角函數(shù)的圖象與性質(zhì)要點梳理五點法作圖原理.ppt

4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 要點梳理 1.“五點法”作圖原理:在確定正弦函數(shù)y=sin x 在0，2 上的圖象形狀時,起關(guān)鍵作用的五 個點是 、 、 、 、 .余弦函數(shù)呢？,(0,0),基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì):,函,數(shù),性,質(zhì),-1,1,-1,1,R,R,(kZ),；,；,；,；,奇,奇,偶,3.一般地對于函數(shù)f（x）,如果存在一個不為0的常 數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有 f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期 函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，把所有 周期中存在的最小正數(shù),叫做最小正周期(函數(shù) 的周期一般指最小正周期).函數(shù)y=Asin( x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ 0且為常數(shù)）的周 期 函數(shù)y=Atan( x+ )( 0)的周期,基礎(chǔ)自測 1.函數(shù)y=1-2sin xcos x的最小正周期為（ ） 解析,B,2.設(shè)點P是函數(shù)f(x)=sin x ( 0)的圖象C的 一個對稱中心,若點P到圖象C的對稱軸的距離的 最小值是 則f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函數(shù)的圖象知對稱中心與對稱軸 的距離的最小值為最小正周期的 故f（x）的 最小正周期為T=,B,3.函數(shù)y=sin 的圖象（ ） A.關(guān)于點 對稱 B.關(guān)于直線 對稱 C.關(guān)于點 對稱 D.關(guān)于直線 對稱 解析 驗證法：,A,4.在下列函數(shù)中,同時滿足以下三個條件的是( ) 在 上遞減； 以 為周期； 是奇函數(shù). A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期為 ，故A錯. y=cos x為偶函數(shù)，故B錯. y=sin xcos x= sin 2x的周期為 ，故D錯. y=-sin x的周期為2 ,是奇函數(shù)，由圖象知 在 上是遞減函數(shù)，故C正確.,C,5.（2009四川文，4）已知函數(shù)f(x)=sin (xR)，下面結(jié)論錯誤的是（ ） A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱 D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 解析 A正確; 由圖象知y=-cos x關(guān)于直線x=0對稱，C正確. y=-cos x是偶函數(shù)，D錯誤.,D,題型一 與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域 求下列函數(shù)的定義域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= 本題求函數(shù)的定義域:(1)需注意對數(shù) 的真數(shù)大于零，然后利用弦函數(shù)的圖象求解； (2)需注意偶次根式的被開方數(shù)大于或等于零， 然后利用函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線求解. 解 (1)要使函數(shù)有意義,必須使sin(cos x)0. -1cos x1,0cos x1.,題型分類 深度剖析,方法一 利用余弦函數(shù)的簡圖得知定 義域為 方法二 利用單位圓中的余弦線OM,依題意 知0OM1, OM只能在x軸的正半軸上， 其定義域為 （2）要使函數(shù)有意義，必須使sin x-cos x0.,方法一 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出 0,2 上y=sin x和y=cos x的圖象,如圖所示. 在0，2 內(nèi)，滿足sin x=cos x的x為 再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2 , 所以定義域為,方法二 利用三角函數(shù)線，如圖MN為正弦線， OM為余弦線， 要使sin xcos x,即MNOM，,方法三,(1)對于含有三角函數(shù)式的(復(fù)合)函數(shù) 的定義域，仍然是使解析式有意義即可. (2)求三角函數(shù)的定義域常常歸結(jié)為解三角不等 式(或等式). (3)求三角函數(shù)的定義域經(jīng)常借助兩個工具，即單 位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖象，有時也 利用數(shù)軸.,知能遷移1 求下列函數(shù)的定義域：,解 (1)要使函數(shù)有意義,必須有,可利用單位圓中三角函數(shù)線直觀地求得上述不等式組的解集，如圖所示：,題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性,（1）化為 再求單調(diào)區(qū)間;,(2)先化為 ,再求單調(diào)區(qū)間.,解,(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acos( x + ) (其中A0, 0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通 過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是: 把“ x+ ( 0)”視為一個“整體”；A0(A0)時，所列不等式的方向與y=sin x(xR), y=cos x(xR)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相 同（反）. （2）對于y=Atan( x+ ) (A、 、 為常數(shù)),其 周期 單調(diào)區(qū)間利用 解出x的取值范圍,即為其單調(diào)區(qū)間.對于復(fù)合函 數(shù)y=f(v),v= (x)，其單調(diào)性判定方法是:若y=f(v) 和v= (x)同為增（減）函數(shù)時，y=f( (x)為增 函數(shù)；若y=f(v)和v= (x)一增一減時，y=f( (x) 為減函數(shù).,知能遷移2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間. 解 方法一,方法二,題型三 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性 已知f(x)=sin x+ cos x（xR），函數(shù) y=f(x+ )的圖象關(guān)于直線x=0對稱，則 的值可以 是 （ ） 先求出f(x+ )的函數(shù)表達式. f(x+ )關(guān)于x=0對稱，即f(x+ )為偶函數(shù).,解析,答案 D,f(x)=Asin( x+ )若為偶函數(shù),則當(dāng)x= 0時，f(x)取得最大或最小值. 若f(x)=Asin( x+ )為奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時，f(x)=0. 如果求f(x)的對稱軸,只需令 x+ = 求x. 如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)， 只需令 x+ =k 即可.,知能遷移3 使奇函數(shù)f(x)=sin(2x+ )+ cos(2x+ ) 在 上為減函數(shù)的 的值為 ( ) 解析,D,題型四 三角函數(shù)的值域及最值 (12分)已知函數(shù)f(x)=2asin 的定義域為 函數(shù)的最大值為1,最小值為 -5,求a和b的值.,求出2x- 的范圍,a0時，利用最值求a、b,a0時，利用最值求a、b,解,3分,7分,11分,12分,解決此類問題,首先利用正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acos（ x+ ）的最值,再由方程的思想解決問 題. 知能遷移4 （2009江西理，4）若函數(shù)f(x) =(1+ tan x)cos x,0x ,則f(x)的最大 值為（ ） A.1 B.2 C. D. 解析,B,方法與技巧 1.利用函數(shù)的有界性(-1sin x1,-1cos x1), 求三角函數(shù)的值域（最值）. 2.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值. 3.利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù) 的正負(fù)號). 4.正余弦函數(shù)的線性關(guān)系式都可以轉(zhuǎn)化為f(x)= asin x+bcos x= 特別注意把,思想方法 感悟提高,5.注意sin x+cos x與cos xsin x的聯(lián)系,令t= sin x+cos x (- t )時, 失誤與防范 1.閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基 礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論 參數(shù)對最值的影響. 2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先把函數(shù)式化成 形如y=Asin（ x+ ）（ 0）的形式，再根 據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出x所在的區(qū)間. 應(yīng)特別注意，考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考 慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同：,3.利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)有 界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|1), 則y=(t-2)2+11,解法錯誤.,一、選擇題 1.（2009福建理，1）函數(shù)f(x)=sin xcos x的最 小值是（ ） 解析 f(x)=sin xcos x=,B,定時檢測,2.(2009全國理,8)如果函數(shù)y=3cos(2x+ )的 圖象關(guān)于點 中心對稱,那么|的最小值 為（ ） 解析 由y=3cos(2x+)的圖象關(guān)于點,A,3.已知函數(shù) 在區(qū)間0，t上至少取得2次最 大值，則正整數(shù)t的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析,C,4.已知在函數(shù)f(x)= 圖象上,相鄰的一個最大 值點與一個最小值點恰好在x2+y2=R2上,則f（x）的 最小正周期為 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 x2+y2=R2，x-R，R. 函數(shù)f（x）的最小正周期為2R，,D,5.（2009浙江理，8）已知a是實數(shù),則函數(shù) f(x)=1+asin ax的圖象不可能是（ ）,解析 圖A中函數(shù)的最大值小于2，故0a1,而其 周期大于2 .故A中圖象可以是函數(shù)f(x)的圖象.圖 B中，函數(shù)的最大值大于2,故a應(yīng)大于1，其周期小 于2 ,故B中圖象可以是函數(shù)f(x)的圖象.當(dāng)a=0時，f(x)=1,此時對應(yīng)C中圖象，對于D可以看出其最大值大于2，其周期應(yīng)小于2 ,而圖象中的周期大于 2 ，故D中圖象不可能為函數(shù)f(x)的圖象. 答案 D,6.給出下列命題： 函數(shù) 是奇函數(shù)； 存在實數(shù) ,使得 其中正確的序號為（ ） A. B. C. D.,解析 是奇函數(shù)； , 答案 C,二、填空題 7.,.,解析,答案,8.（2008遼寧理，16）已知f(x)= 且f(x)在區(qū)間 上有最小值， 無最大值，則 . 解析 如圖所示,答案,9.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin （xR）,有下列命 題： 由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是 的整數(shù)倍； y=f（x）的表達式可改寫為 y=f（x）的圖象關(guān)于點 對稱； y=f（x）的圖象關(guān)于直線 對稱. 其中正確的命題的序號是 .（把你認(rèn)為正 確的命題序號都填上） 解析 函數(shù)f（x）= 的最小正周 期T= ，由相鄰兩個零點的橫坐標(biāo)間的距離 是 知錯.,答案 ,三、解答題 10.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+)(- 0)，y=f(x)圖象 的一條對稱軸是直線 (1)求； （2）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.