概率論課件--4-2泊松分布14p.ppt

,第四章,第二節(jié),泊松分布 (14),二、泊松定理,三、泊松分布的數(shù)學期望與方差,一、泊松分布,一、泊松分布,設(shè)隨機變量 X 的分布律為,顯然有:,（1）非負性:,（2）規(guī)范性:,定義:,泊松分布是概率論中又一重要的概率分布.,一方面,例如:某網(wǎng)站一段時間間隔內(nèi)受到的點擊次數(shù);,公共汽車站候車的乘客人數(shù);,炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個數(shù);,落在顯微鏡上某種細菌個數(shù),另一方面,很多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.,泊松分布可看為二項分布的極限分布.,對此有如下定理:,二、泊松定理,定理:,設(shè)隨機變量,服從二項分布,且滿足,其中概率 與 n 有關(guān),則,證:,令 ，則,對于任意固定的非負整數(shù) k ，有,證畢.,故得,在應(yīng)用中,當 且 n 很大 ，,時,p 很小,有下面的泊松近似公式(其中 ),由于泊松分布有著廣泛的應(yīng)用,的數(shù)值已造成表(見書末附表1及附表2),計算時可查表.,例1.,為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人,（配,備多了浪費,配備少了又會影響 生產(chǎn)) ,現(xiàn)有同類型設(shè)備,300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.,在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理,(我們也,只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證當設(shè),備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?,解:,設(shè)需配備 N 人,記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X,那么,所需解決的問題是確定的N,使得,由泊松定理,即,查表知滿足上式最小的 N 是8,即需至少配備8名維修工.,（1）保險公司虧本的概率是多少?,例2.,保險事業(yè)是最早使用概率論的部門之一,保險公司,為了估計其利潤,需要計算各種概率.,保險公司現(xiàn)在為社,會提供一項人壽保險,據(jù)已有的資料顯示:,人群中與這,項保險業(yè)務(wù)有關(guān)的死亡概率為0.0020,今有2500人參加這,項保險,每個參保的人員在每年1月1日交付120元保險金,而在死亡時家屬可從公司領(lǐng)取20000元保險金.,試問:,（2）保險公司贏利不少于100000元、200000元的概率,是多少?,分析:,每年1月1日,保險公司的收入 元,若一年中死亡 x 人,則保險公司這一年應(yīng)付出20000x 元，,因此“公司虧本”意味著20000x 300000 即 x 15人,這樣“公司虧本”這一事件等價于“一年中多于15人死亡”,的事件，,從而轉(zhuǎn)求“一年中多于15人死亡”的概率，,“參加保險的一個人在一年中是否死亡”看作一次隨機,若把,試驗,則問題可用,的伯努利試驗來,近似.,由泊松定理,經(jīng)查表可得：,(1),(2) 贏利不少于100000元，則意味著,則,同理，盈利不少于200000元,即,設(shè) X 為一年中這些參保人員里死亡的人數(shù).,則,解:,三、