概率論與數(shù)理統(tǒng)計CH5.ppt

第五章,大數(shù)定律與中心極限定理,一、大數(shù)定律,二、中心極限定理,本章是關(guān)于隨機變量序列的極限理論。,目的是從理論上對第一章中提出的“頻率的,穩(wěn)定性”給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。,大數(shù)定律：對于隨機變量序列,描述其平均值,在什么條件下以什么形,式呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。,中心極限定理：對于隨機變量序列,其部分和,在什么條件下以正態(tài)分布為極限,分布。,大數(shù)定律,第五章,第一節(jié),一、 切比雪夫Chebyshev不等式,二、幾個常見的大數(shù)定律,定義1,請注意 :,或,不等式,成立，,則稱此式為切比雪夫不等式。,存在，則對任意,證明 設(shè) X 為連續(xù)性（離散型類似），其密度為,設(shè)隨機變量X 的數(shù)學(xué)期望,命題 （切比雪夫Chebyshev不等式）,則,注：Chebyshev不等式對隨機變量在以,的一個鄰域外取值的概率給出了一個上界,為中心,可見D(X) 越小，事件,的概率越接近1。,X 的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。,例如：對未知分布X，取,例1 一電網(wǎng)有1萬盞路燈，,晚上每盞燈開的概率為0.7.,求同時開的燈數(shù)在6800至7200之間的概率至少為多少?,解 設(shè)X 為同時開的燈數(shù)。,由二項分布,用切比雪夫不等式,已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù),解 設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X,依題意，EX =7300,DX =7002,所求為,由切比雪夫不等式,估計每毫升白細胞數(shù)在 52009400 之間的概率 .,平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式,例2,即每毫升白細胞數(shù)在5200-9400之間的概率不小于8/9。,大數(shù)定律的客觀背景,大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,幾個常見的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,則,即對任意的 0，,設(shè) X1 , X2 , 是一列相互獨立的隨機變量序列，,它們都有相同的數(shù)學(xué)期望,證明,由切比雪夫不等式得：,所以,其取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.,當(dāng)n充分大時，,差不多不再是隨機的了，,注：,定理2（辛欽定律）,辛欽大數(shù)定律中，隨機變量的方差可以不存在，只要,獨立同分布就可以了。,定理3（伯努利大數(shù)定律）,證明 引入隨機變量,顯然,且,又由于各次試驗相互獨立，所以,獨立同分布,則由辛欽大數(shù)定律可得,例3 如何測量某一未知的物理量a ,使得誤差較??？,解 在相同的條件下測量n 次，其結(jié)果為,，它們可看成是相互獨立、相同分布的,隨機變量，并且有數(shù)學(xué)期望為a . 于是由辛欽大數(shù)定律,可知，當(dāng),時，有,因此我們可取 n 次測量值,的算術(shù)平均值,作為a 得近似值，即,當(dāng)n充分大時誤差很小。,例4 如何估計一大批產(chǎn)品的次品率 p ？,由伯努利大數(shù)定律可知，當(dāng) n 很大時，可取頻率,作為次品率 p 的估計值。,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,中心極限定理,第五章,第二節(jié),中心極限定理的客觀背景:,常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的綜合影響.,在實際問題中，,則這種量X 一般都服從或近似服從正態(tài)分布。,觀察表明：,如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所,造成，,而每一個別因素在總影響X 中所起的作用不大。,正態(tài)分布。,中心極限定理。,這就是下面要介紹的,的極限分布是標(biāo)準(zhǔn),所以,定理1（獨立同分布的中心及限定理）,且服從同一分布，,即獨立同分布，且具有相同的期望和方差,則,設(shè) 相互獨立，,，即,或,之和總可以近似服從正態(tài)分布.,此定理表明，無論,原來服從什么,分布，,當(dāng)n充分大時，,例1 某人要測量甲、乙兩地之間的距離。,限于測量,工具，他分成 1200 段來測量。,每段測量誤差（單位,厘米）服從于（-0.5,0.5)上的均勻分布。求總距離誤,差的絕對值超過20厘米的概率。,解 設(shè)第k 段的測量誤差為,且,是獨立同分布的隨機變量。且,累計誤差即總距離誤差為,，由獨立同分布的中,心極限定理可得,即,則所求概率為,根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.,由題給條件知，諸Xi 獨立，,16只元件的壽命的總和為,解 設(shè)第i 只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000,依題意，所求為P(Y 1920),例2,由于E(Y )=1600,D(Y )=160000,由中心極限定理,近似N (0,1),1-,下面介紹定理1 的特殊情況。,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace,設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為,的二項分布,即,或,證 因為,所以,其中,相互獨立，且都服從（0-1）分布。,由獨立同分布的中心極限定理可得,注：此定理表明正態(tài)分布是二項分布的極限分布，,當(dāng)n 充分大時，可以利用正態(tài)分布計算二項分布的概率。,推論：,設(shè)隨機變量,當(dāng)n充分大時有：,這個公式給出了n 較大時二項分布的概率計算方法。,例3 報童沿街向行人兜售報紙，假設(shè)每位行人買報,的概率為0.2,且他們是否買報是相互獨立的。求報童,向100位行人兜售之后，賣掉1530份報紙的概率。,解 設(shè)報童賣掉報紙的份數(shù)為X ，,例4 有100臺車床彼此獨立地工作。每臺車床的實,際工作時間占全部工作時間的80，求下列事件的,概率。,1、任一時刻有7086臺車床工作。,2、任一時刻有80臺以上車床工作。,解 設(shè)任一時刻工作的車床臺數(shù)為X 。,例5 某單位有200臺電話分機，每臺分機有5%的時間,要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨,立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以,上的概率保證分機用外線時不等待？,解 設(shè)有X 部分機同時使用外線，則有,設(shè)有N 條外線。由題意有,由德莫佛-拉普拉斯定理得,其中,故 N 應(yīng)滿足條件,設(shè)它們是互相獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上,一加法器同時收到20個噪聲電壓,服從均勻分布，記,求 PV 105 的近似值。,例6,解,由定理1 知,例7 利用 契比雪夫不等