平面點(diǎn)集與多元函數(shù).ppt

1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù),多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣, 它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì), 同時(shí)又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì), 讀者對(duì)這些新性質(zhì)尤其要加以注意. 下面著重討論二元函數(shù), 由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去.,返回,一、平面點(diǎn)集,二、 R2 上的完備性定理,三、 二元函數(shù),一、平 面 點(diǎn) 集, 平面點(diǎn)集的一些基本概念 由于二元函數(shù)的定,坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點(diǎn)的集合, 稱為平,對(duì) 與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對(duì)應(yīng).,在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后, 所有有序?qū)崝?shù),義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集, 因此在討論二元函數(shù),之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念.,面點(diǎn)集, 記作,例如：,(2),(3),由于點(diǎn) A 的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn) A 的某一,方鄰域之內(nèi)(反之亦然), 因此通常用“點(diǎn) A 的 鄰,用記號(hào) 或 來(lái)表示.,點(diǎn) A 的空心鄰域是指:,或,域” 或 “點(diǎn) A 的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域, 并,注意: 不要把上面的空心方鄰域錯(cuò)寫(xiě)成 : ( 請(qǐng)指出, 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系,以下三種關(guān)系之一 :,是 E 的內(nèi)點(diǎn); 由 E 的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為,E 的內(nèi)部, 記作 int E.,錯(cuò)在何處? ),點(diǎn) A 是 E 的外點(diǎn)；由 E 的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合,的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的邊界; 記作,注 E 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于 E; E 的外點(diǎn)必定不屬于 E;,E 的界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E. 并請(qǐng)注意:,稱為 E 的外部.,的集合.,例1 設(shè)平面點(diǎn)集（見(jiàn)圖 16 3）,于D; 滿足 的一切點(diǎn)也,是 D 的內(nèi)點(diǎn); 滿足,的一切點(diǎn)是 D 的界點(diǎn), 它們都屬,是 D 的界點(diǎn), 但它們都不屬于 D.,點(diǎn) A 與點(diǎn)集 E 的上述關(guān)系是按 “內(nèi)-外” 來(lái)區(qū)分的.,此外，還可按 “疏-密” 來(lái)區(qū)分，即在點(diǎn) A 的近旁,是否密集著 E 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系:,含有 E 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) A 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn),注1 聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于E.,注2 聚點(diǎn)的上述定義等同于: “在點(diǎn) A 的任何鄰域,內(nèi)都含有 E 中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)”.,注3 E 的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集, 記,例如, 對(duì)于例1 中的點(diǎn)集 D, 它的導(dǎo)集與閉包同為,所有聚點(diǎn)都屬于 D.,E 的孤立點(diǎn).,注 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn); 內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必,為聚點(diǎn); 既非聚點(diǎn), 又非孤立點(diǎn), 則必為外點(diǎn).,E 中所有點(diǎn) ( p, q ) 全為 E 的孤立點(diǎn); 并有, 一些重要的平面點(diǎn)集,根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì), 可來(lái)定義一,些重要的點(diǎn)集.,開(kāi)集 若 E 所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn)( 即E =,int E ), 則稱 E 為開(kāi)集.,E 為閉集.,例如前面列舉的點(diǎn)集中, (2)式所示的 C 是開(kāi)集; (3),式所示的 S 是閉集; (4)式所示的 D 既非開(kāi)集, 又,非閉集; 而(1)式所示的 R2 既是開(kāi)集又是閉集. 在,開(kāi)域若非空開(kāi)集 E 具有連通性, 即 E 中任意兩,點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接,則稱 E 為開(kāi)域. 簡(jiǎn)單地說(shuō), 開(kāi)域就是非空連通開(kāi)集.,閉域 開(kāi)域連同其邊界所成的集合稱為閉域.,區(qū)域 開(kāi)域、閉域、開(kāi)域連同其一部分界點(diǎn)所,成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域.,不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域.,在前述諸例中, (2)式的 C 是開(kāi)域, (3)式的 S 是閉,域, (1)式的 R2 既是開(kāi)域又是閉域, (4)式的 D 是區(qū),域 (但既不是開(kāi)域又不是閉域). 又如,它是 I、 III 兩象限之并集. 雖然它是開(kāi)集, 但因,不具有連通性, 所以它既不是開(kāi)域, 也不是區(qū)域.,其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)), 則稱 E,為有界點(diǎn)集. 否則就為無(wú)界點(diǎn)集 (請(qǐng)具體寫(xiě)出定義).,前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 與 (5) 是無(wú)界集.,E 為有界點(diǎn)集的另一等價(jià)說(shuō)法是: 存在矩形區(qū)域,此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來(lái)反映,所謂點(diǎn)集 E 的直徑, 就是,其中(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 與 P2 (x2, y2)之間的距,離, 即,于是, 當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時(shí), E為有界點(diǎn)集.,根據(jù)距離的定義, 不難證明如下三角形不等式:,二、R2上的完備性定理, 平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則 反映實(shí)數(shù),系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理, 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理,論的基礎(chǔ). 現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是,二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).,則稱點(diǎn)列 Pn 收斂于點(diǎn) P0 , 記作,同樣地有,由于點(diǎn)列極限的這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限, 因,此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.,證（必要性）,應(yīng)用三角形不等式, 立刻得到,(充分性) 當(dāng) (6) 式成立時(shí), 同時(shí)有,這說(shuō)明 xn 和 yn 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,所以它們都收斂.,由點(diǎn)列收斂概念, 推知 Pn 收斂于點(diǎn) P0(x0, y0).,( 這是一個(gè)重要命題, 證明留作習(xí)題.),定義2 設(shè)平面點(diǎn)集 , 若按照某對(duì)應(yīng)法則 f ,D 中每一點(diǎn) P ( x, y ) 都有惟一確定的實(shí)數(shù) z 與之,對(duì)應(yīng), 則稱 f 為定義在 D 上的二元函數(shù) ( 或稱 f 為,D 到 R 的一個(gè)映射 ), 記作,也記作,或點(diǎn)函數(shù)形式,與一元函數(shù)相類似, 稱 D 為 f 的定義域; 而稱,為 f 在點(diǎn) P 的函數(shù)值; 全體函數(shù)值的集合為 f 的,值域, 記作 . 通常把 P 的坐標(biāo) x 與 y 稱,為 f 的自變量, 而把 z 稱為因變量.,當(dāng)把 和它所對(duì)應(yīng)的 一起組成,三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時(shí), 三維點(diǎn)集,便是二元函數(shù) f 的圖象. 通常該圖象是一空間曲,面, f 的定義域 D 是該曲面在 xOy 平面上的投影.,其定義域是 R