.37）求（10.35）滿足（）或（）的解.（1） 矩形網(wǎng)格用兩組平行直線族xj = jh，tk = kt (j = 0, 1, , k = 0, 1, )構成的矩形網(wǎng)覆蓋了整個x t平面，網(wǎng)格點（xj, tk）稱為節(jié)點，簡記為（j, k），h、t 為常數(shù)，分別稱為空間長及時間步長，（或h稱沿x方向的步長，t 稱為沿t方向的步長）。在t = 0上的節(jié)點稱為邊界節(jié)點，其余所有屬于-x +, 0 t T 內的節(jié)點稱為內部節(jié)點。（2）古典差分格式：于平面區(qū)域上考慮熱傳導方程于節(jié)點（）處微商與差商之間有如下近似關系：利用上述表達式得到u在（）處的關系式 （10.38）當u滿足方程式（10.35）時，由（10.38）看出（10.35）在（）點可以用下列方程近似地代替：（10.39）式中視為的近似值。差分方程（10.39）稱為解熱傳導方程（10.35）的古典顯格式，它所用到的節(jié)點圖式如下圖：圖 10.5將（10.39）寫成便于計算的形式（10.40）稱為網(wǎng)比，利用（10.40）及初邊值條件（10.37），在網(wǎng)格上的值（10.41）即可依次算出k = 1, 2, ，各層上的值。從（10.38）若u (x, t)為方程式（10.35）的解，則差分方程（10.39）的截斷誤差階為。這個誤差的大小將直接影響差分方程解的誤差為了提高截斷誤差的階，可以得用中心差商：仿古典顯格式的討論，得到如下差分格式：（10.42）它稱為Richardson格式，其節(jié)點圖為： 圖 10.6截斷誤差階為，較古典顯格式高。將（10.42）式改寫成適于計算的形式：(10.43)為網(wǎng)比，由于在（10.43）中出現(xiàn)了三層網(wǎng)格上的值，故需要先求得第一層網(wǎng)格上的值，才能逐層計算。如果利用向后差商則導出另一差分格式(10.44)或者 （10.45）它稱為古典隱格式，其節(jié)點圖為： 圖 10.7截斷誤差階為，與古典顯格式相同。我們已經構造出三種差分格式，還可以造出其它格式，它們從形式上看都是可以計算的。那么，這些格式是否可用？哪一種格式更好些？為此必須回答下述問題：（）當步長無限縮小時，差分方程的解是否逼近于微分方程的解？（）計算過程中產生的誤差，在以后的計算中是無限增加？還是可以控制？(穩(wěn)定性)在適當條件下，從穩(wěn)定性可以推出收斂性，因此，穩(wěn)定性問題是研究拋物型差分方程的一個中心課題。作為例子，現(xiàn)在考查Richardson格式的穩(wěn)定性。用表示計算所產生的誤差，如果右端無誤差存在，則滿足 取r = 1/2，則（10.46）假設k 1層之前無誤差存在，即，而在第k層產生了誤差，這一層其它點也無誤差，而且在計算過程中不再產生新的誤差，利用（10.46）式算出誤差e 的傳播如下表：表10.5 r = 1/2 時，Richardson格式的誤差傳播 JkJ0 - 4J0 - 3J0 - 2J0 - 1J0J0 + 1J0 + 2J0 + 3J0 + 4k ek + 1e-2eek + 2e-4e7e-4eek + 3e-6e17e-24e17e-6eek + 4e-8e31e-68e89e-68e31e-8eek + 5-10e49e-144e273e-388e273e-144e49e-10ek + 671e-260e641e-1096e1311e-1096e641e-260e71e從表中看出，誤差在迅速增加，因此，這種差分格式是不能使用的。如果選用r = 1/2時的古典顯格式，此時誤差方程為：r = 1/2時 （10.47）此時，誤差將逐漸衰減，計算結果列入表10.6。 JkJ0 - 4J0 - 3J0 - 2J0 - 1J0J0 + 1J0 + 2J0 + 3J0 + 4k ek + 10.5e00.5ek + 20.25e00.5e00.25ek + 30.125e00.375e00.375e00.125ek + 40.0625e00.25e00.375e0e0.25e00.0625e對于古典顯格式，若選用r = 1，則誤差方程為誤差傳播圖如表10.7： JkJ0 - 5J0 - 4J0 - 3J0 - 2J0 - 1J0J0 + 1J0 + 2J0 + 3J0 + 4J0 + 5k ek + 1e-eek + 2e-e3e-2eek + 3e-3e6e-7e6e-3eek + 4e-4e10e-16e19e-16e10e-4eek + 5e-5e15e-30e45e-51e45e-30e15e-5ee經過分析看出，穩(wěn)定性問題不僅與差分格式有關，而且還與網(wǎng)比有關。如果適當?shù)剡x取時間步長和空間步長，才能使格式穩(wěn)定，這種格式的穩(wěn)定是有條件的，此種穩(wěn)定稱為條件穩(wěn)定；若格式對任何步長之比都穩(wěn)定，此種穩(wěn)定稱為無條件穩(wěn)定或絕對穩(wěn)定；若格式對任何網(wǎng)比都不穩(wěn)定，就稱為完全不穩(wěn)定或絕對不穩(wěn)定。穩(wěn)定性的概念：差分格式關于初始值穩(wěn)定的實際含義是，如果其解在某一層存在誤差，則由它引起的以后各層上的誤差不超過原始誤差的M倍，（M為與t無關的長數(shù)），因此，只要初始誤差足夠小，以后各層的誤差也足夠小。下面我們給出一個討論穩(wěn)定性的常用富里埃（Fourier）方法，簡稱富氏方法，我們首先以（10.40）為例，說明富氏方法分析穩(wěn)定的過程和方法，與（10.40）為相應的誤差方程為：(10.48)我們把初始誤差表示成一個簡諧波的形式：（10.49）式中，n是頻率參數(shù)，試定形如（10.50）的解，這實際上是假定的振幅為G k，頻率為n的諧波。將（10.50）代入（10.48）得兩邊消去共同因子G k einjh 得 （10.51）這是因為。（10.51）是差分方程（10.40）的特征方程，從（10.51）容易容易出（10.52）這里G叫做增長因子（或叫做傳播因子），因為從（10.50）可以看到，當時，誤差隨著k作指數(shù)增長，當時，則誤差不增長。由于初始誤差可以表為不同頻率的諧波的迭加，并且由于計算中舍入誤差的隨機性，應該認為所有n的頻率組成部分都是可能出現(xiàn)的，因此數(shù)值穩(wěn)定條件是：，對一切n (10.53)從(10.52)看，要對一切n都成立，必要充分條件是或（10.54）這說明（10.40）是條件穩(wěn)定的，當時間步長t和空間步長h滿足不不式（10.54）時為穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。從上面的討論過程可以看出，用富氏方法討論穩(wěn)定性有這樣幾個主要步驟：（1）首先假定誤差是具有諧波形式的；（2）然后代入差分方程的相應誤差方程，得到相應的特征方程；（3）第三是求出特征方程的增長因子；（4）最后判定增長因子是否小于等于1，增長因子小于等于1是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，使增長因子小于等于1的條件，就是穩(wěn)定條件。隱格式