概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第17講.ppt

此幻燈片可在網(wǎng)址 上下載,第17講,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義,第四節(jié) 抽樣分布,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。在使用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)常需知道它的分布。當(dāng)總體的分布函數(shù)已知時(shí)，抽樣分布是確定的，然而要求出統(tǒng)計(jì)量的精確分布，一般來說是困難的。本節(jié)介紹來自正態(tài)總體的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布。今后，我們將看到這些分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要的應(yīng)用。,一、三個(gè)重要分布 為了討論正態(tài)總體下的抽樣分布，先引入由正態(tài)分布導(dǎo)出的統(tǒng)計(jì)中的三個(gè)重要分布，即c2分布，t分布，F(xiàn)分布。,1. c2分布 設(shè)X1,X2,Xn是來自總體N(0,1)的樣本(這句話等價(jià)于X1,X2,Xn相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布), 則稱統(tǒng)計(jì)量,服從自由度為n的c2分布，記為c2c2(n). 此處，自由度是指(1)式右端包含的獨(dú)立變量個(gè)數(shù). c2(n)分布的概率密度為,n=6,n=2,n=4,n=1,n=11,2,4,6,8,10,12,14,0.10,0.20,0.30,0.40,x,O,f(y)的圖形:,c2分布的數(shù)學(xué)期望和方差 若c2c2(n), 則有 E(c2)=n, D(c2)=2n. 事實(shí)上，因XiN(0,1), 故,因此,又,c2分布的分位點(diǎn) 定義 設(shè)有分布函數(shù)F(x)，對(duì)給定的a(0xa=a, (6) 則稱點(diǎn)xa為F(x)的上a分位點(diǎn). 當(dāng)F(x)有密度函數(shù)f(x)時(shí), 式(6)可寫成,由上述定義得c2(n)分布的上a分位點(diǎn)為,如圖所示，對(duì)于不同的a,n的上a分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查明(參見附表4).,a,其中ua是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上a分位點(diǎn). 利用(9)式可以求得當(dāng)n45時(shí)，c2(n)分布的上a分位點(diǎn)的近似值. 例如，由(9)式可得,2. t分布 設(shè)XN(0,1), Yc2(n), 且X,Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,服從自由度為n的t分布. 記為tt(n). t分布又稱為學(xué)生氏(student)分布. t(n)分布的概率密度函數(shù)為,(證略),n=,n=9,n=2,O,x,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,t分布概率密度的圖形:,h(t)的圖形關(guān)于t=0對(duì)稱, 當(dāng)n充分大時(shí), 其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形. 事實(shí)上, 利用G函數(shù)的性質(zhì)可得,故當(dāng)n足夠大時(shí), t分布近似于N(0,1)分布. 但對(duì)于較小的n, t分布與N(0,1)分布相差較大.,t分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的a, 0a1，稱滿足條件,的點(diǎn)ta(n)為t(n)分布的上a分位點(diǎn).,a,ta(n),由t分布的上a分位點(diǎn)的定義及h(t)圖形的對(duì)稱性知 t1-a(n)=-ta(n) (14) t分布的上a分位點(diǎn)可自附表3查得. 在n45時(shí)，對(duì)于常用的a的值，就用正態(tài)近似： ta(n)ua (15),3.F分布 設(shè)Uc2(n1), Vc2(n2), 且U,V獨(dú)立, 則稱隨機(jī)變量,服從自由度為(n1,n2)的F分布, 記為FF(n1,n2). F(n1,n2)的概率密度為,(17),O,1,2,3,(n1,n2)=(10,40),(n1,n2)=(11,3),F分布概率密度的圖形:,(18),F分布的分位點(diǎn) 對(duì)于給定的a, 0a1, 稱滿足條件,的點(diǎn)Fa(n1,n2)為F(n1,n2)分布的上a分位點(diǎn)，有表格可查(見附表5),Fa(n1,n2),a,容易證明下面的等式：,利用這個(gè)等式，查附錄表5，可以計(jì)算當(dāng)a=0.95, 0.975, 0.99, 0.995時(shí)的Fa的值. 例如，我們有,二、正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)的問題時(shí), 往往需要知道所討論的統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,Xn)的分布. 一般說來, 要確定某個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布是困難的, 有時(shí)甚至是不可能的. 然而，對(duì)于總體X服從正態(tài)分布的情形已經(jīng)有了詳盡的研究. 下面我們討論服從正態(tài)分布總體的統(tǒng)計(jì)量的分布.,本段假設(shè)X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體N(m,s2)的樣本，即它們是獨(dú)立同分布的, 皆服從N(m,s2)分布. 樣本均值與樣本方差分別是,證 因?yàn)殡S機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立, 并且與總體X服從相同的正態(tài)分布N(m,s2)，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，它們的線性組合,證明從略. 下面講自由度含義.,由樣本方差S2的定義易知,所以統(tǒng)計(jì)量,雖然是n個(gè)隨機(jī)變量的平方和，但是這些隨機(jī)變量不是相互獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈兊暮秃愕扔诹悖?受到一個(gè)條件的約束，所以自由度為n-1.,例1 設(shè)X1,X2,Xn是來自N(m,