概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩).ppt

4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征：協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 4.3.1 協(xié)方差 由4.2.2中方差的性質(zhì)(3)知,若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是說,當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí),有EX E(X)Y E(Y)= 0成立,這意味著當(dāng)EX E(X)Y E(Y)0時(shí),X與Y不相互獨(dú)立,由此可見這個(gè)量的重要性,4.3.1 協(xié)方差,定義4.4 設(shè)有二維隨機(jī)變量(X，Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，則稱其為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差記為Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y) = EX E(X)Y E(Y) 這樣，上節(jié)中方差的性質(zhì)(3)可改寫為 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X，Y) 由(4.9)式及(4.10)式知協(xié)方差的表達(dá)式可以表示為 Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) 常利用這個(gè)式子來計(jì)算協(xié)方差Cov(X，Y).,4.3.1 協(xié)方差,由協(xié)方差定義，不難知道協(xié)方差還具有以下幾條性質(zhì)： (1) (2) (3) ，a，b為常數(shù)； (4) (5) 當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有 Cov(X，Y) = 0,4.3.1 協(xié)方差,【例4.22】設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度 其中區(qū)域G由曲線與圍成，如圖4-4所示， 求Cov(X，Y)及D(X + Y) 解：,4.3.1 協(xié)方差,4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩 4.3.2 相關(guān)系數(shù) 定義4.5 稱 為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)XY是一個(gè)無量綱的量XY常簡(jiǎn)記為,【例4.23】在例4-22中，求相關(guān)系數(shù)XY 解：因?yàn)?所以,4.3.2 相關(guān)系數(shù),4.3.2 相關(guān)系數(shù),下面不加證明地給出相關(guān)系數(shù)的兩條性質(zhì)： (1) |XY | 1； (2) |XY | = 1的充要條件是，存在常數(shù)a，b，使 PY = aX + b = 1 定義4.6 若XY = 0，稱X與Y不相關(guān)0 XY 1，稱X與Y正相關(guān)， 1 XY 0，稱X與Y負(fù)相關(guān) 事實(shí)上,相關(guān)系數(shù)XY是X與Y線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)度量,X與Y的線性關(guān)系程度隨著|XY|的減小而減弱, 當(dāng)|XY| = 1時(shí)X與Y的線性關(guān)系最強(qiáng)， 當(dāng)XY = 0時(shí)，意味X與Y的不存在線性關(guān)系，即X與Y不相關(guān).,4.3.2 相關(guān)系數(shù),由協(xié)方差的性質(zhì) (5) 當(dāng)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立時(shí)，有Cov(X，Y) = 0 易知 定理4.3 若X與Y相互獨(dú)立，則XY = 0，即X與Y不相關(guān)，反之不真 這意味著，X與Y不相關(guān)僅指X與Y之間不存在線性關(guān)系，并不能說明X與Y不具有其他關(guān)系,4.3.2 相關(guān)系數(shù),【例4.24】設(shè)隨機(jī)變量Z服從(，)上的均勻分布，又X = sinZ，Y = cosZ，試求相關(guān)系數(shù)XY 解：由于 因而Cov(X，Y) = 0，XY = 0 相關(guān)系數(shù)XY = 0，說明隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)， 但是，由于 ，所以X與Y不獨(dú)立,4.3.3 矩 矩的概念在后面的數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分有重要應(yīng)用 定義4.7 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(Xk)，k = 1，2，存在，稱其為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩； 若 存在，稱其為X的k階中心矩； 若 存在，稱其為X和Y的k + l階混合矩； 若 存在，稱它為X和Y的k + l階混合中心矩,4.3.3 矩,(1) X的k階原點(diǎn)矩: E(Xk)，k = 1，2， (2) X的k階中心矩: (3) X和Y的k + l階混合矩: (4) X和Y的k + l階混合中心矩: 顯然，X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點(diǎn)矩， X的方差D(X)是X的二階中心矩， X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=0是X和Y的二階混合中心矩,【實(shí)驗(yàn)4-2】設(shè)X和Y分別表示在一分鐘內(nèi)通過某收費(fèi)站的小汽車數(shù)量和卡車數(shù)量，X和Y的聯(lián)合分布律如下： (1) 期望E(X)、E(Y)、E(XY) (2) 方差D(X)、D(Y) (3) 協(xié)方差Cov(X，Y) (4) 相關(guān)系數(shù)XY,實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備： (1) 函數(shù)SUMPRODUCT的使用格式： SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .) 功能：返回多個(gè)區(qū)域array1,array2,array3, . 對(duì)應(yīng)數(shù)值乘積之和 (2) 函數(shù)MMULT的使用格式： MMULT(array1,array2) 功能：返回兩數(shù)組的矩陣乘積結(jié)果矩陣的行數(shù)與array1的行數(shù)相同，列數(shù)與array2的列數(shù)相同,實(shí)驗(yàn)步驟： (1) 整理數(shù)據(jù)如圖4-5所示 圖4-5 整理數(shù)據(jù),(2) 計(jì)算邊緣概率PX = xi和PY = yj 在單元格G2中輸入公式：= SUM(B2:F2)，并將其復(fù)制到單元格區(qū)域G3:G6 在單元格B7中輸入公式：=SUM(B2:B6)，并將其復(fù)制到單元格區(qū)域C7:F7 (3) 計(jì)算期望E(XY) 首先在單元格B9中輸入公式： =MMULT(B1:F1,B2:F6)，,選中單元格區(qū)域B9:F9后，按F2鍵，再按組合鍵Ctrl+Shift+Enter，算出中間數(shù)組，如圖4-6所示 圖4-6 計(jì)算矩陣乘積,然后在單元格B10中輸入公式： =MMULT(B9:F9,A2:A6)，即得期望E(XY)，如圖4-7所示 圖4-7 計(jì)算期望E(XY),(4) 計(jì)算期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y) 在單元格B11中輸入公式： =SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6) 在單元格B12中輸入公式： =SUMPRODUCT(B1:F1,B7:F7) 在單元格D11中輸入公式： =SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B112 在單元格D12中輸入公式： =SUMPRODUCT(B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B122,(5) 計(jì)算協(xié)方差Cov(X，Y) 在單元格B14中輸入公式：=B10-B11*B12 (6) 計(jì)算相關(guān)系數(shù)XY 在單元格B15中輸入公式：=B14/SQRT(D11*D12) 即得結(jié)果如圖4-8所示 圖4-8 計(jì)算結(jié)果,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,【分賭本問題解答】 1654年法國(guó)有個(gè)職業(yè)賭徒De Mer向數(shù)學(xué)家Pascal提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問題：甲乙兩人各出賭注50法郎賭博，約定誰先贏3局，就贏得全部的100法郎，假定兩人賭技相當(dāng)，且每局無平局如果當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭局，問如何分100法郎的賭注才算公平？ 這個(gè)問題在當(dāng)時(shí)引起了許多人的興趣,顯然平均分對(duì)甲不公平,全部歸甲對(duì)乙又不公平合理的分法當(dāng)然是按照一定的比例,甲多分些,乙少分些，那么如何確定分配比例呢？,1654年法國(guó)有個(gè)職業(yè)賭徒De Mer向數(shù)學(xué)家Pascal提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問題：甲乙兩人各出賭注50法郎賭博，約定誰先贏3局，就贏得全部的100法郎，假定兩人賭技相當(dāng)，且每局無平局如果當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭局，問如何分100法郎的賭注才算公平？ 分法(1) ：基于已賭的局?jǐn)?shù)分配： 甲贏了兩局，乙贏了一局，故甲乙兩人按2：1的比例分賭注；,【分賭本問題解答】,【分賭本問題解答】,分法(2)： Pascal提出了如下的分法： 設(shè)想再賭下去，甲的最終所得視為一個(gè)隨機(jī)變量X，其可能值為0或100，再賭兩局賭博必結(jié)束，結(jié)果無外乎是以下4種情形之一： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙， 其中“甲乙”表示甲勝第一局乙勝第二局，其余類似由