概率論與數(shù)理統(tǒng)計-3.1二維隨機(jī)變量及其分布.ppt

1,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 3.1 二維隨機(jī)變量及其分布 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布* 3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 3.5 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2,前幾節(jié)我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個隨機(jī)變量，又稱為一維隨機(jī)變量；然而在許多實(shí)際問題中，常常需要同時研究一個試驗(yàn)中的兩個甚至更多個隨機(jī)變量。,例如 E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重Y，以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。,此時，我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)，更需要了解這兩個隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，我們將二者作為一個整體來進(jìn)行研究，記為(X,Y),稱為隨機(jī)向量，又稱多維隨機(jī)變量.,3,類似于對一維隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)，對于多維隨機(jī)變量，我們也將討論如何通過分布函數(shù)、分布律及概率密度等概念來描述其取值的概率規(guī)律性，并認(rèn)識幾種常見的分布。,因方法類同，我們將以二維隨機(jī)變量為主，展開討論。學(xué)習(xí)時，應(yīng)善于同一維隨機(jī)變量情形進(jìn)行比較，注意對兩個隨機(jī)變量的相互關(guān)系 的反映。,4,3.1 二維隨機(jī)變量及其分布 1. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2. 二維離散型隨機(jī)變量 3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,5,1. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義3.1.1 設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù) F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy) 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)， 簡稱為（X,Y) 的分布函數(shù).,6,二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)， 顯然，分布函數(shù)F(x,y)在平面上任意點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y) 為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的整個無窮區(qū)域內(nèi)的概率，如圖3.1.1所示,7,由前面的幾何解釋，容易得到隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域D內(nèi)的概率，其中,則,8,二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì),(1) F(x,y)分別關(guān)于x和y單調(diào)不減.,9,(3) 關(guān)于x或y都是右連續(xù)的，即,二維隨機(jī)變量也分為離散型和連續(xù)型兩種常見的形式，下面分別進(jìn)行討論.,10,2. 二維離散型隨機(jī)變量,定義3.1.2 若二維 隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能的取值是有限對或可列無限對不同值，則稱(X,Y) 是二維離散型隨機(jī)變量. 稱,為(X,Y)的聯(lián)合概率分布，簡稱為概率分布或 分布律,11,二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分布律可用下列表格給出,12,具有下列性質(zhì),二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)與概率分布之間有如下關(guān)系式：,13,例 將一枚均勻的硬幣拋擲4次，X表示正面向上的次數(shù)，Y表示反面朝上次數(shù)，求(X,Y)的概率分布.,解 X的所有可能取值為0,1,2,3,4，Y的所有可能取值為0,1,2,3,4, 因?yàn)閄+Y=4，所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對為:,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0,Y=4) = 0.54 = 1/16,P(X=4,Y=0) = 0.54 = 1/16,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,聯(lián)合概率分布表為:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,14,1. 找出隨機(jī)變量X和Y的所有取值結(jié)果，得到(X,Y)的 所有取值數(shù)對; 2. 利用古典概型或概率的性質(zhì)計算每個數(shù)值對的概率; 3. 列出聯(lián)合概率分布表.,離散型二維隨機(jī)向量聯(lián)合概率分布確定方法:,15,例 二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為:,求: (1)常數(shù)a的取值; (2) P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1).,解 (1)由pij=1得: a=0.1,(2) P(X0,Y1) =,P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1),+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6,(3) P(X1,Y1),=P(X= -1,Y=0)+P(X= -1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75,16,解 (X,Y)的可能取值為(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)， 則,17,故(X,Y)的聯(lián)合分布律為,18,解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i)1/4i (ij)，于是(X,Y)的分布律為,19,3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,與一維情形類似，我們有如下定義： 定義3.1.3 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) 為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f (x,y)，使得對于任意實(shí)數(shù)x,y，都有 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f (x,y)稱為(X,Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。,20,密度函數(shù)f (x,y)的性質(zhì)：,（1）非負(fù)性 （2）歸一性 （3）當(dāng)f (x,y)連續(xù)時， （4）若D是Oxy平面上的任一區(qū)域，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在D內(nèi)的概率為：,21,（4）的幾何解釋,在幾何上，二元函數(shù)f (x,y)表示三維空間的一個曲面，則（4）式表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入?yún)^(qū)域D內(nèi)的概率等于以D為底，以曲面f (x,y)為頂?shù)那斨w的體積。,22,特別地，若D表示矩形區(qū)域:,則,23,解 (1)由,得,所以 k=6,(2),24,解 由,則,當(dāng)x1, y1時,所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),25,例:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函數(shù)F(x,y); (2)求概率P(YX).,解:(1),(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo). G是xoy平面上直線y=x下方的部分.,26,常見的兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,均勻分布,定義3.1.4: 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,則稱(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,27,可以驗(yàn)證，均勻分布的密度函數(shù)f (x,y)滿足密度函數(shù)的兩個性質(zhì)。,與前面類似，服從區(qū)域D上的均勻分布的二維隨機(jī)變量(X,Y)落在D中任一區(qū)域D1的概率與D1的面積成正比，與D1的位置和形狀無關(guān)。,28,二維正態(tài)分布,定義3.1.5： 如果(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,其中1,2,10,20,(| |1)為常數(shù). 則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布, 記為,29,可以驗(yàn)證，二維正態(tài)分布的密度函數(shù)f (x,y)滿足密度函數(shù)的兩個性質(zhì)，其圖像如圖3.1.3。,30,1. 若(X,Y)的密度函數(shù)為,求: (1)常數(shù) A ; (2) P( X2, Y1);,(3) P(Xx,Yy).,解: (1),所以, A=6,= A/6 =1,(4)P(X,Y)D), 其中D為 2x+3y6.,練習(xí):,(5) P(X,Y)D), 其中D為 y= x+1, y=x+1, y=0所圍區(qū)域.,31,所以, P( X2, Y1),2,1,X2