福建省閩侯二中五校教學(xué)聯(lián)合體2017_2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）.docx

福建省閩侯二中五校教學(xué)聯(lián)合體2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將不等式左邊因式分解可得，從而可解不等式.【詳解】因?yàn)榈膬筛鶠?，不等式可化為，所以不等式的解集為或，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于簡(jiǎn)單題.2.下列結(jié)論正確的是 ()A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，A不成立；當(dāng)時(shí)，B不成立；令則由，可得，C不正確；若，則一定能推出，故D成立。故選D。考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則公比的值為()A. 1 B. C. 1或 D. 1或【答案】C【解析】【分析】等比數(shù)列中，,可得由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,從而可得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列中，,前3項(xiàng)之和,整理可得,即,解得或，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于中檔題. 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.4.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為 ，已知，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由余弦定理得 （負(fù)舍），選A.5.在中，若，則該三角形的形狀是( )A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可求得，利用正弦定理求得 ,根據(jù)余弦定理求得的表達(dá)式進(jìn)而建立等式，整理求得,判斷出三角形為等腰三角形.【詳解】，,由正弦定理可得，整理得，的形狀是等腰三角形，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.6.在數(shù)列中， ，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，兩式相減可得，也適合，可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】由于已知有，因此令，且當(dāng)時(shí)有，由一得，此式對(duì)也適用，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從而，所以數(shù)列是一個(gè)以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式之間的關(guān)系以及等比數(shù)列求和公式，屬于中檔題. 已知數(shù)列前項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式. 在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過(guò)程中，一定要注意 的情況.7.在各項(xiàng)都不為0的等差數(shù)列中， ，數(shù)列是等比數(shù)列，且則= ( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】8.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為 ，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】對(duì)于，利用正弦定理可判斷；對(duì)于，利用余弦定理可判斷；對(duì)于，利用正弦定理結(jié)合邊角大小關(guān)系可判斷；對(duì)于,由正弦定理求得，再根據(jù)，可得， 可能是銳角也可能是鈍角，從而可得有兩個(gè)解.【詳解】對(duì)于，若 ,則由正弦定理可得,求得，故有一解；對(duì)于，若 ,則由余弦定理可得,求得，只有一個(gè)解，故有一解；對(duì)于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據(jù)，可得為銳角，故角只有一個(gè)，故有一解；對(duì)于，若 ,則由正弦定理可得,求得，再根據(jù)，可得，可得可能是銳角也可能是鈍角，即角有2個(gè)值，故有兩解，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.9.已知函數(shù) 且 的圖象過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為( )A. 2 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】由當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，于是有，,由基本不等式即可求得的最小值.【詳解】 函數(shù) 且 的圖象過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)，即的最小值為9，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題. 利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，若的最大值為12，則的最小值為( )A. -3 B. -6 C. 3 D. 6【答案】B【解析】試題分析：不等式對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)橹本€圍成的三角形及其內(nèi)部，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值為12，所以當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值為考點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題11.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且有最小值，那么以下四個(gè)結(jié)論：公差；當(dāng)=18時(shí)，取得最小正值其中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，正確；由結(jié)合，可得，故錯(cuò)誤；由 ，可得錯(cuò)誤；，結(jié)合，可得正確，從而可得結(jié)果.【詳解】，有最小值，二次函數(shù)圖象開口向上，正確；，與異號(hào)，結(jié)合，可得，故錯(cuò)誤； ，錯(cuò)誤；，結(jié)合，時(shí)，取最小正值，正確，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的增減性、等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式，屬于中檔題. 解等差數(shù)列有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.12.已知函數(shù) (0，且1)若數(shù)列滿足 ，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分界點(diǎn)處兩函數(shù)的單調(diào)性與整體保持一致，列出不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且是遞增數(shù)列，因?yàn)樵谏线f增，所以一次函數(shù)遞增，指數(shù)函數(shù)遞增，且，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、單調(diào)性以及數(shù)列的增減性，屬于中檔題.分段函數(shù)的單調(diào)性是分段函數(shù)性質(zhì)中的難點(diǎn)，也是高考命題熱點(diǎn)，要正確解答這種題型，必須熟悉各段函數(shù)本身的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，不但要求各段函數(shù)的單調(diào)性一致，最主要的也是最容易遺忘的是，要使分界點(diǎn)處兩函數(shù)的單調(diào)性與整體保持一致.二、填空題.13.在等比數(shù)列中，若=_.【答案】【解析】【分析】由利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，且，求得首項(xiàng)與公差，從而可得結(jié)果.直接求解.【詳解】在等差數(shù)列中，由且，解得,故答案為 .【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，是基礎(chǔ)題. 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量一般可以“知二求三”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解.14. 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為 ，已知是公差為4的等差數(shù)列，且的最大內(nèi)角為，則最大邊的長(zhǎng)度為_.【答案】14【解析】【分析】設(shè)三角形的三邊分別為,結(jié)合最大內(nèi)角為，利用余弦定理列方程求得，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)三角形的三邊分別為,則,化簡(jiǎn)得,解得,所以三角形的三邊分別為,的最大邊的邊長(zhǎng)是,故答案為14.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15.對(duì)于任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】將分情況進(jìn)行討論，時(shí)，顯然成立，時(shí)，利用判別式小于零列不等式，解不等式組求出的范圍，問(wèn)題得解.【詳解】時(shí)，成立，時(shí)，由題意得,解得,綜合得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題. 一元二次不等式恒成立問(wèn)題主要方法：（1）若實(shí)數(shù)集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題；（3）要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零.16.把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的三角形數(shù)表(每行比上一行多一個(gè)數(shù))：設(shè) 是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如8若=2018，則i，j的值分別為_，_.【答案】 (1). 64 (2). 2【解析】【分析】第一行有一個(gè)數(shù) ,第二行有兩個(gè)數(shù)，第三行有三個(gè)數(shù)，第行有個(gè)數(shù)字，可得前行共有個(gè)數(shù)，是第行第2個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，第一行有一個(gè)數(shù) ,第二行有兩個(gè)數(shù)，第三行有三個(gè)數(shù)，第行有62個(gè)數(shù)，第63行有個(gè)數(shù)63，第行有個(gè)數(shù)字，這樣每一行的數(shù)字個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，前項(xiàng)的和，當(dāng)時(shí)，；前行共個(gè)數(shù)，所以，是第行遞2個(gè)數(shù)，的值分別為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是歸納推理，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬于難題. 歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟).17.已知 ，（I）解關(guān)于的不等式；(）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可得,化為，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2) 不等式可化為，即，由不等式的解集為，可得方程的兩個(gè)根分別為，由韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】(1) 即 故不等式的解集為 (2)不等式可化為即不等式的的解集為方程的兩個(gè)根分別為故 ，或【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，意在考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用以及靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.18.已知等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，并求此時(shí)的值.【答案】（1）（2）當(dāng)?shù)淖钚≈禐?25，【解析】【分析】（）設(shè)的首項(xiàng)為,運(yùn)用等比中項(xiàng)性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得的方程，解出 ,從而可得的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合（1），運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得，利用配方法和二次函數(shù)的最值，即可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意，得， 所以由 得 解得 所以，即 (2)由(1)知， 故當(dāng)時(shí)，取最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比中項(xiàng)的應(yīng)用以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題. 求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值的方法通常有兩種：將前項(xiàng)和表示成關(guān)于的二次函數(shù)， ，當(dāng)時(shí)有最大值（若不是整數(shù)，等于離它較近的一個(gè)或兩個(gè)整數(shù)時(shí)最大）；可根據(jù)且確定最大時(shí)的值.19. 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為 已知，（）求的大??； （）若的面積為，求的最小值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得 結(jié)合 可得 ，根據(jù)輔助角公式可求解角的大小；（2）由的面積為，可得，根據(jù)余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】(1) 由正弦定理,可得 又為的內(nèi)角 ，故 .(2). 在中,由余弦定理知 當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a取最小值為4【點(diǎn)睛】解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立，（I）證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)把和相減整理求得，整理出,判斷出數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，則可得的表達(dá)式；(3)把（2）中的代入 ,求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）由已知得 ， 由-得：，所以 ,又得 所以是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 （2）由（1）得 ，即 .（3）,所以, , 由- 得 =, .【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.21.如圖，在海島上有一座海拔千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東，俯角為的處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西，俯角為的處.(I) 求船的航行速度是每小時(shí)多少千米?()又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的處，問(wèn)此時(shí)船距島有多遠(yuǎn)?【答案】(1)千米/時(shí);(2)千米【解析】【分析】在、中利用山的高度以及俯角，確定的長(zhǎng)，求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以時(shí)間即可得船的速度；（2）利用 ，求得的值，利用，求得的值，進(jìn)而利用正弦定理求得，從而可得結(jié)果.【詳解】(1)在中， ， 所